人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离第2课时导学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离第2课时导学案，共11页。学案主要包含了两条平行直线间的距离，由平行线间的距离求参数的值，平行线间的距离的最值问题等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，上节课，我们学习了点到直线的距离公式，然而，生活中，也有这样的问题，比如要计算一下两平行的铁轨之间的距离，我们校园里两行树之间的距离，我们教室里门的两边之间的距离等，这就是我们今天要研究的两平行线之间的距离．
一、两条平行直线间的距离
问题1 已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离．
问题2 怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离(A2＋B2≠0)?
提示 在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))，
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
因此d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|－C1＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
知识梳理
1．定义：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
2．求法：转化为点到直线的距离．
3．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq \f(|C2－C1|,\r(A2＋B2)) .(A，B不全为0，C1≠C2)
注意点：运用公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同．
例1 (1)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
答案 B
解析 由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，
得|AB|＝eq \f(|－1＋3|,\r(12＋12))＝eq \r(2).
(2)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离．
解 由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋eq \f(5,2)＝0，
所以d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2))),\r(32＋52))＝eq \f(\f(3,2),\r(34))＝eq \f(3\r(34),68).
反思感悟 求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)．
跟踪训练1 已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B．2 C.eq \f(1,2) D．4
答案 A
解析 由两条直线平行可得eq \f(5,10)＝eq \f(12,m)(m≠0)，
解得m＝24.
则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
由两条平行直线间的距离公式得d＝eq \f(|－3－10|,\r(52＋122))＝1.
二、由平行线间的距离求参数的值
例2 已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 方法一 由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
于是有eq \f(|c－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(|c－－1|,\r(22＋－12))，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
方法二 由题意知l必介于l1与l2中间，
故设l的方程为2x－y＋c＝0，
则c＝eq \f(3＋－1,2)＝1.
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思感悟 由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题．
跟踪训练2 (多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2eq \r(5)，则实数c的值为( )
A．9 B．－9 C．11 D．－11
答案 BC
解析 ∵直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2eq \r(5)，
∴eq \f(|－1＋c|,\r(5))＝2eq \r(5)，解得c＝11或c＝－9.
三、平行线间的距离的最值问题
例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
解 (1)如图，显然有0而|AB|＝eq \r(6＋32＋2＋12)＝3eq \r(10).
故所求的d的变化范围为(0,3eq \r(10)]．
(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．
而kAB＝eq \f(2－－1,6－－3)＝eq \f(1,3)，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟 应用数形结合思想求最值
(1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
跟踪训练3 已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
答案 x＋2y－3＝0
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．
因为A(1,1)，B(0，－1)．所以kAB＝eq \f(－1－1,0－1)＝2，
所以两条平行直线的斜率为－eq \f(1,2)，
所以直线l1的方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
1．知识清单：
(1)两条平行线间的距离．
(2)两条平行线间的距离最值问题．
2．方法归纳：数形结合法、解方程(组)法．
3．常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同．
1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
答案 B
2．两条直线y＝eq \f(3,2)x,6x－4y＋13＝0之间的距离为( )
A.eq \r(13) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \f(\r(13),4) D．13
答案 B
解析 两条直线的方程分别为
3x－2y＝0,3x－2y＋eq \f(13,2)＝0，
所以两条直线之间的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(13,2))),\r(32＋22))＝eq \f(\r(13),2).
3．两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为2eq \r(5)，则c等于( )
A．0或40 B．10或30
C．－20或10 D．－20或40
答案 B
解析 由题意可得，eq \f(|20－c|,\r(12＋22))＝2eq \r(5)，
即|20－c|＝10，解得c＝10或c＝30.
4．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________.
答案 10
解析 由两直线平行知，a＝8，d＝eq \f(|15－5|,5)＝2，
∴a＋d＝10.
课时对点练
1．两平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋eq \r(10)＝0的距离等于( )
A．1 B．0 C.eq \r(10) D．3
答案 A
解析 l1，l2的距离为d＝eq \f(|\r(10)－0|,\r(32＋12))＝1.
2．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是( )
A.eq \f(2,13) B.eq \f(1,13) C.eq \f(1,26) D.eq \f(5,26)
答案 C
解析 5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.
由平行线间的距离公式可得d＝eq \f(|6－5|,\r(102＋242))＝eq \f(1,26).
3．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B．2 C.eq \f(1,2) D．4
答案 B
解析 由两条直线平行可得eq \f(3,6)＝eq \f(4,m)≠eq \f(－3,14)，解得m＝8.由两条平行线间的距离公式得d＝eq \f(|－3－7|,\r(32＋42))＝2.
4．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(8\r(2),3) C.eq \r(3) D.eq \f(8\r(3),3)
答案 B
解析 由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，
则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，
当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；
当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋eq \f(2,3)＝0平行，
两直线之间的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq \f(8\r(2),3).
5．(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于eq \f(\r(5),5)的直线方程可能为( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0 D. 2x＋y＋2＝0
答案 CD
解析 因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0的距离为eq \f(\r(5),5)，
所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，
则d＝eq \f(|c－1|,\r(22＋12))＝eq \f(\r(5),5)，解得c＝0或c＝2，
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
6．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2eq \r(5)，则m＋n的可能值为( )
A．3 B．－17 C．－3 D．17
答案 AB
解析 由题意，n≠0，－eq \f(2,n)＝eq \f(1,2)，所以n＝－4，
所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，
由两平行直线间的距离公式得eq \f(|m＋3|,\r(12＋－22))＝2eq \r(5)，
解得m＝7或m＝－13，
所以m＋n＝3或m＋n＝－17.
7．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为________．
答案 x＋y＝0或x＋y－10＝0
解析 易知l1∥l2，且它们之间的距离
d＝eq \f(|2－－3|,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2).
设所求直线为l4，则l4∥l3，
所以可设l4：x＋y＋c＝0，则eq \f(|c＋5|,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2)，
解得c＝0或－10，
所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
8．已知△ABC的两顶点A，B在直线l1：2x－y＋3＝0上，点C在直线l2：2x－y－1＝0上，若△ABC的面积为2，则AB边的长为________．
答案 eq \r(5)
解析 点C到AB的距离即为l1与l2之间的距离，
∴d＝eq \f(|－1－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(4,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，
S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|·d＝2，
∴|AB|＝4÷eq \f(4\r(5),5)＝eq \r(5).
9．已知直线l经过点P(－2,5)，l的一个方向向量为d＝(4，－3)．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解 (1)由l的一个方向向量为d＝(4，－3)，
即直线l的斜率k＝－eq \f(3,4)，
由点斜式方程得y－5＝－eq \f(3,4)(x＋2)，
即3x＋4y－14＝0.
(2)因为直线m与l平行，则可设m的方程为3x＋4y＋c＝0，
由平行线间的距离公式得eq \f(|c＋14|,5)＝3，
解得c＝1或－29.
所以直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
10．设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0.
(1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；
(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．
解 (1)若l1∥l2，则m≠0，
∴eq \f(1,2)＝－eq \f(3－m,m)，∴m＝6，
∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0，
∴l1，l2之间的距离d＝eq \f(5,\r(1＋4))＝eq \r(5).
(2)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞0，,3－m＞0))，∴0＜m＜3，
直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积
S＝eq \f(1,2)m(3－m)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(3,2)))2＋eq \f(9,8)，
∴当m＝eq \f(3,2)时，S的最大值为eq \f(9,8)，
此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0.
11．已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2)
C.eq \f(\r(2),2)或eq \r(2) D．0或eq \r(2)
答案 B
解析 ∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，∴eq \f(m＋4,m)＝eq \f(m＋4,2)，∴m＝2，
∴直线l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，
则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为eq \f(|－1＋3|,\r(2))＝eq \r(2).
12．(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为 ( )
A．1 B．3 C．5 D．7
答案 ABC
解析 当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的最大距离为|PQ|＝eq \r(－1－22＋[3－－1]2)＝5，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5]．
13．正方形ABCD的中心为点O(－1,0)，AB边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，则CD边所在的直线的方程为( )
A．x＋3y＋7＝0 B．3x－y－3＝0
C．3x－y＋9＝0 D．x＋3y－27＝0
答案 A
解析 点O(－1,0)到直线x＋3y－5＝0的距离
d＝eq \f(|－1－5|,\r(1＋9))＝eq \f(3\r(10),5)，
设与边AB平行的边CD所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点O(－1,0)到直线x＋3y＋m＝0的距离
d＝eq \f(|－1＋m|,\r(1＋9))＝eq \f(3\r(10),5)，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以CD边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
14．若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq \r(2)，则该直线的倾斜角大小为________．
答案 15°或75°
解析 由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝eq \f(|3－1|,\r(2))＝eq \r(2)，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq \r(2)，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为_______________．
答案 x＋y－3＝0
解析 设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
所以AD＝eq \r(2)，BC＝eq \r(2)b.
梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，
故h＝eq \f(|b－1|,\r(2))＝eq \f(b－1,\r(2))(b>1)，
由梯形面积公式得eq \f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq \f(b－1,\r(2))＝4，
所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3.
所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0.
16．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是eq \f(7\r(5),10).
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的eq \f(1,2)；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是eq \r(2)∶eq \r(5)？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
解 (1)l2的方程即为2x－y－eq \f(1,2)＝0，
∴l1和l2的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))),\r(22＋－12))＝eq \f(7\r(5),10)，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))＝eq \f(7,2).
∵a>0，∴a＝3.
(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且eq \f(|c－3|,\r(5))＝eq \f(1,2)×eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2))),\r(5))，
即c＝eq \f(13,2)或c＝eq \f(11,6).
∴2x0－y0＋eq \f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq \f(11,6)＝0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得
eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq \f(\r(2),\r(5))·eq \f(|x0＋y0－1|,\r(2))，
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意．
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(13,2)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))
解得x0＝－3，y0＝eq \f(1,2)，应舍去．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(11,6)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))
解得x0＝eq \f(1,9)，y0＝eq \f(37,18).
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(37,18)))即为同时满足三个条件的点．