人教B版 (2019)第二章　平面解析几何本章综合与测试导学案

这是一份人教B版 (2019)第二章　平面解析几何本章综合与测试导学案，共10页。学案主要包含了平行或垂直的直线系方程，过两直线交点的直线系方程，过定点的直线系方程等内容，欢迎下载使用。

一、平行或垂直的直线系方程
知识梳理
平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)；
垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
例1 过点(1,0)，且与直线x－2y－2＝0垂直的直线的方程是( )
A．2x＋y－2＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
答案 A
解析 设直线的方程为2x＋y＋c＝0，把点(1,0)代入可得c＝－2，即2x＋y－2＝0.
延伸探究
本例求“过点(1,0)，且与直线x－2y－2＝0”平行的直线方程．
解 设直线的方程为x－2y＋c＝0，把点(1,0)代入可得c＝－1，即x－2y－1＝0.
反思感悟 解决平行或垂直的直线系方程的思路
(1)利用与已知直线平行或垂直的关系设方程；
(2)根据平行与垂直的关系找斜率之间的关系，需要考虑斜率不存在的情况．
跟踪训练1 (1)过点P(2,2)，且与直线5x－3y＋8＝0平行的直线方程为________．
答案 5x－3y－4＝0
解析 由题意，得直线5x－3y＋8＝0的斜率是eq \f(5,3)，所求直线的斜率是eq \f(5,3)，
所以所求直线的方程为y－2＝eq \f(5,3)(x－2)，
即5x－3y－4＝0.
(2)过点(3,5)与直线y＝x＋m垂直的直线方程是____________________．
答案 x＋y－8＝0
解析 设所求直线为y＝－x＋n，
过点(3,5)，故n＝8，
直线方程为x＋y－8＝0.
二、过两直线交点的直线系方程
知识梳理
过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
例2 求经过直线l1：x＋y－2＝0与l2：x－y－4＝0的交点且与直线l：3x＋2y－1＝0平行的直线方程．
解 方法一 l1与l2的交点坐标为(3，－1)，设直线3x＋2y＋c＝0，解得c＝－7，
故所求的方程为3x＋2y－7＝0.
方法二 设过l1与l2交点的直线方程为x＋y－2＋λ(x－y－4)＝0，
即(1＋λ)x＋(1－λ)y－2－4λ＝0，
故有2(1＋λ)＝3(1－λ)，所以λ＝eq \f(1,5)，代入上式，
化简得3x＋2y－7＝0.
延伸探究 本例条件不变，求与l垂直的直线方程．
解 过l1与l2交点的直线方程为(1＋λ)x＋(1－λ)y－2－4λ＝0，
故有3(1＋λ)＋2(1－λ)＝0，所以λ＝－5，
代入上式，化简得2x－3y－9＝0.
反思感悟 求过两直线交点的直线系方程的思路
(1)求交点坐标是基本方法；
(2)根据题目不同的要求，可设A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
跟踪训练2 求经过点(2,3)且经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点的直线方程．
解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y－4＝0，,5x＋2y＋6＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝2，))
所以直线l1与l2的交点为(－2,2)．
由两点式可得所求直线的方程为eq \f(y－3,2－3)＝eq \f(x－2,－2－2)，
即x－4y＋10＝0.
三、过定点的直线系方程
例3 无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．
解 方法一 ∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－7＝0，,x－y－4＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝3.))
∴点P的坐标为(7,3)．
方法二 令m＝－1，得y＝3，
令m＝0，得x＝7，故P(7,3)．
反思感悟 解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
跟踪训练3 已知直线m的方程为(a＋1)x＋ay－3a－1＝0(a∈R)，则坐标原点O到m的距离的最大值为________．
答案 eq \r(5)
解析 直线m的方程为(a＋1)x＋ay－3a－1＝0(a∈R)，
即a(x＋y－3)＋x－1＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3＝0，,x－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))
所以直线m恒过定点B(1,2)，
所以原点O到直线m的距离d≤|OB|＝eq \r(5)，
即O到直线m的距离的最大值为eq \r(5).
1.知识清单：
(1)平行或垂直的直线系方程．
(2)过两直线交点的直线系方程．
(3)过定点的直线系方程．
2．方法归纳：消元法、直线系法、赋值法．
3．常见误区：求与已知直线平行的直线方程忽略重合．
1．已知直线l经过点(2，－3)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l在y轴上的截距为( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
答案 B
解析 易知2x－y－5＝0的斜率为2，
故直线l的斜率为－eq \f(1,2)，
根据点斜式可得直线l的方程为y＝－eq \f(1,2)(x－2)－3，
整理可得y＝－eq \f(1,2)x－2，
故直线l在y轴上的截距为－2.
2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且平行于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A．x－2y＋11＝0 B．x＋2y＋11＝0
C．x－2y－11＝0 D．x＋2y－11＝0
答案 A
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋4＝0，,x－y＋5＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝6，))
设所求直线方程为x－2y＋C＝0(C≠0)，代入点(1,6)有1－12＋C＝0，∴C＝11，
故所求直线方程为x－2y＋11＝0.
3．已知k∈R，直线y－3＝k(x＋2)恒过定点( )
A．(2，－3) B．(－2,3)
C．(－2,0) D．(0,3)
答案 B
解析 由y－3＝k(x＋2)得(y－3)－k(x＋2)＝0，
对于k∈R总成立，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－3＝0，,x＋2＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3，,x＝－2，))
即恒过定点(－2,3)．
4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．
答案 2x＋y－4＝0
解析 设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴k＝eq \f(3＋λ,1－λ)＝－2，解得λ＝5.
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
课时对点练
1．直线kx＋y＋1＝2k，当k变动时，所有直线都通过定点( )
A．(2，－1) B．(－2，－1)
C．(2,1) D．(－2,1)
答案 A
解析 kx＋y＋1＝2k，可化为y＋1＝k(2－x)，
故该直线恒过定点(2，－1)．
2．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
答案 D
解析 过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－eq \f(4,5)，故所求直线方程为x－3y＋4－eq \f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
3．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为( )
A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0
C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0
答案 A
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
4．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )
A．x＋y＋1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
D．x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0
答案 C
解析 设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，
即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0，
令x＝0，得y＝eq \f(7λ－6,2＋5λ)，令y＝0，得x＝eq \f(7λ－6,3＋2λ).
由eq \f(7λ－6,2＋5λ)＝eq \f(7λ－6,3＋2λ)，得λ＝eq \f(1,3)或λ＝eq \f(6,7).
所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2,3)
B．恒过定点(2,3)
C．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D．都是平行直线
答案 A
解析 (a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－y＋1＝0，,x＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3.))
6．(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－eq \f(1,2)
D．若l1⊥l2，则m＝eq \f(1,2)
答案 BD
解析 直线l1∥l2，则3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，但当m＝－1时，两直线方程分别为x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0，即x－y－1＝0，两直线重合，只有当m＝3时两直线平行，A错误，B正确；l1⊥l2，则m－2＋3m＝0，m＝eq \f(1,2)，C错误，D正确．
7．过点P(3,4)，且与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为____________________．
答案 2x－y－2＝0
解析 设与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为2x－y＋m＝0，把点P(3,4)的坐标代入直线方程，求得m＝－2，所以所求直线方程为2x－y－2＝0.
8．已知直线l经过点P(－1,2)，且垂直于直线2x＋3y－1＝0，则直线l的方程是________．
答案 3x－2y＋7＝0
解析 由题意，知所求直线l垂直于直线2x＋3y－1＝0，
设直线l的方程是3x－2y＋c＝0，
又由直线l过点P(－1,2)，代入可得－3－4＋c＝0，
解得c＝7，
故l的方程是3x－2y＋7＝0.
9．已知两条直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求：
(1)过点P与Q(1,4)的直线方程；
(2)过点P且与直线x－3y－1＝0垂直的直线方程．
解 设过直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0交点的直线方程为x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0，
即(m＋1)x＋(2－2m)y＋(2m－6)＝0.①
(1)把点Q(1,4)代入方程①，
化简得3－5m＝0，解得m＝eq \f(3,5)，
所以过两直线交点P与Q的直线方程为
eq \f(8,5)x＋eq \f(4,5)y－eq \f(24,5)＝0，即2x＋y－6＝0.
(2)由直线①与直线x－3y－1＝0垂直，
得(m＋1)－3(2－2m)＝0，解得m＝eq \f(5,7)，
所以所求直线的方程为eq \f(12,7)x＋eq \f(4,7)y－eq \f(32,7)＝0，
即3x＋y－8＝0.
10．已知直线l1：x＋2y－4＝0与直线l2：x－y－1＝0的交点为A，直线l经过点A，点P(1，－1)到直线l的距离为2，直线l3与直线l1关于直线l2对称．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l3的方程．
解 (1)设过点A的直线l：x＋2y－4＋λ(x－y－1)＝0，
即(1＋λ)x＋(2－λ)y－4－λ＝0.
点P到直线l的距离
d＝eq \f(|1＋λ－2－λ－4－λ|,\r(1＋λ2＋2－λ2))＝eq \f(|λ－5|,\r(2λ2－2λ＋5))＝2，
解得λ＝－1或eq \f(5,7)，分别代入直线l方程中，
所以直线l：y＝1或4x＋3y－11＝0.
(2)设直线l3上任一点M(x，y)关于直线l2对称的点为N(x′，y′)，则lMN⊥l2，MN连线中点在l2上，且N在l1上．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－y′,x－x′)＝－1，,\f(x′＋x,2)－\f(y＋y′,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝y＋1，,y′＝x－1，))
点N(y＋1，x－1)代入直线l1：x＋2y－4＝0中，得y＋1＋2(x－1)－4＝0，
整理得2x＋y－5＝0，即为所求直线l3的方程．
11．已知a>0，b>0，两直线l1：(a－2)x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝0，且l1⊥l2，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．2 B．4 C.eq \f(9,2) D．8
答案 C
解析 ∵a>0，b>0，l1⊥l2，
∴a－2＋2b＝0，整理得a＋2b＝2，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,2)(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＋\f(2a,b)＋5))
≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＋5))＝eq \f(9,2)，
当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)，即a＝b＝eq \f(2,3)时等号成立，
故eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为eq \f(9,2).
12．当点P(2,3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为( )
A．3，－3 B．5,2
C．5,1 D．7,1
答案 C
解析 直线l恒过点A(－3,3)，
根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.
13．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(10) C.eq \r(14) D．2eq \r(15)
答案 B
解析 (1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，
整理得x＋y－2＋λ(3x＋2y－5)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0，))
解得x＝y＝1，
所以直线过定点Q(1,1)，
所以点P到直线l的距离的最大值为d＝|PQ|＝eq \r(－2－12＋1)＝eq \r(10).
14．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________．
答案 2
解析 设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，
因为原点到直线的距离d＝eq \f(|－10|,\r(1＋3λ2＋3－λ2))＝1，
所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，
所以和原点相距为1的直线的条数为2.
15．已知直线l：(m＋3)x＋(m－2)y－m－2＝0，点A(－2，－1)，B(2，－2)，若直线l与线段AB相交，则m的取值范围为( )
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－2,2)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，8)) D．(4，＋∞)
答案 C
解析 直线l方程变形得(x＋y－1)m＋(3x－2y－2)＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,3x－2y－2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,5)，,y＝\f(1,5)，))
∴直线l恒过点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(1,5)))，
kAC＝eq \f(\f(1,5)＋1,\f(4,5)＋2)＝eq \f(3,7)，kBC＝eq \f(\f(1,5)＋2,\f(4,5)－2)＝－eq \f(11,6)，
由图可知直线l的斜率k的取值范围为k≤－eq \f(11,6)或k≥eq \f(3,7)，
又k＝－eq \f(m＋3,m－2)，
∴－eq \f(m＋3,m－2)≤－eq \f(11,6)或－eq \f(m＋3,m－2)≥eq \f(3,7)，
即2又当m＝2时，直线的方程为x＝eq \f(4,5)，仍与线段AB相交，
∴m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，8)).
16．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5,0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5,0)到直线l的距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程．
解 (1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
点A(5,0)到直线l的距离为3，
所以eq \f(|10＋5λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3，
解得λ＝eq \f(1,2)或λ＝2，
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交点P(2,1)，
如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，所以dmax＝|PA|＝eq \r(10)，
直线l的斜率k＝－eq \f(1,kPA)＝3，
所以直线l的方程为3x－y－5＝0.