2021学年2.2.1 直线的倾斜角与斜率第2课时导学案

这是一份2021学年2.2.1 直线的倾斜角与斜率第2课时导学案，共12页。学案主要包含了直线的方向向量，直线的方向向量与倾斜角，直线的法向量等内容，欢迎下载使用。
导语
同学们，上节课我们求了直线的倾斜角和斜率，我们知道如果直线有斜率，只需知直线上的任意两点，就可以求直线的斜率，也知道两点确定一条直线，我们今天就来研究一下两点的直线的方向问题．
一、直线的方向向量
问题1 什么是直线的方向向量？如何求？
提示 与已知直线平行或重合的向量就是直线的方向向量，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量．
知识梳理
定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.
(1)a＝(1,0)表示所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量．
b＝(0,1)表示所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量．
(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线．
(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量．
注意点：(1)任意的直线都有方向向量；(2)任意直线的方向向量不唯一；(3)直线的方向向量是非零向量．
例1 (1)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－1 D．1
答案 C
解析 由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，
得eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－3－y)，
又直线AB的一个方向向量为n＝(－1，－1)，
∴n∥eq \(AB,\s\up6(→))，
∴(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1.
(2)平面内点A(－1，－5)，B(2,1)，C(4,5)，证明：A，B，C三点共线．
解 方法一 kAB＝eq \f(1－－5,2－－1)＝eq \f(6,3)＝2，
kAC＝eq \f(5－－5,4－－1)＝eq \f(10,5)＝2.
∵kAB＝kAC，∴A，B，C三点共线．
方法二 eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1)－(－1，－5)＝(3,6)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(4,5)－(－1，－5)＝(5,10)＝eq \f(5,3)eq \(AB,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，
又eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))有公共点A，∴A，B，C三点共线．
反思感悟 直线的方向向量的求法
(1)在直线上任找两点P，Q，则eq \(PQ,\s\up6(→))(eq \(QP,\s\up6(→)))为直线l的一个方向向量．
(2)已知直线的斜率为k，则a＝(1，k)为直线的一个方向向量．
(3)a＝(t,0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量．
跟踪训练1 (1)直线l过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l的方向向量为a＝(m，n)，则mn＝________.
答案 0
解析 依题意，直线l垂直于x轴，∴m＝0，n为任意非零实数，∴mn＝0.
(2)已知直线l经过点P(1,2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为( )
A．(－3，－4) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(3,5)，±\f(4,5))) D．±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))
答案 D
解析 由题意得，直线l的一个方向向量为eq \(PQ,\s\up6(→))＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)，则|eq \(PQ,\s\up6(→))|＝eq \r(－32＋－42)＝5，
因此直线l的单位方向向量为±eq \f(\(PQ,\s\up6(→)),|\(PQ,\s\up6(→))|)＝±eq \f(1,5)(－3，－4)＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5))).
二、直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系
问题2 直线的方向向量与直线的倾斜角、斜率有什么样的关系？
提示 我们知道如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量，它可以表示任意直线的方向向量，若x2≠x1，即θ≠90°时，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(y2－y1,x2－x1)))＝(x2－x1)(1，k)＝(x2－x1)(1，tan θ)＝(x2－x1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(sin θ,cs θ)))＝eq \f(1,cs θ)(x2－x1)(cs θ，sin θ)．
知识梳理
1．如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cs θ，sin θ)为直线l的一个方向向量．
如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量．
2．如果a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则
当u＝0时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
当u≠0时，直线的斜率存在，且k＝tan θ＝eq \f(v,u).
注意点：(1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)；(2)斜率存在时的直线的方向向量a＝(1，k)；(3)任意直线的方向向量可表示为a＝(cs θ，sin θ)．
例2 (1)直线l的方向向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α，\f(\r(3),2)sin 2α))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))，则直线l的倾斜角的取值范围是________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))
解析 ∵α≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
∴cs α≠0，sin α≠±1.
令直线l的倾斜角为θ，
∴tan θ＝eq \f(\f(\r(3),2)sin 2α,cs α)＝eq \r(3)sin α.
∵sin α∈(－1,1)，∴tan α∈(－eq \r(3)，eq \r(3))，
又θ∈[0，π)，
故θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)).
(2)直线l过点P(1，－3)，Q(4，eq \r(3)－3)，求直线l的一个方向向量、斜率和倾斜角．
解 方法一 eq \(PQ,\s\up6(→))＝(4，eq \r(3)－3)－(1，－3)＝(3，eq \r(3))．
∴eq \(PQ,\s\up6(→))＝(3，eq \r(3))为直线l的一个方向向量，
∴k＝eq \f(\r(3),3)，∴tan θ＝eq \f(\r(3),3)，θ＝30°.
故该直线的斜率为eq \f(\r(3),3)，倾斜角为30°.
方法二 kPQ＝eq \f(\r(3)－3－－3,4－1)＝eq \f(\r(3),3)，
∴tan θ＝eq \f(\r(3),3)，∴θ＝30°.
直线l的一个方向向量a＝(1，k)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3))).
反思感悟 直线的方向向量与倾斜率、斜率之间的关系
如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cs θ，sin θ)为直线l的一个方向向量．
如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量．
跟踪训练2 (1)直线l的倾斜角为150°，则该直线的斜率为________，一个方向向量为________．
答案 －eq \f(\r(3),3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),3)))
解析 ∵θ＝150°，∴k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3).
∴a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),3)))为直线的一个方向向量．
(2)经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案 D
解析 由已知得k＝eq \f(2－0,0－1)＝－2.
三、直线的法向量
问题3 什么是直线的法向量？如何求？
提示 直线的法向量与直线垂直．则直线的法向量与直线的方向向量也垂直，若直线的方向向量是a＝(x0，y0)，由向量垂直的数量积为0可知，直线的法向量为v＝(y0，－x0)．
知识梳理
定义：一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.
(1)一条直线的方向向量与法向量互相垂直．
(2)当x0，y0不全为0时，若a＝(x0，y0)为直线l的方向向量，则v＝(y0，－x0)为直线l的法向量；若v＝(x0，y0)为直线l的法向量，则a＝(y0，－x0)为直线l的方向向量．
注意点：(1)任意直线都有法向量．
(2)直线的法向量不唯一．
(3)直线的法向量是非零向量．
例3 (1)直线l过点A(－1,3)和B(3,2)，则直线l的法向量为( )
A．(－1,4) B．(2,5)
C．(5，－2) D．(－1，－4)
答案 D
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,2)－(－1,3)＝(4，－1)为直线l的一个方向向量，∴直线l的法向量v＝(－1，－4)．
(2)直线l的法向量为v＝(eq \r(3)，－3)，则直线l的斜率为________，倾斜角为________．
答案 eq \f(\r(3),3) 30°
解析 v＝(eq \r(3)，－3)为直线l的法向量，
则a＝(－3，－eq \r(3))为直线l的方向向量．
∴k＝eq \f(－\r(3),－3)＝eq \f(\r(3),3)，
∴tan θ＝eq \f(\r(3),3)，θ＝30°.
∴直线l的斜率为eq \f(\r(3),3)，倾斜角为30°
反思感悟 直线的法向量的求法
若直线的方向向量为a＝(x0，y0)，则直线的法向量v＝(y0，－x0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可．
跟踪训练3 (1)直线PQ的斜率为－eq \r(3)，则直线PQ的法向量所在直线的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 A
解析 kPQ＝－eq \r(3)，
∴PQ的倾斜角为120°，
又直线PQ的法向量与直线PQ垂直，
故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°.
(2)直线l上两点A(－2,3)，B(4，m)，若直线l的法向量为v＝(2，－3)，则m＝________.
答案 7
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(4，m)－(－2,3)＝(6，m－3)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))为直线l的一个方向向量．
∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥v，
∴6×2＋(－3)·(m－3)＝0，
∴m＝7.
1.知识清单：
(1)直线的方向向量．
(2)直线的法向量．
(3)直线的方向向量和法向量的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量，法向量易混淆．
1．直线过点(－3,0)，(－2，eq \r(3))，则该直线的一个方向向量为( )
A．(－1，eq \r(3)) B．(1，－eq \r(3))
C．(1，eq \r(3)) D．(5，eq \r(3))
答案 C
解析 直线的方向向量为a＝(－2，eq \r(3))－(－3,0)＝(1，eq \r(3))．
2．直线AB的方向向量a＝(3，－eq \r(3))，则该直线的倾斜角为( )
A．45° B．60° C．120° D．150°
答案 D
解析 a＝(3，－eq \r(3))＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),3)))，
∴k＝－eq \f(\r(3),3)，∴tan θ＝－eq \f(\r(3),3)，
又0°≤θ＜180°，∴θ＝150°.
3．直线l1与l2的法向量分别为v1＝(2，－3)，v2＝(3，－1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k1＝k2
C．k1k1.
4．已知向量m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，则m与n共线，则直线AB的斜率的取值范围是________________．
答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析 ∵m∥n，∴m＝(a，a2＋1)为直线AB的一个方向向量，
∴kAB＝eq \f(a2＋1,a)＝a＋eq \f(1,a).
①当a>0时，a＋eq \f(1,a)≥2，当且仅当a＝1时取等号，所以a＋eq \f(1,a)∈[2，＋∞)．
②当a0，
又k＝eq \f(2m＋5－1,m＋3－2m－1)＝eq \f(2m＋4,－m＋4)>0，
即(m＋2)(m－4)0，b>0.
∴eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(3,b)))·eq \f(1,3)(2a＋3b)
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋9＋\f(6b,a)＋\f(6a,b)))＝eq \f(13,3)＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))
≥eq \f(13,3)＋2×2eq \r(\f(b,a)×\f(a,b))＝eq \f(25,3)，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)，即a＝b＝eq \f(3,5)时，等号成立．
∴当a＝b＝eq \f(3,5)时，eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)最小为eq \f(25,3).
11．已知直线PQ的斜率为－eq \r(3)，将直线PQ绕点P逆时针旋转120°，所得直线的一个方向向量为( )
A．(－eq \r(3)，1) B．(eq \r(3)，－1)
C．(－1，eq \r(3)) D．(－eq \r(3)，－3)
答案 D
解析 kPQ＝－eq \r(3)，
∴PQ的倾斜角为120°.
绕点P逆时针旋转120°后所得直线的倾斜角为60°，
∴k＝tan 60°＝eq \r(3).
∴所得直线的一个方向向量为a＝(1，eq \r(3))，
∴与a共线的向量都是所得直线的方向向量，故选D.
12．将直线l沿y轴负方向平移a(a>0)个单位长度，再沿x轴正方向平移(a＋1)个单位长度，得到直线l′，此时直线l′与l重合，若直线l的方向向量为a＝(2，－1)，则a的值为( )
A.eq \f(1,2) B．1 C．2 D．4
答案 B
解析 设直线l上一点为A(m，n)，
则平移后的坐标为A′(m＋a＋1，n－a)．
∵A与A′都在直线l上，
∴eq \(AA′,\s\up6(——→))＝(m＋a＋1，n－a)－(m，n)＝(a＋1，－a)为直线l的一个方向向量．
∴eq \(AA′,\s\up6(——→))∥a，
∴－2a＋(a＋1)＝0，∴a＝1.
13．直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 D
解析 直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，
∴方向向量a＝(a2＋1，－1)，
k＝eq \f(－1,a2＋1)＝－eq \f(1,a2＋1).
又∵a2＋1≥1，
∴0