2022年高中数学新教材人教B版选择性必修第一册学案章末检测试卷(一)

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册本册综合学案及答案，共12页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))－eq \(D1C1,\s\up6(—→))等于( )
A.eq \(AD1,\s\up6(→)) B.eq \(AC1,\s\up6(→)) C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))
答案 A
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))－eq \(D1C1,\s\up6(—→))＝eq \(AC1,\s\up6(→))＋eq \(C1D1,\s\up6(—→))＝eq \(AD1,\s\up6(→)).
2．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，
即(1，3，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝1，,－x＋4y＝3，,3x－2y＝λ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，,λ＝1.))
3．平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
答案 C
解析 ∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直．
4．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，则|eq \(BP,\s\up6(→))|2的值为( )
A.eq \f(3,2) B．3 C.eq \f(7,4) D.eq \f(9,4)
答案 D
解析 由题可知|eq \(BA,\s\up6(→))|＝1，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(2).
〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝60°，
所以|eq \(BP,\s\up6(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(BA,\s\up6(→))－\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))＋\(BD,\s\up6(→))))2＝eq \f(1,4)eq \(BA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＋2－eq \f(1,2)×1×1×eq \f(1,2)＋1×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)－1×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(9,4).
5．已知空间向量a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A.eq \f(5\r(3),2) B.eq \f(3\r(5),2) C.eq \f(\r(37),2) D.eq \f(\r(21),2)
答案 B
解析 因为a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)，
所以2a－b＝(4，2n－1，2)．
因为2a－b与b垂直，
所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0，
解得n＝eq \f(5,2)，所以a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)，2))，
所以|a|＝eq \r(12＋22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2)＝eq \f(3\r(5),2).
6．如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点O是BC的中点，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，点D在平面Oyz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(5) D.eq \r(6)
答案 D
解析 因为点D在平面Oyz内，
所以点D的横坐标为0，
又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，
所以点D的竖坐标z＝4·sin 30°·sin 60°＝eq \r(3)，
纵坐标y＝－(2－4·sin 30°·cs 60°)＝－1，
所以D(0，－1，eq \r(3))．
所以AD＝|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1))2＋0－\r(3)2)＝eq \r(6).
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，E是CD的中点，F是AB的中点．则异面直线B1E与D1F所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D.eq \f(1,9)
答案 B
解析 依题意，建立空间直角坐标系，
则E(0，1，0)，F(1，1，0)，B1(1，2，1)，D1(0，0，1)，
所以eq \(B1E,\s\up6(—→))＝(－1，－1，－1)，eq \(D1F,\s\up6(—→))＝(1，1，－1)，
设异面直线B1E与D1F所成的角为θ，
则cs θ＝eq \f(|\(B1E,\s\up6(—→))·\(D1F,\s\up6(—→))|,|\(B1E,\s\up6(—→))||\(D1F,\s\up6(—→))|)＝eq \f(|－1×1＋－1×1＋－1×－1|,\r(－12＋－12＋－12)·\r(12＋12＋－12))＝eq \f(1,3).
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若棱长AB＝3，则点B到平面ACD1的距离为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(3\r(2),2) D.eq \f(3,2)
答案 A
解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题意，知B(3，3，0)，A(3，0，0)，C(0，3，0)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)．
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝(－3，3，0)，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－3，0，3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，3，0)．
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝－3x＋3y＝0，,n·\(AD1,\s\up6(→))＝－3x＋3z＝0，))
取x＝1，可得n＝(1，1，1)，
∴点B到平面ACD1的距离为eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \r(3).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列命题中错误的是( )
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0
B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
C．若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
答案 BCD
解析 显然A正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a| －|b||，故B错误；若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误．
10．已知直线l过点P(1，0，－1)，且平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是( )
A．(1，－4，2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1，－\f(1,2))) D．(0，－1，1)
答案 ABC
解析 因为eq \(PM,\s\up6(→))＝(0，2，4)，直线l平行于向量a，
若n是平面α的法向量，
则必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·\(PM,\s\up6(→))＝0，))
把各选项代入验证，只有选项D不满足，故选ABC.
11．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(15),6) B．－eq \f(\r(15),6) C.eq \f(\r(15),3) D．－eq \f(\r(15),3)
答案 AB
解析 令n1＝(0，－1，3)，n2＝(2，2，4)，
∴cs〈n1，n2〉＝eq \f(0，－1，3·2，2，4,\r(1＋9)·\r(4＋4＋16))＝eq \f(\r(15),6)，
令二面角的大小为θ，∴θ＝π－〈n1，n2〉或θ＝〈n1，n2〉，
∴这个二面角的余弦值为eq \f(\r(15),6)或－eq \f(\r(15),6).
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．向量eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(CB1,\s\up6(→))的夹角为60°
答案 ABC
解析 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，eq \(AC1,\s\up6(→))＝(－1，1，1)，eq \(CD1,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，eq \(B1D1,\s\up6(—→))＝(－1，－1，0)，eq \(CB1,\s\up6(→))＝(1，0，1)，对于选项A，由eq \(B1D1,\s\up6(—→))＝eq \(BD,\s\up6(→))知结论正确；对于选项B，由eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0知结论正确；对于选项C，由eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(B1D1,\s\up6(—→))＝0，eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(CB1,\s\up6(→))＝0，且B1D1∩CB1＝B1，知结论正确；对于选项D，由cs〈eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(CB1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AD,\s\up6(→))·\(CB1,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))||\(CB1,\s\up6(→))|)＝－eq \f(\r(2),2)，知结论不正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a与b夹角的余弦值为________．
答案 eq \f(\r(21),6)
解析 ∵a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2＋2＋3,\r(14)×\r(6))＝eq \f(\r(21),6).
14. 对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下列三个命题：
①a∥b⇔eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)；
②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；
③a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
其中真命题为________(填序号)．
答案 ③
解析 由eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)⇒a∥b，反之不一定成立，故①不正确；②显然错误；③是正确的．
15．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，5，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，1，z)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且eq \(BP,\s\up6(→))⊥平面ABC，则eq \(BP,\s\up6(→))＝______________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3))
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，∴3＋5－2z＝0，∴z＝4.
∵eq \(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且eq \(BP,\s\up6(→))⊥平面ABC，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(BP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))＝0，,\(BP,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＋5y＋6＝0，,3x－3＋y－12＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7)，))故eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3)).
16．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，将菱形沿对角线AC折成直二面角D′－AC－B，折起后直线AB与CD′间的距离为________．
答案 eq \f(2\r(21),7)
解析 设AC∩BD＝O，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
折起后，OD′⊥AC，OB⊥AC，
由于二面角D′－AC－B为直二面角，即平面ACD′⊥平面ABC，
∵平面ACD′∩平面ABC＝AC，OD′⊥AC，OD′⊂平面ACD′，∴OD′⊥平面ABC，
以O为坐标原点，直线OC、OB、OD′分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
在原菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，
∴OA＝OC＝eq \r(3)，OB＝OD′＝1，
∴A(－eq \r(3)，0，0)，B(0，－1，0)，C(eq \r(3)，0，0)，D′(0，0，1)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，－1，0)，eq \(CD′,\s\up6(—→))＝(－eq \r(3)，0，1)，
设n＝(x，y，z)，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(CD′,\s\up6(—→))＝0，))
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)x－y＝0，,－\r(3)x＋z＝0.))
令x＝1，则y＝eq \r(3)，z＝eq \r(3)，∴n＝(1，eq \r(3)，eq \r(3))．
又∵eq \(AD′,\s\up6(—→))＝(eq \r(3)，0，1)，
∴AB与CD′间的距离d＝eq \f(|n·\(AD′,\s\up6(—→))|,|n|)＝eq \f(2\r(3),\r(7))＝eq \f(2\r(21),7).
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)若点D在直线AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，求点D的坐标；
(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．
解 (1)由题意知，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－3，2)，点D在直线AC上，
设eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＝λ(1，－3，2)＝(λ，－3λ，2λ)，
∴D(λ，2－3λ，2λ＋3)，
eq \(BD,\s\up6(→))＝(λ，2－3λ，3＋2λ)－(－2，1，6)＝(λ＋2，1－3λ，2λ－3)，
∵eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(1，－3，2)·(λ＋2，1－3λ，2λ－3)＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0，
∴λ＝eq \f(1,2)，
∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，4)).
(2)∵eq \(BA,\s\up6(→))＝(2，1，－3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)，
∴|eq \(BA,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋12＋－32)＝eq \r(14)，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(32＋－22＋－12)＝eq \r(14)，
∴eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7，
∴cs B＝cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(7,\r(14)×\r(14))＝eq \f(1,2)，
∴sin B＝eq \f(\r(3),2)，
∴S＝eq \r(14)×eq \r(14)×eq \f(\r(3),2)＝7eq \r(3)，
∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7eq \r(3).
18．(12分)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．
(1)若(a＋kb)∥(2a＋b)，求实数k；
(2)若向量a＋kb与2a＋b所成角为锐角，求实数k的范围．
解 (1)由已知可得，a＋kb＝(1－k，1，2k)，2a＋b＝(1，2，2)，
因为(a＋kb)∥(2a＋b)，
所以eq \f(1－k,1)＝eq \f(1,2)＝eq \f(2k,2)，可得k＝eq \f(1,2).
(2)由(1)知，a＋kb＝(1－k，1，2k)，2a＋b＝(1，2，2)，
因为向量a＋kb与a＋2b所成角为锐角，
所以(a＋kb)·(2a＋b)＝(1－k，1，2k)·(1，2，2)＝1－k＋2＋4k>0，
解得k>－1，
又当k＝eq \f(1,2)时，(a＋kb)∥(2a＋b)，
可得实数k的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>－1且k≠\f(1,2))))).
19．(12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：BC⊥平面BDE.
证明 ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED⊂平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD.
以D为坐标原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)．
(1)∵M为EC的中点，
∴M(0，2，1)，
则eq \(BM,\s\up6(→))＝(－2，0，1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(0，0，2)，
∴eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AF,\s\up6(→))，故eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))共面．
又BM⊄平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF.
(2)eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(0，0，2)，
∵eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝－4＋4＝0，
∴BC⊥DB.
又eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝0，∴BC⊥DE.
又DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BDE，
∴BC⊥平面BDE.
20．(12分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点．
(1)求点N到直线AB的距离；
(2)求点C1到平面ABN的距离．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2eq \r(3)，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4)，
∵N是CC1的中点，∴N(0，4，2)．
(1)eq \(AN,\s\up6(→))＝(0，4，2)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)，2，0)，
则|eq \(AN,\s\up6(→))|＝2eq \r(5)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4.
设点N到直线AB的距离为d1，
则d1＝eq \r(|\(AN,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AN,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))2)＝eq \r(20－4)＝4.
(2)设平面ABN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥eq \(AB,\s\up6(→))，n⊥eq \(AN,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝2\r(3)x＋2y＝0，,n·\(AN,\s\up6(→))＝4y＋2z＝0，))
令z＝2，则y＝－1，x＝eq \f(\r(3),3)，
即n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，－1，2)).
易知eq \(C1N,\s\up6(—→))＝(0，0，－2)，设点C1到平面ABN的距离为d2，
则d2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(C1N,\s\up6(—→))·n,|n|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－4,\f(4\r(3),3))))＝eq \r(3).
21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)求证：BE⊥DC；
(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求平面FAB与平面ABP夹角的余弦值．
(1)证明 依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)，所以eq \(BE,\s\up6(→))＝(0，1，1)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(2，0，0)，故eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝0，所以BE⊥DC.
(2)解 eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，2，0)，eq \(CP,\s\up6(→))＝(－2，－2，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)．
由点F在棱PC上，设eq \(CF,\s\up6(→))＝λeq \(CP,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，
故eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋λeq \(CP,\s\up6(→))＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF⊥AC，得eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝eq \f(3,4)，
即eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(3,2))).
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n1·\(BF,\s\up6(→))＝0))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(3,2)z＝0.))
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．
易知向量n2＝(0，1，0)为平面ABP的一个法向量，
则cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq \f(－3,\r(10)×1)＝－eq \f(3\r(10),10).
所以平面FAB与平面ABP夹角的余弦值为eq \f(3\r(10),10).
22．(12分)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝eq \r(5)，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
(1)求证：MN∥平面ABCD；
(2)求平面ACD1与平面ACB1所成角的正弦值；
(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为eq \f(1,3)，求线段A1E的长．
(1)证明 如图，以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，－2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，－2，2)，又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，
得M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，1))，N(1，－2，1)．
可得n＝(0，0，1)为平面ABCD的法向量，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,2)，0))，由此可得eq \(MN,\s\up6(→))·n＝0，
又因为直线MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.
(2)解 eq \(AD1,\s\up6(→))＝(1，－2，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，0，0)，设n1＝(x，y，z)为平面ACD1的法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AD1,\s\up6(→))＝0，,n1·\(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋2z＝0，,2x＝0.))
不妨设z＝1，可得n1＝(0，1，1)．
又eq \(AB1,\s\up6(→))＝(0，1，2)，
设n2＝(x′，y′，z′)为平面ACB1的法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(AB1,\s\up6(→))＝0，,n2·\(AC,\s\up6(→))＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y′＋2z′＝0，,2x′＝0，))不妨设z′＝1，可得n2＝(0，－2，1)．
因此有cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝－eq \f(\r(10),10)，
于是sin〈n1，n2〉＝eq \f(3\r(10),10).
所以平面ACD1与平面ACB1的夹角的正弦值为eq \f(3\r(10),10).
(3)解 依题意，可设eq \(A1E,\s\up6(—→))＝λeq \(A1B1,\s\up6(—→))，其中λ∈[0，1]，
则E(0，λ，2)，从而eq \(NE,\s\up6(→))＝(－1，λ＋2，1)，又n＝(0，0，1)为平面ABCD的法向量，
由已知，得cs〈eq \(NE,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\(NE,\s\up6(→))·n,|\(NE,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(1,\r(－12＋λ＋22＋12))＝eq \f(1,3)，
整理得λ2＋4λ－3＝0，
又因为λ∈[0，1]，解得λ＝eq \r(7)－2，
所以线段A1E的长为eq \r(7)－2.