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2021年福建省福州市闽侯县中考数学联考试卷（4月份） 解析版
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这是一份2021年福建省福州市闽侯县中考数学联考试卷（4月份） 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年福建省福州市闽侯县中考数学联考试卷（4月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数据0.0000036用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.6×10﹣5 B．0.36×10﹣5 C．3.6×10﹣6 D．0.36×10﹣6
2．（4分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．梯形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形
4．（4分）如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO＝PO，若∠C＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．15° D．50°
5．（4分）估计（2+6）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转
90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（﹣6，0） C．（0，0） D．（﹣2，2）
7．（4分）某公司今年4月份产值比3月份减少了6%，5月份比4月份增加了8%．设这三个月每月的平均增长率为x%，则下列选项中符合题意的是（ ）
A．x%＝﹣6%+8% B．x%＝
C．1+x%＝ D．（1+x%）2＝（1﹣6%）（1+8%）
8．（4分）甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是（ ）
A．两地气温的平均数相同 B．甲地气温的中位数是6℃
C．乙地气温的众数是4℃ D．乙地气温相对比较稳定
9．（4分）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，线段AB是两个端点在y＝（x＞0）图象上的一条动线段，且AB＝1，若A、B的横坐标分别为a、b，则[1﹣（b﹣a）2]（a2b2+4）的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是 ．
12．（4分）若＝，则＝ ．
13．（4分）如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为﹣2，，且点A，B关于原点对称，则x的值是 ．
14．（4分）数学综合实践课，老师要求同学们利用直径为6cm的圆形纸片剪出一个如图所示的展开图，再将它沿虚线折叠成一个无盖的正方体形盒子（接缝处忽略不计）．若要求折出的盒子体积最大，则正方体的棱长等于 ．
15．（4分）如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．
16．（4分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠ABO的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）因式分解：x5﹣x．
18．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED
（2）若AD＝4，AB＝8，求△ACF的面积．
19．（8分）解不等式组：．
20．（8分）如图，点O为等边三角形ABC的中心，△BCE是以BC为斜边的直角三角形，且BE＝CE．
（1）用尺规在直线AB的左侧作△ABD，使△ABD≌△BCE，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）△ABD能否由△BCE绕点O按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角α（0＜α＜180°）的度数；若不能，请说明理由．
21．（8分）春节期间甲乙两商场搞促销活动，甲商场的方案是：在一个不透明的箱子里放4个完全相同的小球，球上分别标“0元”、“20元”、“30元“、“50元”，顾客每消费满300元，就可从箱子里不放回地摸出2个球，根据两个小球所标金额之和可获相应价格的礼品；
乙商场的方案是：在一个不透明的箱子里放2个完全相同的小球，球上分别标“5元“、“30“，顾客每消费满100元，就可从箱子里摸出1个球，根据小球所标金额可获相应价格的礼品．某顾客准备消费300元．
（1）若该顾客在甲商场消费，至少可得价值 元的礼品，至多可得价值 元的礼品；
（2）请用画树状图或列表法，说明该顾客去哪个商场消费，获得礼品的总价值不低于50元的概率大小．
22．（10分）如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，切点为B．
（1）求证：∠C＝∠DBA；
（2）若AB＝4，sinA＝，求⊙O半径．
23．（10分）某村有100亩的土地，今年统筹安排40个劳动力，分别负责管理果园、种植蔬菜和经营农家乐旅游，要使得每个劳动力都不空闲，并且每亩土地都不闲置．各个项目所需劳动力和所用每亩土地的平均年收入如表：
每个劳动力管理的亩数
平均年收入（万元/亩）
管理果园
2
0.5
种植蔬菜
3
0.8
经营农家乐旅游
4
4
（1）若安排管理果园的劳动力是种植蔬菜的2.5倍，试求出管理果园的劳动力数量；
（2）设安排x个劳动力管理果园，该村的年收入为W万元．
①试求出W与x的函数关系式；
②由于果园的特殊要求，安排管理果园劳动力应不少于22人，且不多于28人，应如何安排劳动力才能使该村的年收入最大，并求最大收入．
24．（12分）已知顶点为A的抛物线y＝﹣x2+2x+k2﹣1，交y轴于点B，交x轴正半轴于点C．
（1）求A的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）若1≤k≤m时，△ABC面积的最大值为m+1，求m的值；
（3）已知∠ABC＝90°，点D在抛物线上，且S△DBC＝2S△ABC，求点D的坐标．
25．（14分）如图1，在正方形ABCD中，点E在边AB上，DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF，交AC于G．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：DG⊥EF；
（3）将正方形ABCD改为长与宽不相等的矩形，且其余条件保持不变（图2），试问（2）中的结论是否成立？说明理由．
2021年福建省福州市闽侯县中考数学联考试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数据0.0000036用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.6×10﹣5 B．0.36×10﹣5 C．3.6×10﹣6 D．0.36×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000036＝3.6×10﹣6；
故选：C．
2．（4分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看易得左边比右边高出一个台阶，故选项D符合题意．
故选：D．
3．（4分）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．梯形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．梯形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
4．（4分）如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO＝PO，若∠C＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．15° D．50°
【分析】根据AB∥CD，CP交AB于O，可得∠POB＝∠C，再利用AO＝PO，可得∠A＝∠P，然后即可求得∠A的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，CP交AB于O，
∴∠POB＝∠C，
∵∠C＝50°，
∴∠POB＝50°，
∵AO＝PO，
∴∠A＝∠P，
∴∠A＝25°．
故选：A．
5．（4分）估计（2+6）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算．
【解答】解：（2+6）×，
＝2+6，
＝2+，
＝2+，
∵4＜5，
∴6＜2+＜7，
故选：C．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转
90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（﹣6，0） C．（0，0） D．（﹣2，2）
【分析】根据要求画出图形即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知A2（4，2），
故选：A．
7．（4分）某公司今年4月份产值比3月份减少了6%，5月份比4月份增加了8%．设这三个月每月的平均增长率为x%，则下列选项中符合题意的是（ ）
A．x%＝﹣6%+8% B．x%＝
C．1+x%＝ D．（1+x%）2＝（1﹣6%）（1+8%）
【分析】设这三个月每月的平均增长率为x%，根据“今年4月份产值比3月份减少了6%，5月份比4月份增加了8%”解方程即可．
【解答】解：设这三个月每月的平均增长率为x%，
根据题意得，（1+x%）2＝（1﹣6%）（1+8%），
故选：D．
8．（4分）甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是（ ）
A．两地气温的平均数相同 B．甲地气温的中位数是6℃
C．乙地气温的众数是4℃ D．乙地气温相对比较稳定
【分析】分别计算出甲乙两地的平均数、中位数、众数和方差，然后对各选项进行判断．
【解答】解：甲乙两地的平均数都为6℃；甲地的中位数为6℃；乙地的众数为4℃和8℃；乙地气温的波动小，相对比较稳定．
故选：C．
9．（4分）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠A，根据切线的性质可求出∠OBA、∠ODE，从而可求出∠BOD的度数，根据弧长的公式即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
∴劣弧BD的长为＝π，
故选：A．
10．（4分）如图，线段AB是两个端点在y＝（x＞0）图象上的一条动线段，且AB＝1，若A、B的横坐标分别为a、b，则[1﹣（b﹣a）2]（a2b2+4）的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先求出A、B点的坐标，再根据两点距离公式列出方程，最后根据因式分解得结果．
【解答】解：由题意得，A（a，），B（b，），
∵AB＝1，
∴，
整理得，a2b2（a﹣b）2+4（a﹣b）2﹣a2b2＝0，
∴a2b2[（a﹣b）2﹣1]+4（a﹣b）2﹣4＝﹣4，
∴a2b2[（a﹣b）2﹣1]+4[（a﹣b）2﹣1]＝﹣4，
∴[（a﹣b）2﹣1]（a2b2+4）＝﹣4，
∴[1﹣（b﹣a）2]（a2b2+4）＝4，
故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是 扇形统计图 ．
【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．
【解答】解：要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
故答案为：扇形统计图
12．（4分）若＝，则＝ ．
【分析】根据比例的性质求出x＝2y，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵＝，
∴x＝2y，
∴＝＝＝，
故答案为：．
13．（4分）如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为﹣2，，且点A，B关于原点对称，则x的值是 ﹣2 ．
【分析】根据题意得到A，B对应的数互为相反数，列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：﹣2+＝0，
去分母得：﹣2（x+1）+x＝0，
去括号得：﹣2x﹣2+x＝0，
解得：x＝﹣2，
检验：把x＝﹣2代入得：x+1≠0，
∴x＝﹣2是分式方程的解．
故答案为：﹣2．
14．（4分）数学综合实践课，老师要求同学们利用直径为6cm的圆形纸片剪出一个如图所示的展开图，再将它沿虚线折叠成一个无盖的正方体形盒子（接缝处忽略不计）．若要求折出的盒子体积最大，则正方体的棱长等于 cm ．
【分析】根据题意AB＝6cm，设正方体的棱长为xcm，则AC＝x，BC＝3x，根据勾股定理对称62＝x2+（3x）2，解方程即可求得．
【解答】解：根据题意AB＝6cm，
设正方体的棱长为xcm，则AC＝x，BC＝3x，
根据勾股定理，AB2＝AC2+BC2，即62＝x2+（3x）2，
解得x＝
故答案为cm．
15．（4分）如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．
【分析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB＝A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝1，
∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠ABO的值为 ．
【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，根据A、B在函数图象上求出S△BDO＝，S△AOC＝，根据相似三角形的判定得出△BDO∽△ACO，根据相似三角形的性质得出＝（）2＝5，求出＝，解直角三角形求出即可．
【解答】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，
∴S△BDO＝，S△AOC＝，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝（）2＝＝5，
∴＝，
∴tan∠BAO＝＝，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）因式分解：x5﹣x．
【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x5﹣x
＝x（x4﹣1）
＝x（x2+1）（x2﹣1）
＝x（x2+1）（x﹣1）（x+1）．
18．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED
（2）若AD＝4，AB＝8，求△ACF的面积．
【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD＝BC、AB＝CD，结合折叠的性质可得出AD＝CE、AE＝CD，进而即可证出△ADE≌△CED（SSS）；
（2）由矩形的性质得出AB∥CD，CD＝AB＝8，∠ADC＝90°，得出∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得∠BAC＝∠EAC，得出∠ACD＝∠EAC，证出AF＝CF，设AF＝CF＝x，则DF＝CD﹣CF＝8﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得出方程，得出CF＝5，由三角形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD．
由折叠的性质可得：BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD．
在△ADE和△CED中，，
∴△ADE≌△CED（SSS）．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝8，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠EAC，
∴∠ACD＝∠EAC，
∴AF＝CF，
设AF＝CF＝x，则DF＝CD﹣CF＝8﹣x，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴CF＝5，
∴△ACF的面积＝CF×AD＝×5×4＝10．
19．（8分）解不等式组：．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x＜1，
∴不等式组的解集是﹣2＜x＜1．
20．（8分）如图，点O为等边三角形ABC的中心，△BCE是以BC为斜边的直角三角形，且BE＝CE．
（1）用尺规在直线AB的左侧作△ABD，使△ABD≌△BCE，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）△ABD能否由△BCE绕点O按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角α（0＜α＜180°）的度数；若不能，请说明理由．
【分析】（1）连接CO并延长，以点B为圆心，BE长为半径画弧交CO延长线于点D，可得△ABD≌△BCE；
（2）根据点O为等边三角形ABC的中心，可得∠BOC＝120°，进而可得旋转角的度数．
【解答】解：（1）如图，△ABD即为所求；
（2）△ABD能由△BCE绕点O按顺时针方向旋转120°得到，
证明：连接OB，OC，OE，
∵点O为等边三角形ABC的中心，
∴∠BOC＝120°，
∴∠DOB＝∠BOE＝60°，
∴∠DOE＝120°，
∴旋转角α＝120°．
21．（8分）春节期间甲乙两商场搞促销活动，甲商场的方案是：在一个不透明的箱子里放4个完全相同的小球，球上分别标“0元”、“20元”、“30元“、“50元”，顾客每消费满300元，就可从箱子里不放回地摸出2个球，根据两个小球所标金额之和可获相应价格的礼品；
乙商场的方案是：在一个不透明的箱子里放2个完全相同的小球，球上分别标“5元“、“30“，顾客每消费满100元，就可从箱子里摸出1个球，根据小球所标金额可获相应价格的礼品．某顾客准备消费300元．
（1）若该顾客在甲商场消费，至少可得价值 20 元的礼品，至多可得价值 80 元的礼品；
（2）请用画树状图或列表法，说明该顾客去哪个商场消费，获得礼品的总价值不低于50元的概率大小．
【分析】（1）根据题意即可求得该顾客至少可得的金额，至多可得的礼品的金额；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与该顾客所获礼品的金额不低于50元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：该顾客至少可得0+20＝20（元），至多可得30+50＝80（元）．
故答案为：20，80．
（2）若在甲商场消费：
0
20
30
50
0
﹣
20
30
50
20
20
﹣
50
70
30
30
50
﹣
80
50
50
70
80
﹣
∴P（不低于50元）＝＝；
若在乙商场消费：
P（不低于50元）＝＝；
∵＞，
∴该顾客去甲商场消费，获得礼品的总价值不低于50元的概率大．
22．（10分）如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，切点为B．
（1）求证：∠C＝∠DBA；
（2）若AB＝4，sinA＝，求⊙O半径．
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠CBD＝90°，求出∠C+∠CDB＝90°，根据等腰三角形的性质得出∠CDB＝∠OBD，根据切线的性质得出∠OBA＝90°，求出∠DBA+∠OBD＝90°即可；
（2）解直角三角形得出sinA＝＝，求出OA＝3OB，由勾股定理得出OB2+42＝（3OB）2，再求出OB即可．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠C+∠CDB＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠CDB＝∠OBD，
∵AB切⊙O于B，
∴OB⊥BA，即∠OBA＝90°，
∴∠DBA+∠OBD＝90°，
∴∠C＝∠DBA；
（2）解：∵sinA＝＝，
∴OA＝3OB，
在Rt△OBA中，由勾股定理得：OB2+AB2＝OA2，
即OB2+42＝（3OB）2，
解得：OB＝，
即⊙O的半径是．
23．（10分）某村有100亩的土地，今年统筹安排40个劳动力，分别负责管理果园、种植蔬菜和经营农家乐旅游，要使得每个劳动力都不空闲，并且每亩土地都不闲置．各个项目所需劳动力和所用每亩土地的平均年收入如表：
每个劳动力管理的亩数
平均年收入（万元/亩）
管理果园
2
0.5
种植蔬菜
3
0.8
经营农家乐旅游
4
4
（1）若安排管理果园的劳动力是种植蔬菜的2.5倍，试求出管理果园的劳动力数量；
（2）设安排x个劳动力管理果园，该村的年收入为W万元．
①试求出W与x的函数关系式；
②由于果园的特殊要求，安排管理果园劳动力应不少于22人，且不多于28人，应如何安排劳动力才能使该村的年收入最大，并求最大收入．
【分析】（1）设种蔬菜的劳动力为a人，则管理果园的劳动力为2.5a人，经营农家乐的（40﹣3.5a）人，根据经营亩数100亩列方程求解即可；
（2）①设种蔬菜的劳动力数量为y人，经营农家乐的劳动力数量为z人，根据题意列方程组，用x表示出y和z，再列出函数解析即可；②根据①的函数性质以及x的取值范围求最值即可．
【解答】解：（1）设种蔬菜的劳动力为a人，则管理果园的劳动力为2.5a人，经营农家乐的（40﹣3.5a）人，
由题意得：2×2.5a+3a+4（40﹣3.5a）＝100，
解得：a＝10，
∴2.5a＝2.5×10＝25（人），
∴管理果园的劳动力数量为25人；
（2）①设种蔬菜的劳动力数量为y人，经营农家乐的劳动力数量为z人，
由题意得：，
解得：，
∵z＞0，y＞0，
∴20＜x＜30，
W＝0.5×2x+0.8×3y+4×4z
＝x+2.4（60﹣2x）+16（x﹣20）
＝12.2x﹣176，
∴该村的年收入为W＝12.2x﹣176（20＜x＜30）；
②∵W＝12.2x﹣176，12.2＞0，
∴W随x的增大而增大，
∵22≤x≤28，
∴x＝28时，W最大，最大值＝12.2×28﹣176＝165.6，
∴28个劳动力管理果园，4个劳动力种蔬菜，8个劳动力经营农家乐，该村年收入最大，最大值为165.6万元．
24．（12分）已知顶点为A的抛物线y＝﹣x2+2x+k2﹣1，交y轴于点B，交x轴正半轴于点C．
（1）求A的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）若1≤k≤m时，△ABC面积的最大值为m+1，求m的值；
（3）已知∠ABC＝90°，点D在抛物线上，且S△DBC＝2S△ABC，求点D的坐标．
【分析】（1）将抛物线的解析式配方可得；
（2）作AD⊥OB，求得AD＝1，BD＝1，OB＝k2﹣1，根据S△ABC＝S梯形ADOC﹣S△ABD﹣S△BOC得：S△ABC＝（k2+k），当k＝m时，（m2+m）＝m+1解得；
（3）延长AB至F点，使BF＝2AB，作FN∥BC，作BG⊥对称轴AM，作FH⊥AM，由△ABG∽△AFH求得FH＝AH＝3，F（﹣2，1），进而求得直线FN的解析式是：y＝﹣x﹣1，与抛物线联立方程组可得．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+k2﹣1＝﹣（x﹣1）2+k2，
∴A（1，k2）；
（2）如图1，
作AD⊥OB于D，
由﹣x2+2x+k2﹣1＝0得，
x1＝k+1，x2＝1﹣k（舍去），
∴OC＝k+1，
∵B（0，k2﹣1），A （1，k2），
∴AD＝1，BD＝1，OB＝k2﹣1，
由S△ABC＝S梯形ADOC﹣S△ABD﹣S△BOC得，
S△ABC＝﹣﹣（k2﹣1）•（k+1）
＝（k2+k），
∵a＞0，﹣＝﹣，
又∵1≤k≤m，
∴当k＝m时，S△ABC最大＝（m2+m），
∴（m2+m）＝m+1，
∴m1＝2，m2＝﹣1（舍去），
∴m＝2；
（3）如图2，
当∠ABC＝90°时，
k2﹣1＞0，
作AE⊥OB于E，
由（2）知：AE＝BE＝1，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBO＝45°，
∴∠BCQ＝∠CBO＝45°，
∴OC＝OB，
∴k2﹣1＝k+1，
∴k1＝2，k2＝﹣1（舍去），
∴k＝2，
∴y＝﹣x+2x+3，
延长AB至F点，使BF＝2AB，作FN∥BC，
作BG⊥对称轴AM于G，作FH⊥AM于H，
∴FH∥BG，
∴△ABG∽△AFH，
∴＝＝＝，
∵BG＝AH＝1，
∴FH＝AH＝3，
∴F（﹣2，1），
∴直线FN的解析式是：y＝﹣x﹣1，
∵，
∴，，
∴D（﹣1，0）或（4，﹣5），
25．（14分）如图1，在正方形ABCD中，点E在边AB上，DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF，交AC于G．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：DG⊥EF；
（3）将正方形ABCD改为长与宽不相等的矩形，且其余条件保持不变（图2），试问（2）中的结论是否成立？说明理由．
【分析】（1）由正方形的性质得AD＝CD，∠EAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠FCD＝90°，再证∠ADE＝∠CDF，由ASA即可证得△ADE≌△CDF；
（2）由△ADE≌△CDF得DE＝DF，则△DEF是等腰直角三角形，得出∠DFG＝45°，再由正方形的性质得∠DCG＝45°，推出∠DFG＝∠DCG，则D、F、C、G四点共圆，然后由圆周角定理即可得出结论；
（3）由矩形的性质得∠ADC＝∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，再证∠ADE＝∠CDF，得出△DAE∽△DCF，则＝，由∠ADC＝∠EDF＝90°，得出△ADC∽△EDF，则∠DFG＝∠DCG，推出D、F、C、G四点共圆，然后由圆周角定理即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠EAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠FCD＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴∠ADC﹣∠CDE＝∠EDF﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA）；
（2）证明：由（1）得：△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DFG＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG＝45°，
∴∠DFG＝∠DCG，
∴D、F、C、G四点共圆，
∵∠DCF＝90°，
∴∠DGF＝∠DCF＝90°，
∴DG⊥EF；
（3）解：（2）中的结论成立，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADC﹣∠CDE＝∠EDF﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，
∵∠DAE＝∠DCF，
∴△DAE∽△DCF，
∴＝，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴△ADC∽△EDF，
∴∠DFG＝∠DCG，
∴D、F、C、G四点共圆，
∵∠DCF＝90°，
∴∠DGF＝∠DCF＝90°，
∴DG⊥EF，即（2）中的结论成立．
2021年福建省福州市闽侯县中考数学联考试卷（4月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数据0.0000036用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.6×10﹣5 B．0.36×10﹣5 C．3.6×10﹣6 D．0.36×10﹣6
2．（4分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．梯形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形
4．（4分）如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO＝PO，若∠C＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．15° D．50°
5．（4分）估计（2+6）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转
90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（﹣6，0） C．（0，0） D．（﹣2，2）
7．（4分）某公司今年4月份产值比3月份减少了6%，5月份比4月份增加了8%．设这三个月每月的平均增长率为x%，则下列选项中符合题意的是（ ）
A．x%＝﹣6%+8% B．x%＝
C．1+x%＝ D．（1+x%）2＝（1﹣6%）（1+8%）
8．（4分）甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是（ ）
A．两地气温的平均数相同 B．甲地气温的中位数是6℃
C．乙地气温的众数是4℃ D．乙地气温相对比较稳定
9．（4分）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，线段AB是两个端点在y＝（x＞0）图象上的一条动线段，且AB＝1，若A、B的横坐标分别为a、b，则[1﹣（b﹣a）2]（a2b2+4）的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是 ．
12．（4分）若＝，则＝ ．
13．（4分）如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为﹣2，，且点A，B关于原点对称，则x的值是 ．
14．（4分）数学综合实践课，老师要求同学们利用直径为6cm的圆形纸片剪出一个如图所示的展开图，再将它沿虚线折叠成一个无盖的正方体形盒子（接缝处忽略不计）．若要求折出的盒子体积最大，则正方体的棱长等于 ．
15．（4分）如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．
16．（4分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠ABO的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）因式分解：x5﹣x．
18．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED
（2）若AD＝4，AB＝8，求△ACF的面积．
19．（8分）解不等式组：．
20．（8分）如图，点O为等边三角形ABC的中心，△BCE是以BC为斜边的直角三角形，且BE＝CE．
（1）用尺规在直线AB的左侧作△ABD，使△ABD≌△BCE，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）△ABD能否由△BCE绕点O按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角α（0＜α＜180°）的度数；若不能，请说明理由．
21．（8分）春节期间甲乙两商场搞促销活动，甲商场的方案是：在一个不透明的箱子里放4个完全相同的小球，球上分别标“0元”、“20元”、“30元“、“50元”，顾客每消费满300元，就可从箱子里不放回地摸出2个球，根据两个小球所标金额之和可获相应价格的礼品；
乙商场的方案是：在一个不透明的箱子里放2个完全相同的小球，球上分别标“5元“、“30“，顾客每消费满100元，就可从箱子里摸出1个球，根据小球所标金额可获相应价格的礼品．某顾客准备消费300元．
（1）若该顾客在甲商场消费，至少可得价值 元的礼品，至多可得价值 元的礼品；
（2）请用画树状图或列表法，说明该顾客去哪个商场消费，获得礼品的总价值不低于50元的概率大小．
22．（10分）如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，切点为B．
（1）求证：∠C＝∠DBA；
（2）若AB＝4，sinA＝，求⊙O半径．
23．（10分）某村有100亩的土地，今年统筹安排40个劳动力，分别负责管理果园、种植蔬菜和经营农家乐旅游，要使得每个劳动力都不空闲，并且每亩土地都不闲置．各个项目所需劳动力和所用每亩土地的平均年收入如表：
每个劳动力管理的亩数
平均年收入（万元/亩）
管理果园
2
0.5
种植蔬菜
3
0.8
经营农家乐旅游
4
4
（1）若安排管理果园的劳动力是种植蔬菜的2.5倍，试求出管理果园的劳动力数量；
（2）设安排x个劳动力管理果园，该村的年收入为W万元．
①试求出W与x的函数关系式；
②由于果园的特殊要求，安排管理果园劳动力应不少于22人，且不多于28人，应如何安排劳动力才能使该村的年收入最大，并求最大收入．
24．（12分）已知顶点为A的抛物线y＝﹣x2+2x+k2﹣1，交y轴于点B，交x轴正半轴于点C．
（1）求A的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）若1≤k≤m时，△ABC面积的最大值为m+1，求m的值；
（3）已知∠ABC＝90°，点D在抛物线上，且S△DBC＝2S△ABC，求点D的坐标．
25．（14分）如图1，在正方形ABCD中，点E在边AB上，DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF，交AC于G．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：DG⊥EF；
（3）将正方形ABCD改为长与宽不相等的矩形，且其余条件保持不变（图2），试问（2）中的结论是否成立？说明理由．
2021年福建省福州市闽侯县中考数学联考试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数据0.0000036用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.6×10﹣5 B．0.36×10﹣5 C．3.6×10﹣6 D．0.36×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000036＝3.6×10﹣6；
故选：C．
2．（4分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看易得左边比右边高出一个台阶，故选项D符合题意．
故选：D．
3．（4分）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．梯形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．梯形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
4．（4分）如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO＝PO，若∠C＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．15° D．50°
【分析】根据AB∥CD，CP交AB于O，可得∠POB＝∠C，再利用AO＝PO，可得∠A＝∠P，然后即可求得∠A的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，CP交AB于O，
∴∠POB＝∠C，
∵∠C＝50°，
∴∠POB＝50°，
∵AO＝PO，
∴∠A＝∠P，
∴∠A＝25°．
故选：A．
5．（4分）估计（2+6）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算．
【解答】解：（2+6）×，
＝2+6，
＝2+，
＝2+，
∵4＜5，
∴6＜2+＜7，
故选：C．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转
90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（﹣6，0） C．（0，0） D．（﹣2，2）
【分析】根据要求画出图形即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知A2（4，2），
故选：A．
7．（4分）某公司今年4月份产值比3月份减少了6%，5月份比4月份增加了8%．设这三个月每月的平均增长率为x%，则下列选项中符合题意的是（ ）
A．x%＝﹣6%+8% B．x%＝
C．1+x%＝ D．（1+x%）2＝（1﹣6%）（1+8%）
【分析】设这三个月每月的平均增长率为x%，根据“今年4月份产值比3月份减少了6%，5月份比4月份增加了8%”解方程即可．
【解答】解：设这三个月每月的平均增长率为x%，
根据题意得，（1+x%）2＝（1﹣6%）（1+8%），
故选：D．
8．（4分）甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是（ ）
A．两地气温的平均数相同 B．甲地气温的中位数是6℃
C．乙地气温的众数是4℃ D．乙地气温相对比较稳定
【分析】分别计算出甲乙两地的平均数、中位数、众数和方差，然后对各选项进行判断．
【解答】解：甲乙两地的平均数都为6℃；甲地的中位数为6℃；乙地的众数为4℃和8℃；乙地气温的波动小，相对比较稳定．
故选：C．
9．（4分）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠A，根据切线的性质可求出∠OBA、∠ODE，从而可求出∠BOD的度数，根据弧长的公式即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
∴劣弧BD的长为＝π，
故选：A．
10．（4分）如图，线段AB是两个端点在y＝（x＞0）图象上的一条动线段，且AB＝1，若A、B的横坐标分别为a、b，则[1﹣（b﹣a）2]（a2b2+4）的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先求出A、B点的坐标，再根据两点距离公式列出方程，最后根据因式分解得结果．
【解答】解：由题意得，A（a，），B（b，），
∵AB＝1，
∴，
整理得，a2b2（a﹣b）2+4（a﹣b）2﹣a2b2＝0，
∴a2b2[（a﹣b）2﹣1]+4（a﹣b）2﹣4＝﹣4，
∴a2b2[（a﹣b）2﹣1]+4[（a﹣b）2﹣1]＝﹣4，
∴[（a﹣b）2﹣1]（a2b2+4）＝﹣4，
∴[1﹣（b﹣a）2]（a2b2+4）＝4，
故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是 扇形统计图 ．
【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．
【解答】解：要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
故答案为：扇形统计图
12．（4分）若＝，则＝ ．
【分析】根据比例的性质求出x＝2y，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵＝，
∴x＝2y，
∴＝＝＝，
故答案为：．
13．（4分）如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为﹣2，，且点A，B关于原点对称，则x的值是 ﹣2 ．
【分析】根据题意得到A，B对应的数互为相反数，列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：﹣2+＝0，
去分母得：﹣2（x+1）+x＝0，
去括号得：﹣2x﹣2+x＝0，
解得：x＝﹣2，
检验：把x＝﹣2代入得：x+1≠0，
∴x＝﹣2是分式方程的解．
故答案为：﹣2．
14．（4分）数学综合实践课，老师要求同学们利用直径为6cm的圆形纸片剪出一个如图所示的展开图，再将它沿虚线折叠成一个无盖的正方体形盒子（接缝处忽略不计）．若要求折出的盒子体积最大，则正方体的棱长等于 cm ．
【分析】根据题意AB＝6cm，设正方体的棱长为xcm，则AC＝x，BC＝3x，根据勾股定理对称62＝x2+（3x）2，解方程即可求得．
【解答】解：根据题意AB＝6cm，
设正方体的棱长为xcm，则AC＝x，BC＝3x，
根据勾股定理，AB2＝AC2+BC2，即62＝x2+（3x）2，
解得x＝
故答案为cm．
15．（4分）如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．
【分析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB＝A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝1，
∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠ABO的值为 ．
【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，根据A、B在函数图象上求出S△BDO＝，S△AOC＝，根据相似三角形的判定得出△BDO∽△ACO，根据相似三角形的性质得出＝（）2＝5，求出＝，解直角三角形求出即可．
【解答】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，
∴S△BDO＝，S△AOC＝，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝（）2＝＝5，
∴＝，
∴tan∠BAO＝＝，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）因式分解：x5﹣x．
【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x5﹣x
＝x（x4﹣1）
＝x（x2+1）（x2﹣1）
＝x（x2+1）（x﹣1）（x+1）．
18．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED
（2）若AD＝4，AB＝8，求△ACF的面积．
【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD＝BC、AB＝CD，结合折叠的性质可得出AD＝CE、AE＝CD，进而即可证出△ADE≌△CED（SSS）；
（2）由矩形的性质得出AB∥CD，CD＝AB＝8，∠ADC＝90°，得出∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得∠BAC＝∠EAC，得出∠ACD＝∠EAC，证出AF＝CF，设AF＝CF＝x，则DF＝CD﹣CF＝8﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得出方程，得出CF＝5，由三角形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD．
由折叠的性质可得：BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD．
在△ADE和△CED中，，
∴△ADE≌△CED（SSS）．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝8，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠EAC，
∴∠ACD＝∠EAC，
∴AF＝CF，
设AF＝CF＝x，则DF＝CD﹣CF＝8﹣x，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴CF＝5，
∴△ACF的面积＝CF×AD＝×5×4＝10．
19．（8分）解不等式组：．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x＜1，
∴不等式组的解集是﹣2＜x＜1．
20．（8分）如图，点O为等边三角形ABC的中心，△BCE是以BC为斜边的直角三角形，且BE＝CE．
（1）用尺规在直线AB的左侧作△ABD，使△ABD≌△BCE，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）△ABD能否由△BCE绕点O按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角α（0＜α＜180°）的度数；若不能，请说明理由．
【分析】（1）连接CO并延长，以点B为圆心，BE长为半径画弧交CO延长线于点D，可得△ABD≌△BCE；
（2）根据点O为等边三角形ABC的中心，可得∠BOC＝120°，进而可得旋转角的度数．
【解答】解：（1）如图，△ABD即为所求；
（2）△ABD能由△BCE绕点O按顺时针方向旋转120°得到，
证明：连接OB，OC，OE，
∵点O为等边三角形ABC的中心，
∴∠BOC＝120°，
∴∠DOB＝∠BOE＝60°，
∴∠DOE＝120°，
∴旋转角α＝120°．
21．（8分）春节期间甲乙两商场搞促销活动，甲商场的方案是：在一个不透明的箱子里放4个完全相同的小球，球上分别标“0元”、“20元”、“30元“、“50元”，顾客每消费满300元，就可从箱子里不放回地摸出2个球，根据两个小球所标金额之和可获相应价格的礼品；
乙商场的方案是：在一个不透明的箱子里放2个完全相同的小球，球上分别标“5元“、“30“，顾客每消费满100元，就可从箱子里摸出1个球，根据小球所标金额可获相应价格的礼品．某顾客准备消费300元．
（1）若该顾客在甲商场消费，至少可得价值 20 元的礼品，至多可得价值 80 元的礼品；
（2）请用画树状图或列表法，说明该顾客去哪个商场消费，获得礼品的总价值不低于50元的概率大小．
【分析】（1）根据题意即可求得该顾客至少可得的金额，至多可得的礼品的金额；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与该顾客所获礼品的金额不低于50元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：该顾客至少可得0+20＝20（元），至多可得30+50＝80（元）．
故答案为：20，80．
（2）若在甲商场消费：
0
20
30
50
0
﹣
20
30
50
20
20
﹣
50
70
30
30
50
﹣
80
50
50
70
80
﹣
∴P（不低于50元）＝＝；
若在乙商场消费：
P（不低于50元）＝＝；
∵＞，
∴该顾客去甲商场消费，获得礼品的总价值不低于50元的概率大．
22．（10分）如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，切点为B．
（1）求证：∠C＝∠DBA；
（2）若AB＝4，sinA＝，求⊙O半径．
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠CBD＝90°，求出∠C+∠CDB＝90°，根据等腰三角形的性质得出∠CDB＝∠OBD，根据切线的性质得出∠OBA＝90°，求出∠DBA+∠OBD＝90°即可；
（2）解直角三角形得出sinA＝＝，求出OA＝3OB，由勾股定理得出OB2+42＝（3OB）2，再求出OB即可．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠C+∠CDB＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠CDB＝∠OBD，
∵AB切⊙O于B，
∴OB⊥BA，即∠OBA＝90°，
∴∠DBA+∠OBD＝90°，
∴∠C＝∠DBA；
（2）解：∵sinA＝＝，
∴OA＝3OB，
在Rt△OBA中，由勾股定理得：OB2+AB2＝OA2，
即OB2+42＝（3OB）2，
解得：OB＝，
即⊙O的半径是．
23．（10分）某村有100亩的土地，今年统筹安排40个劳动力，分别负责管理果园、种植蔬菜和经营农家乐旅游，要使得每个劳动力都不空闲，并且每亩土地都不闲置．各个项目所需劳动力和所用每亩土地的平均年收入如表：
每个劳动力管理的亩数
平均年收入（万元/亩）
管理果园
2
0.5
种植蔬菜
3
0.8
经营农家乐旅游
4
4
（1）若安排管理果园的劳动力是种植蔬菜的2.5倍，试求出管理果园的劳动力数量；
（2）设安排x个劳动力管理果园，该村的年收入为W万元．
①试求出W与x的函数关系式；
②由于果园的特殊要求，安排管理果园劳动力应不少于22人，且不多于28人，应如何安排劳动力才能使该村的年收入最大，并求最大收入．
【分析】（1）设种蔬菜的劳动力为a人，则管理果园的劳动力为2.5a人，经营农家乐的（40﹣3.5a）人，根据经营亩数100亩列方程求解即可；
（2）①设种蔬菜的劳动力数量为y人，经营农家乐的劳动力数量为z人，根据题意列方程组，用x表示出y和z，再列出函数解析即可；②根据①的函数性质以及x的取值范围求最值即可．
【解答】解：（1）设种蔬菜的劳动力为a人，则管理果园的劳动力为2.5a人，经营农家乐的（40﹣3.5a）人，
由题意得：2×2.5a+3a+4（40﹣3.5a）＝100，
解得：a＝10，
∴2.5a＝2.5×10＝25（人），
∴管理果园的劳动力数量为25人；
（2）①设种蔬菜的劳动力数量为y人，经营农家乐的劳动力数量为z人，
由题意得：，
解得：，
∵z＞0，y＞0，
∴20＜x＜30，
W＝0.5×2x+0.8×3y+4×4z
＝x+2.4（60﹣2x）+16（x﹣20）
＝12.2x﹣176，
∴该村的年收入为W＝12.2x﹣176（20＜x＜30）；
②∵W＝12.2x﹣176，12.2＞0，
∴W随x的增大而增大，
∵22≤x≤28，
∴x＝28时，W最大，最大值＝12.2×28﹣176＝165.6，
∴28个劳动力管理果园，4个劳动力种蔬菜，8个劳动力经营农家乐，该村年收入最大，最大值为165.6万元．
24．（12分）已知顶点为A的抛物线y＝﹣x2+2x+k2﹣1，交y轴于点B，交x轴正半轴于点C．
（1）求A的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）若1≤k≤m时，△ABC面积的最大值为m+1，求m的值；
（3）已知∠ABC＝90°，点D在抛物线上，且S△DBC＝2S△ABC，求点D的坐标．
【分析】（1）将抛物线的解析式配方可得；
（2）作AD⊥OB，求得AD＝1，BD＝1，OB＝k2﹣1，根据S△ABC＝S梯形ADOC﹣S△ABD﹣S△BOC得：S△ABC＝（k2+k），当k＝m时，（m2+m）＝m+1解得；
（3）延长AB至F点，使BF＝2AB，作FN∥BC，作BG⊥对称轴AM，作FH⊥AM，由△ABG∽△AFH求得FH＝AH＝3，F（﹣2，1），进而求得直线FN的解析式是：y＝﹣x﹣1，与抛物线联立方程组可得．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+k2﹣1＝﹣（x﹣1）2+k2，
∴A（1，k2）；
（2）如图1，
作AD⊥OB于D，
由﹣x2+2x+k2﹣1＝0得，
x1＝k+1，x2＝1﹣k（舍去），
∴OC＝k+1，
∵B（0，k2﹣1），A （1，k2），
∴AD＝1，BD＝1，OB＝k2﹣1，
由S△ABC＝S梯形ADOC﹣S△ABD﹣S△BOC得，
S△ABC＝﹣﹣（k2﹣1）•（k+1）
＝（k2+k），
∵a＞0，﹣＝﹣，
又∵1≤k≤m，
∴当k＝m时，S△ABC最大＝（m2+m），
∴（m2+m）＝m+1，
∴m1＝2，m2＝﹣1（舍去），
∴m＝2；
（3）如图2，
当∠ABC＝90°时，
k2﹣1＞0，
作AE⊥OB于E，
由（2）知：AE＝BE＝1，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBO＝45°，
∴∠BCQ＝∠CBO＝45°，
∴OC＝OB，
∴k2﹣1＝k+1，
∴k1＝2，k2＝﹣1（舍去），
∴k＝2，
∴y＝﹣x+2x+3，
延长AB至F点，使BF＝2AB，作FN∥BC，
作BG⊥对称轴AM于G，作FH⊥AM于H，
∴FH∥BG，
∴△ABG∽△AFH，
∴＝＝＝，
∵BG＝AH＝1，
∴FH＝AH＝3，
∴F（﹣2，1），
∴直线FN的解析式是：y＝﹣x﹣1，
∵，
∴，，
∴D（﹣1，0）或（4，﹣5），
25．（14分）如图1，在正方形ABCD中，点E在边AB上，DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF，交AC于G．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：DG⊥EF；
（3）将正方形ABCD改为长与宽不相等的矩形，且其余条件保持不变（图2），试问（2）中的结论是否成立？说明理由．
【分析】（1）由正方形的性质得AD＝CD，∠EAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠FCD＝90°，再证∠ADE＝∠CDF，由ASA即可证得△ADE≌△CDF；
（2）由△ADE≌△CDF得DE＝DF，则△DEF是等腰直角三角形，得出∠DFG＝45°，再由正方形的性质得∠DCG＝45°，推出∠DFG＝∠DCG，则D、F、C、G四点共圆，然后由圆周角定理即可得出结论；
（3）由矩形的性质得∠ADC＝∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，再证∠ADE＝∠CDF，得出△DAE∽△DCF，则＝，由∠ADC＝∠EDF＝90°，得出△ADC∽△EDF，则∠DFG＝∠DCG，推出D、F、C、G四点共圆，然后由圆周角定理即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠EAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠FCD＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴∠ADC﹣∠CDE＝∠EDF﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA）；
（2）证明：由（1）得：△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DFG＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG＝45°，
∴∠DFG＝∠DCG，
∴D、F、C、G四点共圆，
∵∠DCF＝90°，
∴∠DGF＝∠DCF＝90°，
∴DG⊥EF；
（3）解：（2）中的结论成立，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADC﹣∠CDE＝∠EDF﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，
∵∠DAE＝∠DCF，
∴△DAE∽△DCF，
∴＝，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴△ADC∽△EDF，
∴∠DFG＝∠DCG，
∴D、F、C、G四点共圆，
∵∠DCF＝90°，
∴∠DGF＝∠DCF＝90°，
∴DG⊥EF，即（2）中的结论成立．
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