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2019-2020学年湖北省武汉市江夏区八年级（上）期末数学试卷 解析
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这是一份2019-2020学年湖北省武汉市江夏区八年级（上）期末数学试卷 解析，共26页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年湖北省武汉市江夏区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案其中有且只有一个正确，请在答卷上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）（2019秋•江夏区期末）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣1 D．x≠﹣1
2．（3分）（2019秋•江夏区期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（x2）3＝x5
C．（﹣ab）4＝a4b4 D．2xy•3x＝5x2y
3．（3分）（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
4．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．38.5° C．64° D．77°
5．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离到达C、D两地，若C与B的距离为a千米，则D与B的距离为（ ）
A．a千米 B．a千米 C．2a千米 D．无法确定
6．（3分）（2019秋•江夏区期末）约分：的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2019秋•江夏区期末）已知如图，O为四边形ABCD内一点，若∠A＝50°且∠ABO＝20°，∠ADO＝30°，则∠BOD的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
8．（3分）（2020春•济南期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且＝，点E、F在线段AD上，满足∠BED＝∠CFD＝∠BAC，若S△ABC＝20，则S△ABE+S△CDF是多少？（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
9．（3分）（2019秋•江夏区期末）已知：（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣2a＝0且b＝2，则式子（ab2﹣2ab）•ab的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣1 D．2
10．（3分）（2019秋•江夏区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）
A．9个 B．7个 C．6个 D．5个
二、填空题[共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2019秋•江夏区期末）当x为 时，分式的值为0．
12．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形？ ．
13．（3分）（2016•长沙）分解因式：x2y﹣4y＝ ．
14．（3分）（2019秋•江夏区期末）等腰三角形有一个角等于30度，则底边上的高和腰上的高所在直线相交形成的锐角等于 度．
15．（3分）（2019秋•江夏区期末）已知；2x2＝x+3，y＝8x3+2x2﹣15x，计算：（﹣）÷的值是 ．
16．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，△ABC是等边三角形，点P是AB的中点，点M在CB的延长线上，点N在AC上且满足∠MPN＝120°，已知△ABC的周长为18，设t＝2AC﹣CM﹣CN，若关于x的方程＝t的解是正数，则n的取值范围是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（2019秋•江夏区期末）按要求完成下列各题
（1）计算：（2y）2•（﹣xy2）
（2）分解因式：ax2+2a2x+a3
18．（8分）（2016•鼓楼区校级模拟）如图，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
19．（8分）（2019秋•江夏区期末）解方程：﹣＝0
20．（8分）（2019秋•江夏区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为AB边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点E，若AB＝2，求PE的长．
21．（8分）（2019秋•江夏区期末）先化简，再求值．
（a﹣b+）（a+b﹣）÷（a﹣b），其中a，b满足a2+b2﹣a+b+＝0．
22．（10分）（2019秋•江夏区期末）已知：等边△ABC中．
（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求的值；
（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．
（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求的值．
23．（10分）（2019秋•江夏区期末）网购是现在人们常用的购物方式，通常网购的商品为防止损坏会采用盒子进行包装，A，B均是容积为V立方分米无盖的长方体盒子（如图）．
（1）图中A盒子底面是正方形，B盒子底面是长方形，A盒子比B盒子高6分米，A和B两个盒子都选用相同的材料制作成侧面和底面，制作底面的材料1.5元/平方分米，其中B盒子底面制作费用是A盒子底面制作费用的3倍，当V＝576立方分米时，求B盒子的高．（温馨提示：要求用列分式方程求解）
（2）在（1）的条件下，已知A盒子侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米，求制作一个A盒子的制作费用是多少元？
（3）设a的值为（2）中所求的一个A盒子的制作费用，请分解因式：x2﹣31x+a＝ ．
24．（12分）（2019秋•江夏区期末）已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB，A（x，0），其中x是方程﹣＝的解．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边△ACD，连DB并延长交y轴于点E，求∠BEO的度数；
（3）如图2，若点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连FB，以FB为边在第一象限内作等边△FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，GH﹣AF的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．
2019-2020学年湖北省武汉市江夏区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案其中有且只有一个正确，请在答卷上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）（2019秋•江夏区期末）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣1 D．x≠﹣1
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：要使有意义，得
x﹣1≠0．
解得x≠1，
当x≠1时，有意义，
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
2．（3分）（2019秋•江夏区期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（x2）3＝x5
C．（﹣ab）4＝a4b4 D．2xy•3x＝5x2y
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式乘单项式法则，对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项错误；
B、（x2）3＝x6，故本选项错误；
C、（﹣ab）4＝a4b4，故本选项正确；
D、2xy•3x＝6x2y，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式，熟知各自的计算法则是解答此题的关键．
3．（3分）（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得
（n﹣2）•180°＝360°×2
解得n＝6．
则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
4．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．38.5° C．64° D．77°
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离到达C、D两地，若C与B的距离为a千米，则D与B的距离为（ ）
A．a千米 B．a千米 C．2a千米 D．无法确定
【分析】先根据题意得到AB垂直平分CD，然后根据线段垂直平分线的性质可判断C，D到B的距离相等．
【解答】解：∵AB⊥CD，AC＝AD，
∴AB垂直平分CD，
∴BC＝BD＝a千米，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
6．（3分）（2019秋•江夏区期末）约分：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接将分子分解因式进而化简得出答案．
【解答】解：＝＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的基本性质是解题关键．
7．（3分）（2019秋•江夏区期末）已知如图，O为四边形ABCD内一点，若∠A＝50°且∠ABO＝20°，∠ADO＝30°，则∠BOD的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】延长BO交AD于E，根据三角形内角与外角的性质可得∠OED＝∠A+∠ABO，∠BOD＝∠ADO+∠OED，再代入相应数值进行计算即可．
【解答】解：如图，延长BO交AD于E，
∵∠A＝50°，∠ABO＝20°，
∴∠OED＝50°+20°＝70°，
∵∠ADO＝30°，
∴∠BOD＝∠OED+∠ACO＝70°+30°＝100°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质．解题的关键是掌握三角形内角与外角的关系定理．
8．（3分）（2020春•济南期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且＝，点E、F在线段AD上，满足∠BED＝∠CFD＝∠BAC，若S△ABC＝20，则S△ABE+S△CDF是多少？（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S△ABE+S△CDF＝S△ACD，即可得出答案．
【解答】解：∵∠BED＝∠CFD＝∠BAC，∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠CFD＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∵，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴S△ABE＝S△ACF，
∴S△ABE+S△CDF＝S△ACD
∵S△ABC＝20，＝，
∴S△ACD＝15，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）（2019秋•江夏区期末）已知：（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣2a＝0且b＝2，则式子（ab2﹣2ab）•ab的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣1 D．2
【分析】直接利用整式的除法运算法则化简得出a的值，进而代入求出答案．
【解答】解：∵（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣2a＝0，
∴4a2﹣2a+1﹣2a＝0，
故（2a﹣1）2＝0，
解得：a＝，
（ab2﹣2ab）•ab
＝a2b3﹣a2b2
把a＝，b＝2代入上式得：
原式＝×（）2×23﹣（）2×22
＝﹣1
＝﹣．
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．（3分）（2019秋•江夏区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）
A．9个 B．7个 C．6个 D．5个
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
【解答】解：如图：
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
二、填空题[共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2019秋•江夏区期末）当x为 2 时，分式的值为0．
【分析】根据题意知，分子3x﹣6＝0且分母x2+1≠0
【解答】解：由题意知，3x﹣6＝0，则x＝2，
当x＝2时，x2+1＝5≠0．
故x＝﹣2符合题意．
故答案是：2．
【点评】考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
12．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形？ △ABD，△BDC，△ABC ．
【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．
【解答】解：∵∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠C＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC＝∠A+∠ABC＝36°+36°＝72°，
而∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形，
∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
故答案为：△ABD，△BDC，△ABC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
13．（3分）（2016•长沙）分解因式：x2y﹣4y＝ y（x+2）（x﹣2） ．
【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x2y﹣4y，
＝y（x2﹣4），
＝y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．
14．（3分）（2019秋•江夏区期末）等腰三角形有一个角等于30度，则底边上的高和腰上的高所在直线相交形成的锐角等于 30或75 度．
【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案．
【解答】解：当底角是30°时，则它底边上的高和腰上的高所在直线的夹角是90°﹣60°＝30°；
当顶角是30°时，则它底边上的高和腰上的高所在直线的夹角是90°﹣15°＝75°；
故答案为：30或75
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，关键是根据三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°解答．
15．（3分）（2019秋•江夏区期末）已知；2x2＝x+3，y＝8x3+2x2﹣15x，计算：（﹣）÷的值是 ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据题意确定出x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝[﹣]•
＝•
＝•
＝，
由2x2＝x+3，得到2x2﹣x﹣3＝0，即（2x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x＝或x＝﹣1，
当x＝时，
y＝8x3+2x2﹣15x
＝8×+2×﹣15×
＝27+﹣
＝27﹣18
＝9，
此时原式＝；
当x＝﹣1时，
y＝8x3+2x2﹣15x
＝﹣8+2+15
＝9，
此时原式＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，△ABC是等边三角形，点P是AB的中点，点M在CB的延长线上，点N在AC上且满足∠MPN＝120°，已知△ABC的周长为18，设t＝2AC﹣CM﹣CN，若关于x的方程＝t的解是正数，则n的取值范围是 n＞﹣6且≠﹣4 ．
【分析】如图，过点P作PE∥BC交AC于E，由“ASA”可证△BPM≌△EPN，可得BM＝EN，可求t＝3，代入方程，可求x的值，解不等式可求解．
【解答】解：如图，过点P作PE∥BC交AC于E，
∴∠APE＝∠ABC＝60°，∠AEP＝∠ACB＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝AE＝PE，
∵点P是AB的中点，
∴AP＝PB，
∴PE＝BP，
∵∠ABC＝∠APE＝∠AEP＝60°，
∴∠MBP＝∠BPE＝∠PEN＝120°，
∴∠MPN＝∠BPE，
∴∠MPB＝∠EPN，且BP＝PE，∠MBP＝∠PEN，
∴△BPM≌△EPN（ASA）
∴BM＝EN，
∵△ABC的周长为18，
∴AB＝AC＝BC＝6，AP＝AE＝BP＝3，
∴CE＝3，
∵t＝2AC﹣CM﹣CN，
∴t＝12﹣BC﹣BM﹣CN＝12﹣6﹣EN﹣CN＝6﹣CE＝3，
∵关于x的方程＝3的解是正数，
∴x＝n+6＞0，且x≠2，
∴n＞﹣6且≠﹣4；
故答案为：n＞﹣6且≠﹣4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，分式方程的解法，一元一次不等式的应用等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（2019秋•江夏区期末）按要求完成下列各题
（1）计算：（2y）2•（﹣xy2）
（2）分解因式：ax2+2a2x+a3
【分析】（1）先算积的乘方、再根据单项式乘单项式法则计算即可得到结果；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）（2y）2•（﹣xy2）
＝4y2•（﹣xy2）
＝﹣4xy4；
（2）ax2+2a2x+a3
＝a（x2+2ax+a2）
＝a（x+a）2．
【点评】此题考查了积的乘方、单项式乘单项式以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）（2016•鼓楼区校级模拟）如图，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
【分析】要证∠B＝∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法．观察出公共角∠A是解决本题的关键．
19．（8分）（2019秋•江夏区期末）解方程：﹣＝0
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：5x﹣5﹣x﹣1＝0，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．（8分）（2019秋•江夏区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为AB边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点E，若AB＝2，求PE的长．
【分析】设CE＝x，则PE＝2x，PC＝AP＝x，根据直角三角形30度角的性质得BC＝1，根据勾股定理得AC的长，列方程可得结论．
【解答】解：∵∠BAC＝30°，AD＝PD，
∴∠A＝∠APD＝∠CPE＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCE＝90°，
∴PE＝2CE，
设CE＝x，则PE＝2x，PC＝AP＝x，
Rt△ABC中，AB＝2，
∴BC＝1，
∴AC＝，
∴2x＝，
x＝，
∴PE＝2x＝1．
【点评】考查了直角三角形30度角和等腰三角形的性质．此题难度适中，熟练掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键．
21．（8分）（2019秋•江夏区期末）先化简，再求值．
（a﹣b+）（a+b﹣）÷（a﹣b），其中a，b满足a2+b2﹣a+b+＝0．
【分析】根据分式的额加减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a2+b2﹣a+b+＝0，求出a、b的值，再代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（a﹣b+）（a+b﹣）÷（a﹣b）
、＝••
＝••
＝a+b，
∵a2+b2﹣a+b+＝0，
∴（a﹣）2+（b+）2＝0，
∴a﹣＝0，b+＝0，
解得，a＝，b＝﹣，
∴原式＝（﹣）＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22．（10分）（2019秋•江夏区期末）已知：等边△ABC中．
（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求的值；
（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．
（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求的值．
【分析】（1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出BM＝2BN，AB＝2BM，设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，可求出答案；
（2）如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，根据AAS可证明△MGC≌△NBM，得出MG＝BN，则结论得证；
（3）如图3，过点P作PM∥CB交AB于点M，根据AAS可证明△PCF≌△PME，得出CF＝ME，得出BF﹣BE＝，则答案可求出．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵点M是BC的中点，
∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°，
∵∠AMN＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BM＝2BN，AB＝2BM，
设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，
∴AN＝3x，
∴；
（2）证明：如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，
∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°，
∴△AMG为等边三角形，
∴AM＝AG，
∴BM＝CG，
∵∠AGM＝∠ABC＝60°，
∴∠MGC＝∠NBM＝120°，
∵MG∥BC，
∴∠GMC＝∠MCB，
∵∠MNB＝∠MCB，
∴∠GMC＝∠MNB，
∴△MGC≌△NBM（AAS），
∴MG＝BN，
∵△AMG为等边三角形，
∴AM＝MG，
∴AM＝BN；
（3）如图3，过点P作PM∥BC交AB于点M，
∴△AMP为等边三角形，
∴AP＝MP，∠AMP＝60°，
∵P为AC的中点，
∴AP＝PC，
∴MP＝PC，
∵∠ACB＝60°，
∴∠EMP＝∠PCF＝120°，
∵∠AEP＝∠PFC，
∴△PCF≌△PME（AAS），
∴CF＝ME，
∴BF﹣BE＝BC+CF﹣ME+MB，
又∵P为AC的中点，MP∥BC，
∴MB＝，
∴BF﹣BE＝BC+BC＝，
∴．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形．
23．（10分）（2019秋•江夏区期末）网购是现在人们常用的购物方式，通常网购的商品为防止损坏会采用盒子进行包装，A，B均是容积为V立方分米无盖的长方体盒子（如图）．
（1）图中A盒子底面是正方形，B盒子底面是长方形，A盒子比B盒子高6分米，A和B两个盒子都选用相同的材料制作成侧面和底面，制作底面的材料1.5元/平方分米，其中B盒子底面制作费用是A盒子底面制作费用的3倍，当V＝576立方分米时，求B盒子的高．（温馨提示：要求用列分式方程求解）
（2）在（1）的条件下，已知A盒子侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米，求制作一个A盒子的制作费用是多少元？
（3）设a的值为（2）中所求的一个A盒子的制作费用，请分解因式：x2﹣31x+a＝ （x﹣16）（x﹣15） ．
【分析】（1）先以“B盒子底面的制作费用是A盒子底面制作费用的3倍”为等量关系列出分式方程，再解方程并检验，最后回答即可．
（2）先分别求出A盒子的底面积和四个侧面积，再求出各个面的制作费用之和即可．
（3）先由（2）写出多项式，再用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：（1）设B盒子的高为h分米，由题意得：×1.5＝×1.5×3
解得：h＝3
经检验，h＝3是原分式方程的解．
答：B盒子的高为3分米．
（2）∵B盒子的高为3分米
∴A盒子的高为：3+6＝9（分米）
∴A盒子的底面积为：＝64（平方米）
∴A盒子的底边长为：＝8（分米）
∴A盒子的侧面积为：4×8×9＝288（平方分米）
∵制作底面的材料1.5元/平方分米，侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米
∴一个A盒子的制作费用是：64×1.5+288×0.5＝240（元）
答：制作一个A盒子的制作费用是240元．
（3）∵由（2）得a＝240
∴x2﹣31x+a＝x2﹣31x+240
＝（x﹣16）（x﹣15）
故答案为：（x﹣16）（x﹣15）．
【点评】本题考查了分式方程在实际问题中的应用、十字相乘法在因式分解中的应用及立体图形的面积计算等知识点，注意分式方程求解后要检验及正确利用十字相乘法分解因式是解题的关键．
24．（12分）（2019秋•江夏区期末）已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB，A（x，0），其中x是方程﹣＝的解．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边△ACD，连DB并延长交y轴于点E，求∠BEO的度数；
（3）如图2，若点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连FB，以FB为边在第一象限内作等边△FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，GH﹣AF的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．
【分析】（1）先求出方程的解为x＝3，即可求解；
（2）由“SAS”可证△CAO≌△DAB，可得∠DBA＝∠COA＝90°，由四边形内角和定理可求解；
（3）由“SAS”可证△ABG≌△OBF可得OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，可求∠OAH＝60°，可得AH＝6，即可求解．
【解答】解：（1）∵x是方程﹣＝的解．
解得x＝3
检验当x＝3时，6x﹣2≠0，
∴x＝3是原方程的解，
∴点A（3，0）；
（2）∵△ACD，△ABO是等边三角形，
∴AO＝AB，AD＝AC，∠BAO＝∠CAD＝60°，
∴∠CAO＝∠BAD，且AO＝AB，AD＝AC，
∴△CAO≌△DAB（SAS）
∴∠DBA＝∠COA＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∵∠AOE+∠ABE+∠OAB+∠BEO＝360°，
∴∠BEO＝120°；
（3）GH﹣AF的值是定值，
理由如下：∵△ABC，△BFG是等边三角形，
∴BO＝AB＝AO＝3，FB＝BG，∠BOA＝∠ABO＝∠FBG＝60°，
∴∠OBF＝∠ABG，且OB＝AB，BF＝BG，
∴△ABG≌△OBF（SAS）
∴OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，
∴AG＝OF＝OA+AF＝3+AF，
∵∠OAH＝180°﹣∠OAB﹣∠BAG，
∴∠OAH＝60°，且∠AOH＝90°，OA＝3，
∴AH＝6，
∴GH﹣AF＝AH+AG﹣AF＝6+3+AF﹣AF＝9．
【点评】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
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日期：2020/12/23 11:14:24；用户：刘富良；邮箱：287520833@qq.com；学号：13137786
2019-2020学年湖北省武汉市江夏区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案其中有且只有一个正确，请在答卷上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）（2019秋•江夏区期末）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣1 D．x≠﹣1
2．（3分）（2019秋•江夏区期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（x2）3＝x5
C．（﹣ab）4＝a4b4 D．2xy•3x＝5x2y
3．（3分）（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
4．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．38.5° C．64° D．77°
5．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离到达C、D两地，若C与B的距离为a千米，则D与B的距离为（ ）
A．a千米 B．a千米 C．2a千米 D．无法确定
6．（3分）（2019秋•江夏区期末）约分：的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2019秋•江夏区期末）已知如图，O为四边形ABCD内一点，若∠A＝50°且∠ABO＝20°，∠ADO＝30°，则∠BOD的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
8．（3分）（2020春•济南期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且＝，点E、F在线段AD上，满足∠BED＝∠CFD＝∠BAC，若S△ABC＝20，则S△ABE+S△CDF是多少？（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
9．（3分）（2019秋•江夏区期末）已知：（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣2a＝0且b＝2，则式子（ab2﹣2ab）•ab的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣1 D．2
10．（3分）（2019秋•江夏区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）
A．9个 B．7个 C．6个 D．5个
二、填空题[共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2019秋•江夏区期末）当x为 时，分式的值为0．
12．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形？ ．
13．（3分）（2016•长沙）分解因式：x2y﹣4y＝ ．
14．（3分）（2019秋•江夏区期末）等腰三角形有一个角等于30度，则底边上的高和腰上的高所在直线相交形成的锐角等于 度．
15．（3分）（2019秋•江夏区期末）已知；2x2＝x+3，y＝8x3+2x2﹣15x，计算：（﹣）÷的值是 ．
16．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，△ABC是等边三角形，点P是AB的中点，点M在CB的延长线上，点N在AC上且满足∠MPN＝120°，已知△ABC的周长为18，设t＝2AC﹣CM﹣CN，若关于x的方程＝t的解是正数，则n的取值范围是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（2019秋•江夏区期末）按要求完成下列各题
（1）计算：（2y）2•（﹣xy2）
（2）分解因式：ax2+2a2x+a3
18．（8分）（2016•鼓楼区校级模拟）如图，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
19．（8分）（2019秋•江夏区期末）解方程：﹣＝0
20．（8分）（2019秋•江夏区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为AB边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点E，若AB＝2，求PE的长．
21．（8分）（2019秋•江夏区期末）先化简，再求值．
（a﹣b+）（a+b﹣）÷（a﹣b），其中a，b满足a2+b2﹣a+b+＝0．
22．（10分）（2019秋•江夏区期末）已知：等边△ABC中．
（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求的值；
（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．
（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求的值．
23．（10分）（2019秋•江夏区期末）网购是现在人们常用的购物方式，通常网购的商品为防止损坏会采用盒子进行包装，A，B均是容积为V立方分米无盖的长方体盒子（如图）．
（1）图中A盒子底面是正方形，B盒子底面是长方形，A盒子比B盒子高6分米，A和B两个盒子都选用相同的材料制作成侧面和底面，制作底面的材料1.5元/平方分米，其中B盒子底面制作费用是A盒子底面制作费用的3倍，当V＝576立方分米时，求B盒子的高．（温馨提示：要求用列分式方程求解）
（2）在（1）的条件下，已知A盒子侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米，求制作一个A盒子的制作费用是多少元？
（3）设a的值为（2）中所求的一个A盒子的制作费用，请分解因式：x2﹣31x+a＝ ．
24．（12分）（2019秋•江夏区期末）已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB，A（x，0），其中x是方程﹣＝的解．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边△ACD，连DB并延长交y轴于点E，求∠BEO的度数；
（3）如图2，若点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连FB，以FB为边在第一象限内作等边△FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，GH﹣AF的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．
2019-2020学年湖北省武汉市江夏区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案其中有且只有一个正确，请在答卷上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）（2019秋•江夏区期末）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣1 D．x≠﹣1
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：要使有意义，得
x﹣1≠0．
解得x≠1，
当x≠1时，有意义，
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
2．（3分）（2019秋•江夏区期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（x2）3＝x5
C．（﹣ab）4＝a4b4 D．2xy•3x＝5x2y
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式乘单项式法则，对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项错误；
B、（x2）3＝x6，故本选项错误；
C、（﹣ab）4＝a4b4，故本选项正确；
D、2xy•3x＝6x2y，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式，熟知各自的计算法则是解答此题的关键．
3．（3分）（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得
（n﹣2）•180°＝360°×2
解得n＝6．
则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
4．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．38.5° C．64° D．77°
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离到达C、D两地，若C与B的距离为a千米，则D与B的距离为（ ）
A．a千米 B．a千米 C．2a千米 D．无法确定
【分析】先根据题意得到AB垂直平分CD，然后根据线段垂直平分线的性质可判断C，D到B的距离相等．
【解答】解：∵AB⊥CD，AC＝AD，
∴AB垂直平分CD，
∴BC＝BD＝a千米，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
6．（3分）（2019秋•江夏区期末）约分：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接将分子分解因式进而化简得出答案．
【解答】解：＝＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的基本性质是解题关键．
7．（3分）（2019秋•江夏区期末）已知如图，O为四边形ABCD内一点，若∠A＝50°且∠ABO＝20°，∠ADO＝30°，则∠BOD的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】延长BO交AD于E，根据三角形内角与外角的性质可得∠OED＝∠A+∠ABO，∠BOD＝∠ADO+∠OED，再代入相应数值进行计算即可．
【解答】解：如图，延长BO交AD于E，
∵∠A＝50°，∠ABO＝20°，
∴∠OED＝50°+20°＝70°，
∵∠ADO＝30°，
∴∠BOD＝∠OED+∠ACO＝70°+30°＝100°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质．解题的关键是掌握三角形内角与外角的关系定理．
8．（3分）（2020春•济南期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且＝，点E、F在线段AD上，满足∠BED＝∠CFD＝∠BAC，若S△ABC＝20，则S△ABE+S△CDF是多少？（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S△ABE+S△CDF＝S△ACD，即可得出答案．
【解答】解：∵∠BED＝∠CFD＝∠BAC，∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠CFD＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∵，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴S△ABE＝S△ACF，
∴S△ABE+S△CDF＝S△ACD
∵S△ABC＝20，＝，
∴S△ACD＝15，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）（2019秋•江夏区期末）已知：（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣2a＝0且b＝2，则式子（ab2﹣2ab）•ab的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣1 D．2
【分析】直接利用整式的除法运算法则化简得出a的值，进而代入求出答案．
【解答】解：∵（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣2a＝0，
∴4a2﹣2a+1﹣2a＝0，
故（2a﹣1）2＝0，
解得：a＝，
（ab2﹣2ab）•ab
＝a2b3﹣a2b2
把a＝，b＝2代入上式得：
原式＝×（）2×23﹣（）2×22
＝﹣1
＝﹣．
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．（3分）（2019秋•江夏区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）
A．9个 B．7个 C．6个 D．5个
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
【解答】解：如图：
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
二、填空题[共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2019秋•江夏区期末）当x为 2 时，分式的值为0．
【分析】根据题意知，分子3x﹣6＝0且分母x2+1≠0
【解答】解：由题意知，3x﹣6＝0，则x＝2，
当x＝2时，x2+1＝5≠0．
故x＝﹣2符合题意．
故答案是：2．
【点评】考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
12．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形？ △ABD，△BDC，△ABC ．
【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．
【解答】解：∵∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠C＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC＝∠A+∠ABC＝36°+36°＝72°，
而∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形，
∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
故答案为：△ABD，△BDC，△ABC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
13．（3分）（2016•长沙）分解因式：x2y﹣4y＝ y（x+2）（x﹣2） ．
【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x2y﹣4y，
＝y（x2﹣4），
＝y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．
14．（3分）（2019秋•江夏区期末）等腰三角形有一个角等于30度，则底边上的高和腰上的高所在直线相交形成的锐角等于 30或75 度．
【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案．
【解答】解：当底角是30°时，则它底边上的高和腰上的高所在直线的夹角是90°﹣60°＝30°；
当顶角是30°时，则它底边上的高和腰上的高所在直线的夹角是90°﹣15°＝75°；
故答案为：30或75
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，关键是根据三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°解答．
15．（3分）（2019秋•江夏区期末）已知；2x2＝x+3，y＝8x3+2x2﹣15x，计算：（﹣）÷的值是 ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据题意确定出x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝[﹣]•
＝•
＝•
＝，
由2x2＝x+3，得到2x2﹣x﹣3＝0，即（2x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x＝或x＝﹣1，
当x＝时，
y＝8x3+2x2﹣15x
＝8×+2×﹣15×
＝27+﹣
＝27﹣18
＝9，
此时原式＝；
当x＝﹣1时，
y＝8x3+2x2﹣15x
＝﹣8+2+15
＝9，
此时原式＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（3分）（2019秋•江夏区期末）如图，△ABC是等边三角形，点P是AB的中点，点M在CB的延长线上，点N在AC上且满足∠MPN＝120°，已知△ABC的周长为18，设t＝2AC﹣CM﹣CN，若关于x的方程＝t的解是正数，则n的取值范围是 n＞﹣6且≠﹣4 ．
【分析】如图，过点P作PE∥BC交AC于E，由“ASA”可证△BPM≌△EPN，可得BM＝EN，可求t＝3，代入方程，可求x的值，解不等式可求解．
【解答】解：如图，过点P作PE∥BC交AC于E，
∴∠APE＝∠ABC＝60°，∠AEP＝∠ACB＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝AE＝PE，
∵点P是AB的中点，
∴AP＝PB，
∴PE＝BP，
∵∠ABC＝∠APE＝∠AEP＝60°，
∴∠MBP＝∠BPE＝∠PEN＝120°，
∴∠MPN＝∠BPE，
∴∠MPB＝∠EPN，且BP＝PE，∠MBP＝∠PEN，
∴△BPM≌△EPN（ASA）
∴BM＝EN，
∵△ABC的周长为18，
∴AB＝AC＝BC＝6，AP＝AE＝BP＝3，
∴CE＝3，
∵t＝2AC﹣CM﹣CN，
∴t＝12﹣BC﹣BM﹣CN＝12﹣6﹣EN﹣CN＝6﹣CE＝3，
∵关于x的方程＝3的解是正数，
∴x＝n+6＞0，且x≠2，
∴n＞﹣6且≠﹣4；
故答案为：n＞﹣6且≠﹣4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，分式方程的解法，一元一次不等式的应用等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（2019秋•江夏区期末）按要求完成下列各题
（1）计算：（2y）2•（﹣xy2）
（2）分解因式：ax2+2a2x+a3
【分析】（1）先算积的乘方、再根据单项式乘单项式法则计算即可得到结果；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）（2y）2•（﹣xy2）
＝4y2•（﹣xy2）
＝﹣4xy4；
（2）ax2+2a2x+a3
＝a（x2+2ax+a2）
＝a（x+a）2．
【点评】此题考查了积的乘方、单项式乘单项式以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）（2016•鼓楼区校级模拟）如图，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
【分析】要证∠B＝∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法．观察出公共角∠A是解决本题的关键．
19．（8分）（2019秋•江夏区期末）解方程：﹣＝0
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：5x﹣5﹣x﹣1＝0，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．（8分）（2019秋•江夏区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为AB边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点E，若AB＝2，求PE的长．
【分析】设CE＝x，则PE＝2x，PC＝AP＝x，根据直角三角形30度角的性质得BC＝1，根据勾股定理得AC的长，列方程可得结论．
【解答】解：∵∠BAC＝30°，AD＝PD，
∴∠A＝∠APD＝∠CPE＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCE＝90°，
∴PE＝2CE，
设CE＝x，则PE＝2x，PC＝AP＝x，
Rt△ABC中，AB＝2，
∴BC＝1，
∴AC＝，
∴2x＝，
x＝，
∴PE＝2x＝1．
【点评】考查了直角三角形30度角和等腰三角形的性质．此题难度适中，熟练掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键．
21．（8分）（2019秋•江夏区期末）先化简，再求值．
（a﹣b+）（a+b﹣）÷（a﹣b），其中a，b满足a2+b2﹣a+b+＝0．
【分析】根据分式的额加减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a2+b2﹣a+b+＝0，求出a、b的值，再代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（a﹣b+）（a+b﹣）÷（a﹣b）
、＝••
＝••
＝a+b，
∵a2+b2﹣a+b+＝0，
∴（a﹣）2+（b+）2＝0，
∴a﹣＝0，b+＝0，
解得，a＝，b＝﹣，
∴原式＝（﹣）＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22．（10分）（2019秋•江夏区期末）已知：等边△ABC中．
（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求的值；
（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．
（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求的值．
【分析】（1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出BM＝2BN，AB＝2BM，设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，可求出答案；
（2）如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，根据AAS可证明△MGC≌△NBM，得出MG＝BN，则结论得证；
（3）如图3，过点P作PM∥CB交AB于点M，根据AAS可证明△PCF≌△PME，得出CF＝ME，得出BF﹣BE＝，则答案可求出．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵点M是BC的中点，
∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°，
∵∠AMN＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BM＝2BN，AB＝2BM，
设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，
∴AN＝3x，
∴；
（2）证明：如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，
∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°，
∴△AMG为等边三角形，
∴AM＝AG，
∴BM＝CG，
∵∠AGM＝∠ABC＝60°，
∴∠MGC＝∠NBM＝120°，
∵MG∥BC，
∴∠GMC＝∠MCB，
∵∠MNB＝∠MCB，
∴∠GMC＝∠MNB，
∴△MGC≌△NBM（AAS），
∴MG＝BN，
∵△AMG为等边三角形，
∴AM＝MG，
∴AM＝BN；
（3）如图3，过点P作PM∥BC交AB于点M，
∴△AMP为等边三角形，
∴AP＝MP，∠AMP＝60°，
∵P为AC的中点，
∴AP＝PC，
∴MP＝PC，
∵∠ACB＝60°，
∴∠EMP＝∠PCF＝120°，
∵∠AEP＝∠PFC，
∴△PCF≌△PME（AAS），
∴CF＝ME，
∴BF﹣BE＝BC+CF﹣ME+MB，
又∵P为AC的中点，MP∥BC，
∴MB＝，
∴BF﹣BE＝BC+BC＝，
∴．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形．
23．（10分）（2019秋•江夏区期末）网购是现在人们常用的购物方式，通常网购的商品为防止损坏会采用盒子进行包装，A，B均是容积为V立方分米无盖的长方体盒子（如图）．
（1）图中A盒子底面是正方形，B盒子底面是长方形，A盒子比B盒子高6分米，A和B两个盒子都选用相同的材料制作成侧面和底面，制作底面的材料1.5元/平方分米，其中B盒子底面制作费用是A盒子底面制作费用的3倍，当V＝576立方分米时，求B盒子的高．（温馨提示：要求用列分式方程求解）
（2）在（1）的条件下，已知A盒子侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米，求制作一个A盒子的制作费用是多少元？
（3）设a的值为（2）中所求的一个A盒子的制作费用，请分解因式：x2﹣31x+a＝ （x﹣16）（x﹣15） ．
【分析】（1）先以“B盒子底面的制作费用是A盒子底面制作费用的3倍”为等量关系列出分式方程，再解方程并检验，最后回答即可．
（2）先分别求出A盒子的底面积和四个侧面积，再求出各个面的制作费用之和即可．
（3）先由（2）写出多项式，再用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：（1）设B盒子的高为h分米，由题意得：×1.5＝×1.5×3
解得：h＝3
经检验，h＝3是原分式方程的解．
答：B盒子的高为3分米．
（2）∵B盒子的高为3分米
∴A盒子的高为：3+6＝9（分米）
∴A盒子的底面积为：＝64（平方米）
∴A盒子的底边长为：＝8（分米）
∴A盒子的侧面积为：4×8×9＝288（平方分米）
∵制作底面的材料1.5元/平方分米，侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米
∴一个A盒子的制作费用是：64×1.5+288×0.5＝240（元）
答：制作一个A盒子的制作费用是240元．
（3）∵由（2）得a＝240
∴x2﹣31x+a＝x2﹣31x+240
＝（x﹣16）（x﹣15）
故答案为：（x﹣16）（x﹣15）．
【点评】本题考查了分式方程在实际问题中的应用、十字相乘法在因式分解中的应用及立体图形的面积计算等知识点，注意分式方程求解后要检验及正确利用十字相乘法分解因式是解题的关键．
24．（12分）（2019秋•江夏区期末）已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB，A（x，0），其中x是方程﹣＝的解．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边△ACD，连DB并延长交y轴于点E，求∠BEO的度数；
（3）如图2，若点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连FB，以FB为边在第一象限内作等边△FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，GH﹣AF的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．
【分析】（1）先求出方程的解为x＝3，即可求解；
（2）由“SAS”可证△CAO≌△DAB，可得∠DBA＝∠COA＝90°，由四边形内角和定理可求解；
（3）由“SAS”可证△ABG≌△OBF可得OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，可求∠OAH＝60°，可得AH＝6，即可求解．
【解答】解：（1）∵x是方程﹣＝的解．
解得x＝3
检验当x＝3时，6x﹣2≠0，
∴x＝3是原方程的解，
∴点A（3，0）；
（2）∵△ACD，△ABO是等边三角形，
∴AO＝AB，AD＝AC，∠BAO＝∠CAD＝60°，
∴∠CAO＝∠BAD，且AO＝AB，AD＝AC，
∴△CAO≌△DAB（SAS）
∴∠DBA＝∠COA＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∵∠AOE+∠ABE+∠OAB+∠BEO＝360°，
∴∠BEO＝120°；
（3）GH﹣AF的值是定值，
理由如下：∵△ABC，△BFG是等边三角形，
∴BO＝AB＝AO＝3，FB＝BG，∠BOA＝∠ABO＝∠FBG＝60°，
∴∠OBF＝∠ABG，且OB＝AB，BF＝BG，
∴△ABG≌△OBF（SAS）
∴OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，
∴AG＝OF＝OA+AF＝3+AF，
∵∠OAH＝180°﹣∠OAB﹣∠BAG，
∴∠OAH＝60°，且∠AOH＝90°，OA＝3，
∴AH＝6，
∴GH﹣AF＝AH+AG﹣AF＝6+3+AF﹣AF＝9．
【点评】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
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日期：2020/12/23 11:14:24；用户：刘富良；邮箱：287520833@qq.com；学号：13137786
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