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山东省济宁市邹城市2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份山东省济宁市邹城市2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省济宁市邹城市2021-2022学年八年级（上）期中数学试卷(解析版)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）
1．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
2．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）
4．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．直角三角形的外角可以是锐角
D．三角形的一条中线将该三角形分成两个面积相等的部分
5．等腰三角形周长为18，其中一边长为4，则其它两边长分别为（ ）
A．4，10 B．7，7 C．4，10或7，7 D．无法确定
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD
7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在△ABC中，F是高AD、BE的交点，AD＝BD，BC＝6，CD＝2，则线段AF的长度为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
9．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
10．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（ ）
A．25 B．33 C．34 D．50
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知等腰三角形有一内角为100°，则该等腰三角形的底角为 度．
12．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是 ．
13．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5．则△BEC的周长是 ．
14．一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了．量得∠BCD＝150°，这个零件 （填“合格”或“不合格”）．
15．如图，已知△ABC的周长是10，∠B和∠C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD＝2，则△ABC的面积是 ．
16．如图所示正方形网格中，连接AB，AC，AD，则∠1+∠2+∠3＝ ．
17．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是 ．
18．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中α称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60°，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
19．（6分）如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝AD．
20．（6分）已知：四边形ABCD，求作：一点P，使PB＝PC，且点P到AD和CD的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
21．（8分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：ED平分∠AEB；
（2）若AB＝AC，∠A＝40°，求∠F的度数．
22．（8分）如图，点D在△ABC的边BC上，DE交AC于点F，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CDE，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AF＝2CF，DF＝EF，△CDF的面积为1，求△ABC的面积．
23．（8分）如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中画出格点△A'B'C'与△ABC成轴对称，且点A，B，C的对称点分别为点A'，B'，C'．例如，图1、图2中的格点△A'B'C'与△ABC成轴对称，请你在图3、图4、图5、图6中各画出一种格点△A'B'C'，使各图中的△A'B'C'与△ABC对称形式不同．
24．（10分）如图，等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝30°．
（1）当∠BAD＝15°时，如图1，求证：△ADE为等腰三角形；
（2）作D点关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，如图2．求证：△ADF为等边三角形；
（3）求证：以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形．
2021-2022学年山东省济宁市邹城市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）
1．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
【解答】解：三角形具有稳定性．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性．
2．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．
【解答】解：∵5+6＜12，
∴三角形三边长为5，6，12不可能成为一个三角形，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）
【分析】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点解答．
【解答】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：C．
【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．直角三角形的外角可以是锐角
D．三角形的一条中线将该三角形分成两个面积相等的部分
【分析】根据全等三角形的性质即可判断选项A；举出反例，再根据三角形的面积根式求出两三角形的面积，即可判断选项B；根据三角形外角的定义即可判断选项C；根据三角形的面积即可判断选项D．
【解答】解：A．形状相同、大小也相同的两个三角形全等，故本选项不符合题意；
B．△ABC和△DEF中，BC＝2，边BC上的高是1，EF＝1，边EF上的高是2，
此时两三角形的面积相等，都是＝1，但是两三角形不全等，故本选项不符合题意；
C．直角的外角是直角，不是锐角，其余两角的外角是钝角，故本选项不符合题意；
D．根据等底等高的三角形的面积相等得出三角形的一条中线将该三角形分成两个面积相等的两部分，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的面积和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理和三角形的面积公式是解此题的关键．
5．等腰三角形周长为18，其中一边长为4，则其它两边长分别为（ ）
A．4，10 B．7，7 C．4，10或7，7 D．无法确定
【分析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．
【解答】解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10，
∵4+4＝8＜10，
∴这样的三边不能构成三角形．
当底为4时，腰为（18﹣4）÷2＝7，
∵0＜7＜7+4＝11，
∴以4，7，7为边能构成三角形
∴其它两边长分别为7，7．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360°，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
8．如图，在△ABC中，F是高AD、BE的交点，AD＝BD，BC＝6，CD＝2，则线段AF的长度为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【分析】先证明∠FBD＝∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△ADC，利用全等三角形对应边相等就可得到结论．
【解答】证明：∵F是高AD和BE的交点，
∴∠ADC＝∠FDB＝∠AEF＝90°，
∴∠DAC+∠AFE＝90°，
∵∠FDB＝90°，
∴∠FBD+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝CD＝2，
∴AD＝BD＝BC﹣DF＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝4﹣2＝2；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
9．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】在三角形ABC中，由∠B与∠C的度数求出∠BAC的度数，根据AE为角平分线求出∠BAE的度数，由∠BAD﹣∠B即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
则∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝10°，
故选：A．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟练掌握内角和定理是解本题的关键．
10．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（ ）
A．25 B．33 C．34 D．50
【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）＝3n+1个，根据题意得3n+1＝100，求得n的值即可．
【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；
第二次操作后，三角形共有4+3＝7个；
第三次操作后，三角形共有4+3+3＝10个；
…
∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）＝3n+1个；
当3n+1＝100时，解得：n＝33，
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第n次操作后，三角形的个数为3n+1是解题关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知等腰三角形有一内角为100°，则该等腰三角形的底角为 40 度．
【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：40．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
12．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是 ASA ．
【分析】根据垂直的定义、全等三角形的判定定理解答即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABD＝∠EDC＝90°，
在△EDC和△ABC中，
，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
故答案为：ASA．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
13．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5．则△BEC的周长是 13 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了．量得∠BCD＝150°，这个零件 不合格 （填“合格”或“不合格”）．
【分析】连接AC并延长，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，∠4＝∠2+∠D，再求出∠BCD即可进行判定．
【解答】解：如图，连接AC并延长，
由三角形的外角性质，∠3＝∠1+∠B，∠4＝∠2+∠D，
∴∠BCD＝∠3+∠4＝∠1+∠B+∠2+∠D
＝∠A+∠B+∠D
＝90°+25°+25°
＝140°，
∵140°≠150°，
∴这个零件不合格．
故答案为：不合格．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线构造出两个三角形是解题的关键．
15．如图，已知△ABC的周长是10，∠B和∠C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD＝2，则△ABC的面积是 10 ．
【分析】过P点分别作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，由角平分线的性质可求PE＝PF＝PD＝2，结合三角形的周长，利用S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC可求解．
【解答】解：过P点分别作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，连接AP，
∵∠B和∠C的平分线交于P点，PD⊥BC，
∴PE＝PF＝PD＝2，
∵△ABC的周长是10，
∴AB+BC+AC＝10，
∴S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC
＝
＝
＝
＝10．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，运用角平分线的性质求解PE＝PF＝PD＝2是解题的关键．
16．如图所示正方形网格中，连接AB，AC，AD，则∠1+∠2+∠3＝ 135° ．
【分析】由图易得∠2＝45°，∠1+∠3＝90°，据此求三角之和即可．
【解答】解：
由图可知，△ADE与△ABC全等，
∴∠DAE＝∠1，
∵∠DAE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°．
故答案为：135°．
【点评】此题考查全等图形，相对比较简单，但要准确求出各角大小是本题的难点．
17．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是 150米 ．
【分析】根据题意判断出小华走过的路线图形是正多边形，用360°除以24°求出多边形的边数，再根据多边形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，小华走过的路线图形是正多边形，
360°÷24°＝15，
15×10＝150米，
所以，一共走的路程是150米．
故答案为：150米．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，判断出走过的路线图形是正多边形并利用多边形的外角和定理求出边数是解题的关键．
18．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中α称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60°，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为 30°，90°或40°，80° ．
【分析】分两种情况讨论：①当60°的角为“奇妙角”时，有另一个角为30°，由三角形的内角和可求得第三个内角为90°；②当60°的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为∠1，∠2，且∠1＝2∠2，由三角形的内角和可求解．
【解答】解：由题意得：
①当60°的角为“奇妙角”时，
有另一个角为30°，
∴第三个内角为180°﹣60°﹣30°＝90°；
②当60°的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为∠1，∠2，且∠1＝2∠2，
有∠1+∠2+60°＝180°，
即2∠2+∠2＝120°，
解得：∠2＝40°，
故∠1＝80°．
综上所述：这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为30°，90°或40°，80°．
故答案为：30°，90°或40°，80°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和，解答的关键是对已知60°的角进行分类讨论．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
19．（6分）如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝AD．
【分析】利用邻补角的性质得到∠ABC＝∠ABD，然后结合已知条件，利用AAS证得△ABC≌△ABD，则该全等三角形的对应边相等：AC＝AD．
【解答】证明：如图，∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ABD，
∴在△ABC与△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（AAS），
∴AC＝AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在证明本题中的两个三角形全等时，要注意挖掘出隐含在题中的已知条件：AB是公共边．
20．（6分）已知：四边形ABCD，求作：一点P，使PB＝PC，且点P到AD和CD的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作BC的垂直平分线和∠ADC的平分线，它们相交于点P．
【解答】解：如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图：复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：ED平分∠AEB；
（2）若AB＝AC，∠A＝40°，求∠F的度数．
【分析】（1）先证EA＝EB，再利用等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．
（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，再由等腰三角形的性质证明∠BDF＝90°，然后由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴ED平分∠AEB；
（2）解：∵∠A＝40°，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵EA＝EB，AD＝DB，
∴ED⊥AB，
∴∠FDB＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠ABC＝20°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）如图，点D在△ABC的边BC上，DE交AC于点F，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CDE，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AF＝2CF，DF＝EF，△CDF的面积为1，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据AAS证明△BAC≌△DAE即可；
（2）想办法求出△ADE的面积即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠E，∠DFC＝∠AFE，
∴∠FDC＝∠FAE，
∵∠BAD＝∠CDE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（AAS）．
（2）解：∵AF＝2CF，
∴S△ADF＝2S△DFC＝2，
∵DF＝EF，
∴S△AEF＝S△ADF＝2，
∴S△AED＝4，
∵△BAC≌△DAE，
∴S△ABC＝S△ADE＝4．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等高模型，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（8分）如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中画出格点△A'B'C'与△ABC成轴对称，且点A，B，C的对称点分别为点A'，B'，C'．例如，图1、图2中的格点△A'B'C'与△ABC成轴对称，请你在图3、图4、图5、图6中各画出一种格点△A'B'C'，使各图中的△A'B'C'与△ABC对称形式不同．
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【解答】解：如图，△A'B'C'即为所求．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
24．（10分）如图，等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝30°．
（1）当∠BAD＝15°时，如图1，求证：△ADE为等腰三角形；
（2）作D点关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，如图2．求证：△ADF为等边三角形；
（3）求证：以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE，可得结论；
（2）由轴对称的性质可得AD＝AF，AE垂直平分DF，可求∠DAF＝60°，可证△ADF是等边三角形；
（3）由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝60°，可得∠ECF＝120°，可得以EF，CE，CF为边长的三角形是钝角三角形，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠B＝∠C，
∵∠BAD＝15°，∠DAE＝30°，
∴∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）∵点D，点F关于直线AE的对称，
∴AD＝AF，AE垂直平分DF，
∴∠DAE＝∠FAE＝30°，
∴∠DAF＝60°，
∴△ADF是等边三角形；
（3）如图，连接EF，
∵∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAF，
又∵AB＝AC，AD＝AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝60°，
∴∠ECF＝120°，
∵AE垂直平分DF，
∴DE＝EF，
∵△EFC是钝角三角形，
∴以EF，CE，CF为边长的三角形是钝角三角形，
∴以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
山东省济宁市邹城市2021-2022学年八年级（上）期中数学试卷(解析版)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）
1．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
2．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）
4．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．直角三角形的外角可以是锐角
D．三角形的一条中线将该三角形分成两个面积相等的部分
5．等腰三角形周长为18，其中一边长为4，则其它两边长分别为（ ）
A．4，10 B．7，7 C．4，10或7，7 D．无法确定
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD
7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在△ABC中，F是高AD、BE的交点，AD＝BD，BC＝6，CD＝2，则线段AF的长度为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
9．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
10．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（ ）
A．25 B．33 C．34 D．50
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知等腰三角形有一内角为100°，则该等腰三角形的底角为 度．
12．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是 ．
13．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5．则△BEC的周长是 ．
14．一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了．量得∠BCD＝150°，这个零件 （填“合格”或“不合格”）．
15．如图，已知△ABC的周长是10，∠B和∠C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD＝2，则△ABC的面积是 ．
16．如图所示正方形网格中，连接AB，AC，AD，则∠1+∠2+∠3＝ ．
17．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是 ．
18．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中α称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60°，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
19．（6分）如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝AD．
20．（6分）已知：四边形ABCD，求作：一点P，使PB＝PC，且点P到AD和CD的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
21．（8分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：ED平分∠AEB；
（2）若AB＝AC，∠A＝40°，求∠F的度数．
22．（8分）如图，点D在△ABC的边BC上，DE交AC于点F，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CDE，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AF＝2CF，DF＝EF，△CDF的面积为1，求△ABC的面积．
23．（8分）如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中画出格点△A'B'C'与△ABC成轴对称，且点A，B，C的对称点分别为点A'，B'，C'．例如，图1、图2中的格点△A'B'C'与△ABC成轴对称，请你在图3、图4、图5、图6中各画出一种格点△A'B'C'，使各图中的△A'B'C'与△ABC对称形式不同．
24．（10分）如图，等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝30°．
（1）当∠BAD＝15°时，如图1，求证：△ADE为等腰三角形；
（2）作D点关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，如图2．求证：△ADF为等边三角形；
（3）求证：以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形．
2021-2022学年山东省济宁市邹城市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）
1．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
【解答】解：三角形具有稳定性．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性．
2．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．
【解答】解：∵5+6＜12，
∴三角形三边长为5，6，12不可能成为一个三角形，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）
【分析】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点解答．
【解答】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：C．
【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．直角三角形的外角可以是锐角
D．三角形的一条中线将该三角形分成两个面积相等的部分
【分析】根据全等三角形的性质即可判断选项A；举出反例，再根据三角形的面积根式求出两三角形的面积，即可判断选项B；根据三角形外角的定义即可判断选项C；根据三角形的面积即可判断选项D．
【解答】解：A．形状相同、大小也相同的两个三角形全等，故本选项不符合题意；
B．△ABC和△DEF中，BC＝2，边BC上的高是1，EF＝1，边EF上的高是2，
此时两三角形的面积相等，都是＝1，但是两三角形不全等，故本选项不符合题意；
C．直角的外角是直角，不是锐角，其余两角的外角是钝角，故本选项不符合题意；
D．根据等底等高的三角形的面积相等得出三角形的一条中线将该三角形分成两个面积相等的两部分，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的面积和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理和三角形的面积公式是解此题的关键．
5．等腰三角形周长为18，其中一边长为4，则其它两边长分别为（ ）
A．4，10 B．7，7 C．4，10或7，7 D．无法确定
【分析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．
【解答】解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10，
∵4+4＝8＜10，
∴这样的三边不能构成三角形．
当底为4时，腰为（18﹣4）÷2＝7，
∵0＜7＜7+4＝11，
∴以4，7，7为边能构成三角形
∴其它两边长分别为7，7．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360°，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
8．如图，在△ABC中，F是高AD、BE的交点，AD＝BD，BC＝6，CD＝2，则线段AF的长度为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【分析】先证明∠FBD＝∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△ADC，利用全等三角形对应边相等就可得到结论．
【解答】证明：∵F是高AD和BE的交点，
∴∠ADC＝∠FDB＝∠AEF＝90°，
∴∠DAC+∠AFE＝90°，
∵∠FDB＝90°，
∴∠FBD+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝CD＝2，
∴AD＝BD＝BC﹣DF＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝4﹣2＝2；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
9．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】在三角形ABC中，由∠B与∠C的度数求出∠BAC的度数，根据AE为角平分线求出∠BAE的度数，由∠BAD﹣∠B即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
则∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝10°，
故选：A．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟练掌握内角和定理是解本题的关键．
10．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（ ）
A．25 B．33 C．34 D．50
【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）＝3n+1个，根据题意得3n+1＝100，求得n的值即可．
【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；
第二次操作后，三角形共有4+3＝7个；
第三次操作后，三角形共有4+3+3＝10个；
…
∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）＝3n+1个；
当3n+1＝100时，解得：n＝33，
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第n次操作后，三角形的个数为3n+1是解题关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知等腰三角形有一内角为100°，则该等腰三角形的底角为 40 度．
【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：40．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
12．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是 ASA ．
【分析】根据垂直的定义、全等三角形的判定定理解答即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABD＝∠EDC＝90°，
在△EDC和△ABC中，
，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
故答案为：ASA．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
13．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5．则△BEC的周长是 13 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了．量得∠BCD＝150°，这个零件 不合格 （填“合格”或“不合格”）．
【分析】连接AC并延长，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，∠4＝∠2+∠D，再求出∠BCD即可进行判定．
【解答】解：如图，连接AC并延长，
由三角形的外角性质，∠3＝∠1+∠B，∠4＝∠2+∠D，
∴∠BCD＝∠3+∠4＝∠1+∠B+∠2+∠D
＝∠A+∠B+∠D
＝90°+25°+25°
＝140°，
∵140°≠150°，
∴这个零件不合格．
故答案为：不合格．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线构造出两个三角形是解题的关键．
15．如图，已知△ABC的周长是10，∠B和∠C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD＝2，则△ABC的面积是 10 ．
【分析】过P点分别作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，由角平分线的性质可求PE＝PF＝PD＝2，结合三角形的周长，利用S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC可求解．
【解答】解：过P点分别作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，连接AP，
∵∠B和∠C的平分线交于P点，PD⊥BC，
∴PE＝PF＝PD＝2，
∵△ABC的周长是10，
∴AB+BC+AC＝10，
∴S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC
＝
＝
＝
＝10．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，运用角平分线的性质求解PE＝PF＝PD＝2是解题的关键．
16．如图所示正方形网格中，连接AB，AC，AD，则∠1+∠2+∠3＝ 135° ．
【分析】由图易得∠2＝45°，∠1+∠3＝90°，据此求三角之和即可．
【解答】解：
由图可知，△ADE与△ABC全等，
∴∠DAE＝∠1，
∵∠DAE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°．
故答案为：135°．
【点评】此题考查全等图形，相对比较简单，但要准确求出各角大小是本题的难点．
17．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是 150米 ．
【分析】根据题意判断出小华走过的路线图形是正多边形，用360°除以24°求出多边形的边数，再根据多边形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，小华走过的路线图形是正多边形，
360°÷24°＝15，
15×10＝150米，
所以，一共走的路程是150米．
故答案为：150米．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，判断出走过的路线图形是正多边形并利用多边形的外角和定理求出边数是解题的关键．
18．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中α称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60°，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为 30°，90°或40°，80° ．
【分析】分两种情况讨论：①当60°的角为“奇妙角”时，有另一个角为30°，由三角形的内角和可求得第三个内角为90°；②当60°的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为∠1，∠2，且∠1＝2∠2，由三角形的内角和可求解．
【解答】解：由题意得：
①当60°的角为“奇妙角”时，
有另一个角为30°，
∴第三个内角为180°﹣60°﹣30°＝90°；
②当60°的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为∠1，∠2，且∠1＝2∠2，
有∠1+∠2+60°＝180°，
即2∠2+∠2＝120°，
解得：∠2＝40°，
故∠1＝80°．
综上所述：这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为30°，90°或40°，80°．
故答案为：30°，90°或40°，80°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和，解答的关键是对已知60°的角进行分类讨论．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
19．（6分）如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝AD．
【分析】利用邻补角的性质得到∠ABC＝∠ABD，然后结合已知条件，利用AAS证得△ABC≌△ABD，则该全等三角形的对应边相等：AC＝AD．
【解答】证明：如图，∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ABD，
∴在△ABC与△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（AAS），
∴AC＝AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在证明本题中的两个三角形全等时，要注意挖掘出隐含在题中的已知条件：AB是公共边．
20．（6分）已知：四边形ABCD，求作：一点P，使PB＝PC，且点P到AD和CD的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作BC的垂直平分线和∠ADC的平分线，它们相交于点P．
【解答】解：如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图：复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：ED平分∠AEB；
（2）若AB＝AC，∠A＝40°，求∠F的度数．
【分析】（1）先证EA＝EB，再利用等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．
（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，再由等腰三角形的性质证明∠BDF＝90°，然后由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴ED平分∠AEB；
（2）解：∵∠A＝40°，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵EA＝EB，AD＝DB，
∴ED⊥AB，
∴∠FDB＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠ABC＝20°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）如图，点D在△ABC的边BC上，DE交AC于点F，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CDE，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AF＝2CF，DF＝EF，△CDF的面积为1，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据AAS证明△BAC≌△DAE即可；
（2）想办法求出△ADE的面积即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠E，∠DFC＝∠AFE，
∴∠FDC＝∠FAE，
∵∠BAD＝∠CDE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（AAS）．
（2）解：∵AF＝2CF，
∴S△ADF＝2S△DFC＝2，
∵DF＝EF，
∴S△AEF＝S△ADF＝2，
∴S△AED＝4，
∵△BAC≌△DAE，
∴S△ABC＝S△ADE＝4．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等高模型，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（8分）如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中画出格点△A'B'C'与△ABC成轴对称，且点A，B，C的对称点分别为点A'，B'，C'．例如，图1、图2中的格点△A'B'C'与△ABC成轴对称，请你在图3、图4、图5、图6中各画出一种格点△A'B'C'，使各图中的△A'B'C'与△ABC对称形式不同．
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【解答】解：如图，△A'B'C'即为所求．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
24．（10分）如图，等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝30°．
（1）当∠BAD＝15°时，如图1，求证：△ADE为等腰三角形；
（2）作D点关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，如图2．求证：△ADF为等边三角形；
（3）求证：以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE，可得结论；
（2）由轴对称的性质可得AD＝AF，AE垂直平分DF，可求∠DAF＝60°，可证△ADF是等边三角形；
（3）由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝60°，可得∠ECF＝120°，可得以EF，CE，CF为边长的三角形是钝角三角形，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠B＝∠C，
∵∠BAD＝15°，∠DAE＝30°，
∴∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）∵点D，点F关于直线AE的对称，
∴AD＝AF，AE垂直平分DF，
∴∠DAE＝∠FAE＝30°，
∴∠DAF＝60°，
∴△ADF是等边三角形；
（3）如图，连接EF，
∵∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAF，
又∵AB＝AC，AD＝AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝60°，
∴∠ECF＝120°，
∵AE垂直平分DF，
∴DE＝EF，
∵△EFC是钝角三角形，
∴以EF，CE，CF为边长的三角形是钝角三角形，
∴以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
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