粤教版 (2019)第三节 电磁感应定律的应用导学案

第三节　电磁感应规律的应用

[学习目标]　1.了解法拉第发电机的构造及工作原理.2.会计算导体棒转动切割产生的感应电动势.3.了解航母阻拦技术的工作原理，并能用其解决相关问题．

一、法拉第发电机

1．法拉第发电机原理

图1

(1)如图1，把圆盘看作是由无数根长度等于半径的紫铜辐条组成的，在转动圆盘时，每根辐条都做切割磁感线的运动，电路中便有了持续不断的电流．

(2)在法拉第发电机中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源．

2.情景分析：如图2所示，铜棒Oa长为L，磁场的磁感应强度为B，铜棒在垂直于匀强磁场的平面上绕O点以角速度ω匀速转动，则铜棒切割磁感线产生感应电动势．

图2

3．转动切割磁感线产生的电动势

以导体棒的一端为轴转动切割磁感线，

由v＝ωr可知各点线速度随半径按线性规律变化，切割速度用中点的线速度替代，即v＝ω.感应电动势E＝BL2ω.

二、航母阻拦技术

1．工作原理

构建模型如图3.把飞机和金属棒看成一个整体，其在磁场中做切割磁感线运动时，回路中会产生感应电流，切割磁感线的金属棒相当于电源．有电流流过金属棒时会受到磁场对棒的安培力作用，安培力的方向与运动方向相反，起阻碍作用，金属棒做减速运动．

图3

2．情景分析

设金属棒ab长为L，与飞机一起以v向右切割磁感线，产生的感应电动势E＝BLv，回路总电阻为R，则回路中感应电流I＝＝，金属棒所受安培力F＝BIL＝.

一直升机停在南半球的地磁极上空．该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度为B.直升机螺旋桨叶片的长度为l，螺旋桨转动的频率为f，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动，螺旋桨叶片的近轴端为a，远轴端为b，如图4所示，如果忽略a到转轴中心线的距离，每个叶片中的感应电动势E＝        ，且a点电势        (选填“高于”或“低于”)b点电势．

图4

答案　πfl2B　低于

一、法拉第发电机的原理

1．感应电动势的高低

图5中导体棒ab在转动切割磁感线时产生感应电动势，相当于电源，如果它与用电器连接构成闭合电路，则产生的感应电流方向由b向a(右手定则)，而电源内部电流方向是由负极流向正极，所以a相当于电源的正极，b相当于电源的负极，即a端电势高于b端电势．

图5

2．导体转动切割磁感线产生的电动势的计算

如图6所示，长为L的导体棒Oa以O为圆心，以角速度ω在磁感应强度为B的匀强磁场中匀速转动，感应电动势大小可用两种方法分析：

图6

(1)用E＝BLv求解

由于棒上各点到圆心O的速度满足v＝ωL(一次函数关系)，所以切割的等效速度v等效＝＝，故感应电动势E＝BLv等效＝BL2ω.

(2)用E＝求解

经过时间Δt棒扫过的面积为ΔS＝πL2·＝L2ωΔt，由E＝＝知，棒上的感应电动势大小为E＝BL2ω.

如图7所示，半径为r的金属圆盘在垂直于盘面的匀强磁场(磁感应强度为B)中，绕O轴以角速度ω沿逆时针方向匀速转动，则通过电阻R的电流的方向和大小是(金属圆盘的电阻不计)(　　)

图7

A．由c到d，I＝   B．由d到c，I＝

C．由c到d，I＝   D．由d到c，I＝

答案　D

解析　根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E＝Br·rω＝Br2ω，由欧姆定律得通过电阻R的电流I＝＝＝.圆盘相当于电源，由右手定则可知电流方向为由边缘指向圆心，所以电阻R中的电流方向为由d到c，选项D正确．

如图8是法拉第研制成的世界上第一台发电机模型的原理图．将铜盘放在磁场中，让磁感线垂直穿过铜盘，图中a、b导线与铜盘的中轴线处在同一平面内，转动铜盘，就可以使闭合电路获得电流．若图中铜盘半径为r，匀强磁场的磁感应强度为B，回路总电阻为R，匀速转动的铜盘的角速度为ω，则电路的功率是(　　)

图8

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　铜盘旋转切割磁感线产生的电动势E＝Bωr2，由P＝得电路的功率是，故选C.

二、航母阻拦技术

导学探究　随着电磁技术的日趋成熟，新一代航母已经准备采用全新的电磁阻拦技术．它的原理是飞机着舰时利用电磁作用力使它快速停止．其原理简化为如图9所示模型．两平行光滑金属导轨间距为L，放在磁感应强度为B，方向如图所示的匀强磁场中，电阻阻值为R，质量为m、电阻阻值为r的金属棒垂直于导轨放在轨道上，质量为M的飞机着舰时迅速钩住导体棒，且关闭动力系统并立即达到共同速度v，飞机和金属棒很快停下来．

图9

(1)此航母阻拦技术中飞机减速靠的是什么力？并计算该力大小．

(2)试分析飞机的运动性质．

答案　(1)安培力；金属棒切割磁感线产生感应电动势，E＝BLv

回路中感应电流I＝＝.

安培力F＝BIL＝

(2)把飞机和金属棒看作整体，根据牛顿第二定律有

F＝BIL＝＝(M＋m)a

则a＝

飞机做速度不断减小，加速度也不断减小的减速运动，直至停止．

航母阻拦技术中飞机着陆可简化为如图10所示的模型，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，金属杆与导轨的电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面．现给金属杆一个水平向右的初速度v0，让其自由滑行，导轨足够长，则金属杆滑行过程所受安培力F、运动速度v、加速度a、位移x的有关图像，可能正确的是(　　)

图10

答案　B

解析　金属杆向右运动切割磁感线时产生感应电动势，回路中产生感应电流，杆将受到安培力阻碍而做减速运动，速度减小，安培力大小随之减小，则加速度减小，故杆做加速度减小的减速运动直到停止，由于速度不是均匀减小的，所以安培力和加速度都不是均匀减小的，选项A、C错误．根据动量定理可得LBt＝mv0－mv，又因为LBt＝BL(t)＝BL·＝，所以v＝v0－，故v与x是一次函数关系，选项B正确．因为金属杆受到向左的安培力，速度是减小的，所以x－t图线不会是一条直线，选项D错误．

1．(法拉第发电机)1831年10月28日，法拉第在一次会议上展示了他发明的圆盘发电机(图11甲)它是利用电磁感应的原理制成的，是人类历史上第一台发电机．图乙是这个圆盘发电机的示意图：铜盘安装在水平的铜轴上，它的边缘正好在两磁极之间，两块铜片C、D分别与转动轴和铜盘的边缘接触，使铜盘转动，电阻R中就有电流通过．以下说法不正确的是(　　)

图11

A．在金属盘上将有从铜片D流向铜片C的电流

B．铜片D的电势高于铜片C的电势

C．盘面可视为无数幅条组成，任何时刻都有幅条切割磁感线

D．铜盘转动的速度越大，流过电阻R的电流越大

答案　A

解析　根据右手定则可知，电流从D点流出，流向C点，因此在金属盘上的电流方向为从C流向D，由于圆盘在切割磁感线，相当于电源，所以D处的电势比C处高，故A错误，B正确；可将圆盘看成无数个沿着半径方向的幅条组成，因此在任何时刻都有幅条切割磁感线，故C正确；根据法拉第电磁感应定律，则有E＝BLv，所以转动的速度越大，产生的电动势越大，流过电阻R的电流越大，故D正确．

2．(法拉第发电机)(多选)如图12所示，水平铜盘可绕竖直铜轴转动，两铜片M、N分别与铜盘边缘和铜轴连接，使整个铜盘处于竖直向上的匀强磁场中．M和N之间连接阻值为R的电阻和滑动变阻器及RP，若从上往下看，铜盘转动的方向为顺时针方向．已知铜盘的半径为L，铜盘转动的角速度为ω，铜盘连同两铜片对电流的等效电阻值为r，磁感应强度为B，下列说法正确的是(　　)

图12

A．电阻R中的电流方向从a到b

B．铜盘转动产生的感应电动势大小为BL2ω

C．电阻R的最大功率为

D．如果RP＝R＋r，则滑动变阻器的最大电功率为

答案　BCD

解析　若从上往下看，铜盘转动的方向为顺时针方向，根据右手定则可知，电阻R中的电流方向从b到a，故A错误；根据法拉第电磁感应定律得铜盘转动产生的感应电动势为E＝

BL2ω，故B正确；根据闭合电路欧姆定律得I＝，则电阻R的功率为P＝I2R＝2R，当RP＝0时，电阻R的功率最大，即Pm＝，故C正确；把电阻R等效为电源的内阻，则电路中的等效内阻为r′＝R＋r，此时外电路只有RP，故当RP＝r′＝R＋r时，滑动变阻器的电功率最大，即Pm′＝，故D正确．

3.(转动切割产生的电动势)如图13所示，直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于ab边向上．当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动(俯视)时，a、b、c三点的电势分别为φa、φb、φc.已知bc边的长度为l.下列判断正确的是(　　)

图13

A．φa>φc，金属框中无电流

B．φb>φc，金属框中电流方向沿abca

C．Ubc＝－Bl2ω，金属框中无电流

D．Uac＝Bl2ω，金属框中电流方向沿acba

答案　C

解析　金属框abc平面与磁场方向平行，转动过程中磁通量始终为零，所以无感应电流产生，故B、D错误；转动过程中bc边和ac边均切割磁感线，产生感应电动势，由右手定则判断φa<φc，φb<φc，故A错误；由E＝BL得，Ubc＝－Bl2ω，故C正确．

考点一　法拉第发电机

1．(多选)图1为法拉第圆盘发电机的示意图，半径为L的导体圆盘绕竖直轴以角速度ω逆时针(从上向下看)旋转，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向上，两电刷分别与圆盘中心轴和边缘拉触，电刷间接有阻值为R的定值电阻，其余电阻不计，则(　　)

图1

A．流过定值电阻的电流方向为a到b

B．b、a间的电势差为BωL2

C．若ω增大到原来的2倍，则流过定值电阻的电流增大到原来的2倍

D．若ω增大到原来的2倍，则流过定值电阻的电流增大到原来的4倍

答案　BC

2.法拉第圆盘发电机的示意图如图2所示．铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触，圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场中，圆盘旋转时，关于流过电阻R的电流，下列说法正确的是(　　)

图2

A．从上往下看，若圆盘顺时针转动，则电阻R上的电流沿a到b的方向流动

B．因为通过圆盘面的磁通量为零，所以无电流

C．若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化

D．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍

答案　A

考点二　转动切割问题

3．(多选)在农村，背负式喷雾器是防治病虫害不可缺少的重要农具，其主要由压缩空气装置、橡胶连接管、喷管和喷嘴等组成．给作物喷洒农药的情景如图3甲所示，摆动喷管，可将药液均匀喷洒在作物上．一款喷雾器的喷管和喷嘴均由金属制成，喷管摆动过程可简化为图乙所示，设ab为喷管，b端有喷嘴，总长为L.某次摆动时，喷管恰好绕ba延长线上的O点以角速度ω在纸面内沿逆时针方向匀速摆动，且始终处于垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场中，若Oa距离为，则喷管在本次摆动过程中(　　)

图3

A．a端电势高

B．b端电势高

C．ab两端的电势差为BL2ω

D．ab两端的电势差为BL2ω

答案　AD

解析　喷管绕ba延长线上的O点以角速度ω在纸面内沿逆时针方向匀速摆动，根据右手定则可知，若ab中有感应电流，其方向应为由b到a，因ab相当于电源，故a端的电势高，故A正确，B错误；根据法拉第电磁感应定律可得，E＝BL，所以ab两端的电势差为Uab＝E＝BL＝BL2ω，故C错误，D正确．

4.如图4所示，将一根总电阻为R的直导线弯成一半径为a的金属环，放在竖直平面内，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为的导体棒AC，AC由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，C点的线速度为v，则这时AC两端的电压大小为(　　)

图4

A.  B.  C.  D．Bav

答案　A

解析　摆到竖直位置时，导体棒AC切割磁感线产生的感应电动势为E＝B·2a·＝Bav；导体棒AC相当于电源，电源的内阻为，金属环的两个半圆部分的电阻分别为，两个半圆部分的电阻是并联关系，并联总电阻为；根据闭合电路欧姆定律，回路中的总电流为I＝＝，AC两端的电压即路端电压，大小为U＝I·＝，选项A正确，B、C、D错误．

5.如图5所示，导线OA长为l，在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中以角速度ω沿图中所示方向绕通过悬点O的竖直轴旋转，导线OA与竖直方向的夹角为θ.则OA导线中的感应电动势大小和O、A两点电势高低的情况分别是(　　)

图5

A．Bl2ω　O点电势高

B．Bl2ω　A点电势高

C.Bl2ωsin2θ　O点电势高

D.Bl2ωsin2 θ　A点电势高

答案　D

解析　导线OA切割磁感线的有效长度等于OA在垂直磁场方向上的投影长度，即l′＝l·sin θ，产生的感应电动势E＝Bl′2ω＝Bl2ωsin2θ，由右手定则可知A点电势高，所以D正确．

6.如图6所示为法拉第圆盘发电机．半径为r的导体圆盘绕竖直轴以角速度ω旋转，匀强磁场方向竖直向上，磁感应强度为B，电刷a与圆盘表面接触，接触点距圆心为，电刷b与圆盘边缘接触，两电刷间接有阻值为R的电阻，忽略圆盘电阻与接触电阻，则(　　)

图6

A．a、b两点间的电势差为Br2ω

B．通过电阻R的电流为

C．通过电阻R的电流方向为从上到下

D．圆盘在ab连线上所受的安培力与ab连线垂直，与旋转方向相同

答案　B

7.如图7所示，匀强磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B0.使该线框从静止开始绕过圆心O、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，线框中产生感应电流．现使线框保持图中所示位置静止，磁感应强度大小随时间线性变化．为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率的大小应为(　　)

图7

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　设半圆的半径为L，导线框的电阻为R，当线框以角速度ω匀速转动时产生的感应电动势E1＝B0ωL2.当线框不动，而磁感应强度随时间变化时E2＝πL2·，由＝得B0ωL2＝πL2·，即＝，故C正确．

8．如图8所示，在水平面上装有连续多个可产生磁场的矩形区域，长为L＝2 m，宽为d＝0.5 m，每两个相邻磁场区域间无磁场区域长度也为L＝2 m．行驶的汽车可以等效为一个宽为1 m、长为2 m的矩形单匝线框，线框电阻为R＝25 Ω.如果汽车没有超速，则磁场不会启动，一旦测速仪检测到车辆超速，就会在矩形区域内触发强制制动的磁场，方向竖直向下，磁感应强度为B＝50 T．某公路上的限速为72 km/h，测得某辆汽车的质量为m＝1.5 t，行驶时的速度达90 km/h，已经触发了强制制动的磁场，不计强制制动时其他动力和阻力，只考虑安培力．

图8

(1)求汽车超速时磁场给汽车强制制动的最大加速度的大小；

(2)求ab边通过第一个磁场区域时，通过ab边的电荷量；

(3)为了方便估算，假设汽车通过磁场区域时所受到的安培力随位移均匀变小，试估算：要使汽车减速到规定时速，至少需要几个磁场区域．

答案　(1)0.42 m/s2　(2)2 C　(3)75个

解析　(1)当ab边刚进入磁场区域时，所受到的安培力最大，

此时的加速度最大，则E＝Bdv；I＝

又Fmax＝BId

解得Fmax＝＝625 N

所以amax＝＝ m/s2≈0.42 m/s2

(2)由q＝ Δt，＝，＝

可得q＝＝＝2 C

(3)超速时的速度v＝90 km/h＝25 m/s，

规定的速度为vt＝72 km/h＝20 m/s

由第(1)问可知Fmax＝625 N，Fmin＝＝500 N

所以平均作用力＝，

动能定理得－x＝mvt2－mv2，

解得x＝300 m

所以n＝＝75(个)．

9．随着电磁技术的日趋成熟，新一代航母已准备采用全新的电磁阻拦技术，它的原理是飞机着舰时利用电磁作用力使它快速停止．为研究问题的方便，我们将其简化为如图9所示的模型．在磁感应强度为B、方向如图所示的匀强磁场中，两根平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计．轨道端点MP间接有阻值为R的电阻．一个长为L、质量为m、阻值为r的金属棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好．飞机着舰时质量为M的飞机迅速钩住导体棒ab，钩住之后关闭动力系统并立即获得共同的速度v，忽略摩擦等次要因素，飞机和金属棒系统仅在安培力作用下很快停下来．求：

图9

(1)从飞机与金属棒共速到它们停下来的整个过程中，R上产生的焦耳热QR；

(2)从飞机与金属棒共速到它们停下来的整个过程中运动的距离x.

答案　(1)　(2)

解析　(1)根据能量守恒可知，电路的总焦耳热为Q＝(M＋m)v2，

所以整个过程中R上产生的焦耳热QR＝Q＝.

(2)以飞机和金属棒为研究对象，在很短的一段时间Δt内，根据动量定理得－BL·Δt＝－BLq＝0－(M＋m)v

则q＝，

又因为q＝ Δt，

＝＝，

且ΔΦ＝BLx，

联立解得x＝.