2022年高中物理（新教材）新粤教版选择性必修第二册同步学案专题强化2 带电粒子在匀强磁场中的运动

这是一份粤教版 (2019)选择性必修 第二册全册综合导学案，共18页。

　　　　带电粒子在匀强磁场中的运动

[学习目标]　1.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题.2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动．

一、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1．圆心的确定
圆心位置的确定通常有以下两种基本方法：
(1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图1甲所示，P为入射点，M为出射点)．
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．

图1
2．半径的确定
半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解．
3．粒子在匀强磁场中运动时间的确定
(1)粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)．
确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝速度偏向角＝2倍弦切角．
(2)当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长．
如图2所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和入射方向的夹角为θ＝60°，求：

图2
(1)电子运动的轨迹半径；
(2)电子的质量；
(3)电子穿越磁场的时间．
答案　(1)d　(2)　(3)
解析　(1)过M点、N点作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O点，O点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，过N点作OM的垂线，垂足为P，如图所示．由几何关系可知，电子运动的轨迹半径为r＝＝d.①

(2)由牛顿第二定律可知evB＝m②
联立①②式解得m＝.
(3)电子在磁场中运动的周期为
T＝·＝
电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为α＝θ＝60°
故电子在磁场中的运动时间为
t＝T＝×＝.
针对训练1　(多选)如图3所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场．一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴．已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计．则(　　)

图3
A．粒子带负电荷
B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D．N与O点相距(＋1)a
答案　AD
解析　由题意可知，粒子在磁场中做顺时针圆周运动，根据左手定则可知粒子带负电荷，故A正确；粒子的运动轨迹如图所示，O′为粒子做匀速圆周运动的圆心，其轨道半径R＝a，故C错误；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，则v＝，故B错误；由图可知，ON＝a＋a＝(＋1)a，故D正确．

二、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．直线边界
从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图4所示．

图4
2．平行边界


图5
3．圆形边界
(1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图6甲所示．
(2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，射入速度与半径方向的夹角为θ，射出速度与半径的夹角也为θ.

图6
考向1　直线边界的磁场
如图7所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子1在纸面内以速度v1＝v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q的粒子2在纸面内以速度v2＝v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β＝60°.已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用．求：

图7
(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B间的距离d；
(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt.
答案　(1)　(2)
解析　(1)两粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，

由牛顿第二定律有qvB＝m
得r1＝，r2＝
故d＝＋＝2r1cos β＋2r2cos α＝.
(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1＝
粒子2做圆周运动的圆心角θ2＝
粒子1、2在匀强磁场中做圆周运动的周期T＝＝
粒子1在匀强磁场中运动的时间t1＝T
粒子2在匀强磁场中运动的时间t2＝T
所以Δt＝t1－t2＝.
考向2　圆形边界的磁场
在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图8所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出．

图8
(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′的大小；此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
答案　(1)负电荷　　(2)B　
解析　(1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷．粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r，又qvB＝m，

则粒子的比荷＝.
(2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径R′＝＝ r，又R′＝，所以B′＝B，此次粒子在磁场中运动所用时间t＝T＝×＝.

1.(带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动)如图9所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN且垂直磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为(　　)

图9
A. B．2 C. D．3
答案　D
解析　由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式r＝可知，两电子运动半径相同，由周期公式T＝可知，周期也相同，由几何关系可知，电子1运动的圆心角为π，电子2运动的圆心角为，由时间t＝T，可得：＝＝3，D正确．
2.(带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动)如图10所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场．其中穿过a点的粒子的速率v1与MN垂直；穿过b点的粒子的速率v2与MN成60°角，设两粒子从S点到a、b两点所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(粒子的重力及粒子间的相互作用不计)(　　)

图10
A．1∶3 B．4∶3
C．1∶1 D．3∶2
答案　D
解析　粒子的运动轨迹如图所示，可求出从a点射出的粒子对应的圆心角为90°，从b点射出的粒子对应的圆心角为60°，两粒子相同，则两粒子做圆周运动的周期T相同，由t＝T，式中α为圆心角，可得t1∶t2＝3∶2，故D正确．

3．(直线边界磁场)(多选)如图11所示，两相邻且范围足够大的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度方向平行，大小分别为B和2B.一带正电粒子(不计重力)以速度v从磁场分界线MN上某处射入磁场区域Ⅰ，其速度方向与磁场方向垂直且与分界线MN成60°角，经过t1时间后粒子进入磁场区域Ⅱ，又经过t2时间后回到磁场区域Ⅰ.设粒子在区域Ⅰ、Ⅱ中的角速度分别为ω1、ω2，则(　　)

图11
A．t1∶t2＝1∶1 B．t1∶t2＝2∶1
C．ω1∶ω2＝1∶1 D．ω1∶ω2＝1∶2
答案　BD
解析　粒子在两磁场中的运动轨迹如图所示，粒子在Ⅰ中的偏转角为120°，在Ⅱ中的偏转角为120°，由T＝可知，粒子在Ⅱ中的周期为Ⅰ中周期的一半，则由t＝T可知，t1∶t2＝2∶1，选项A错误，B正确；由T＝，ω＝联立解得ω＝，可知对于同一粒子，角速度与磁感应强度成正比，故ω1∶ω2＝1∶2，选项C错误，D正确．

4．(圆形边界磁场)如图12所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)，从A点沿半径方向以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并由B点射出，且∠AOB＝120°，则该粒子在磁场中运动的时间为(　　)

图12
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由图可知，粒子转过的圆心角为60°，根据几何关系可知R＝r，

转过的弧长为l＝×2πR＝＝，则该粒子在磁场中运动的时间t＝＝，故选C.


1.如图1，ABCD是一个正方形的匀强磁场区域，两相同的粒子甲、乙分别以不同的速率从A、D两点沿图示方向射入磁场，均从C点射出，不计粒子的重力，则它们的速率之比为v甲∶v乙和它们通过该磁场所用时间之比t甲∶t乙分别为(　　)

图1
A．1∶1,2∶1 B．1∶2,2∶1
C．2∶1,1∶2 D．1∶2,1∶1
答案　C
解析　根据qvB＝m，得v＝，根据轨迹图可知，甲、乙两粒子的轨迹半径之比为2∶1，又因为两粒子相同，故v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝2∶1，粒子在磁场中的运动周期T＝，两粒子相同，可知甲、乙两粒子的周期之比为1∶1，根据轨迹图可知，甲、乙两粒子转过的圆心角之比为1∶2，故两粒子在磁场中经历的时间之比t甲∶t乙＝1∶2，选C.
2.如图2所示，粒子a和粒子b所带的电荷量相同，以相同的动能从A点射入匀强磁场中，做圆周运动的半径ra＝2rb，则下列说法正确的是(粒子重力不计)(　　)

图2
A．两粒子都带正电，质量之比＝4
B．两粒子都带负电，质量之比＝4
C．两粒子都带正电，质量之比＝
D．两粒子都带负电，质量之比＝
答案　B
解析　由动能Ek＝mv2和粒子做圆周运动的半径r＝，可得m＝，而qa＝qb、Eka＝Ekb，可知质量m与半径r的平方成正比，故＝4，根据左手定则可知两粒子都带负电，故B正确．
3.如图3所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量大小都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　)

图3
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶ D．1∶1
答案　B
解析　由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，又T＝，解得T＝，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确．

4.(多选)如图4所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则(　　)

图4
A．从P射出的粒子速度大
B．从Q射出的粒子速度大
C．从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长
D．两粒子在磁场中运动的时间一样长
答案　BD
解析　作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径RP
5.如图5所示，空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°.不计粒子重力，该磁场的磁感应强度大小为(　　)

图5
A. B. C. D.
答案　A
解析　粒子的运动轨迹如图所示，

粒子做圆周运动的轨道半径
r＝＝R
根据洛伦兹力提供向心力得
qv0B＝m，解得B＝，故A正确．
6.如图6所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点，求：

图6
(1)粒子做圆周运动的周期；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小．
答案　(1)1.8×10－6 s　(2)0.314 T　(3)3.49×105 m/s
解析　(1)作出粒子的运动轨迹，如图所示，由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°，

则＝＝，周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s
(2)由qvB＝m，T＝知B＝＝ T＝0.314 T.
(3)由几何知识可知，半径r＝＝0.1 m
故粒子的运动速度大小为v＝＝ m/s≈3.49×105 m/s.

7．(多选)如图7所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是(　　)

图7
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹对应的圆心角越小
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同
答案　BC
解析　由t＝T知，电子在磁场中运动的时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹所对应的圆心角θ越大，故A错误，B正确．由周期公式T＝知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，若它们在磁场中的运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨迹3、4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，即它们的速率不同，故C正确，D错误．
8.如图8所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成θ角(0<θ<π)，以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)，则下列说法正确的是(　　)

图8
A．若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远
B．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
C．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
答案　B
解析　画出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，由几何关系得，轨迹对应的圆心角α＝2π－2θ，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝·＝，可得，若v一定，θ越大，粒子在磁场中运动的时间t越短，若θ一定，则粒子在磁场中的运动时间一定，故B正确，D错误；设粒子的轨迹半径为r，则r＝，由图有，AO＝2rsin θ＝，可得，若θ是锐角，θ越大，AO越大，若θ是钝角，θ越大，AO越小，故A错误；粒子在磁场中运动的角速度ω＝，又T＝，则得ω＝，与速度v无关，故C错误．

9.如图9，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为(　　)

图9
A. B. C. D.
答案　B
解析　设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m、T＝，可得R1＝、R2＝、T1＝、T2＝，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝，在第一象限中运动的时间为t2＝T2，又由几何关系有cos θ＝＝，可得t2＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝，选项B正确，A、C、D错误．

10.一个重力不计的带电粒子，以大小为v的速度从坐标(0，L)的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上b点射出磁场，射出速度方向与x轴正方向间的夹角为60°，如图10，求：

图10
(1)带电粒子在磁场中运动的轨迹半径；
(2)带电粒子的比荷及粒子从a点运动到b点的时间；
(3)其他条件不变，要使该粒子恰从O点射出磁场，求粒子的入射速度大小．
答案　(1)2L　(2)　　(3)v
解析　(1)画出粒子运动的轨迹如图，由几何知识，Rcos 60°＋L＝R，

解得R＝2L.
(2)由洛伦兹力提供向心力，得
qBv＝
所以＝＝
粒子运动的周期T＝＝
粒子从a点运动到b点的时间t＝T＝
(3)要使该粒子恰从O点射出磁场，则R′＝
由qBv′＝可知v′＝v.
11.带电粒子的质量m＝1.7×10－27 kg，电荷量q＝＋1.6×10－19 C，以速度v＝3.2×106 m/s沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B＝0.17 T，磁场的宽度L＝10 cm，如图11所示．(g取10 m/s2，结果保留两位有效数字)

图11
(1)带电粒子离开磁场时的速度多大？
(2)带电粒子在磁场中运动多长时间？
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d为多大？
答案　(1)3.2×106 m/s　(2)3.3×10－8 s　(3)2.7×10－2 m
解析　粒子所受的洛伦兹力F洛＝qvB≈8.7×10－14 N，远大于粒子所受的重力G＝mg＝1.7×10－26 N，故重力可忽略不计．
(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度仍为3.2×106 m/s.
(2)由qvB＝m得，
轨道半径r＝＝ m＝0.2 m.
由题图可知偏转角θ满足：sin θ＝＝＝0.5，
所以θ＝30°＝，
带电粒子在磁场中运动的周期T＝，
所以带电粒子在磁场中运动的时间t＝·T＝T，
所以t＝＝ s≈3.3×10－8 s.
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离
d＝r(1－cos θ)＝0.2× m≈2.7×10－2 m.

12.如图12，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点沿垂直于x轴的方向射出．已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求：

图12
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间．
答案　(1)　(2)(＋)
解析　(1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v.由动能定理有

qU＝mv2①
粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力有
qvB＝m②
由几何关系知d＝r③
联立①②③式得＝④
(2)由几何关系知，带电粒子从射入磁场到运动至x轴经过的路程为
s＝＋rtan 30°⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为
t＝⑥
联立②④⑤⑥式得t＝(＋)．