2022年高中物理（新教材）新粤教版选择性必修第二册同步学案专题强化5 带电粒子在叠加场中的运动

　带电粒子在叠加场中的运动

[学习目标]　1.掌握带电粒子在叠加场中常见的两种运动情景.2.会分析其受力情况和运动情况，能正确选择物理规律解决问题．

处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路

1．弄清叠加场的组成．

2．进行受力分析，确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合．

3．画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律．

(1)由于洛伦兹力的大小与速度有关，带电粒子在含有磁场的叠加场中的直线运动一定为匀速直线运动，根据平衡条件列式求解．

(2)当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿运动定律分别列方程求解．

(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．

一、带电粒子在叠加场中的直线运动

(多选)地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场(未画出)和匀强磁场，已知磁场方向垂直纸面向里，一个带电油滴沿着一条与竖直方向成α角的直线MN运动，如图1所示，由此可以判断(　　)

图1

A．油滴一定做匀速运动

B．油滴可以做变速运动

C．如果油滴带正电，它是从N点运动到M点

D．如果油滴带正电，它是从M点运动到N点

答案　AD

解析　油滴做直线运动，受重力、电场力和洛伦兹力作用，因为重力和电场力均为恒力，根据油滴做直线运动条件可知，油滴所受洛伦兹力亦为恒力．根据f＝qvB可知，油滴必定做匀速直线运动，A正确，B错误；根据做匀速直线运动的条件可知油滴的受力情况如图所示，如果油滴带正电，由左手定则可知，油滴从M点运动到N点，C错误，D正确．

二、带电粒子在叠加场中的匀速圆周运动

如图2所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入由互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B构成的叠加场中(E和B已知)，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，重力加速度大小为g，则(　　)

图2

A．小球可能带正电

B．小球做匀速圆周运动的半径为r＝

C．小球做匀速圆周运动的周期为T＝

D．若电压U增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加

答案　B

解析　小球在叠加场中做匀速圆周运动，则小球受到的电场力和重力满足mg＝Eq，则小球带负电，A项错误；因为小球做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律和动能定理可得：qvB＝，Uq＝mv2，故小球做匀速圆周运动的半径r＝，B项正确；由T＝，可以得出T＝，与电压U无关，C、D项错误．

如图3所示，A、B间存在与竖直方向成45°斜向上的匀强电场E1，B、C间存在竖直向上的匀强电场E2，A、B的间距为1.25 m，B、C的间距为3 m，C为荧光屏．一质量m＝1.0×10－3 kg、电荷量q＝＋1.0×10－2 C的带电粒子由a点静止释放，恰好沿水平方向经过b点到达荧光屏上的O点．若在B、C间再加方向垂直纸面向外且大小为B＝0.1 T的匀强磁场，粒子经b点偏转到达荧光屏O′点(图中未画出)．取g＝10 m/s2.求：

图3

(1)E1的大小；

(2)加上磁场后，粒子打在屏上的位置距O点的距离；

(3)加上磁场后，粒子由b点到O′点电势能的变化量．

答案　(1) N/C　(2)1.0 m　(3)增加了1.0×10－2 J

解析　(1)粒子在A、B间做匀加速直线运动，竖直方向受力平衡，则有qE1cos 45°＝mg

解得E1＝ N/C.

(2)粒子从a到b的过程中，由动能定理得：

qE1dABsin 45°＝mvb2

解得vb＝5 m/s

加上磁场后，粒子在B、C间必做匀速圆周运动，如图所示，

由牛顿第二定律可得：qvbB＝m

解得R＝5 m

设粒子在B、C间运动的偏转距离为y，

由几何知识得R2＝dBC2＋(R－y)2

代入数据得y＝1.0 m(y＝9.0 m舍去)

(3)加上磁场前，粒子在B、C间必做匀速直线运动，

则有：qE2＝mg

加上磁场后，粒子在B、C间运动时电场力做的功有

W＝－qE2y＝－mgy＝－1.0×10－2 J

由功能关系知，粒子由b点到O′点电势能增加了1.0×10－2 J.

三、带电粒子在叠加场中的一般曲线运动

(多选)空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向(垂直纸面向里)的匀强磁场，如图4所示，已知一离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C为运动的最低点．不计重力，则(　　)

图4

A．该离子带负电

B．A、B两点位于同一高度

C．到达C点时离子速度最大

D．离子到达B点后，将沿原曲线返回A点

答案　BC

解析　离子开始受到电场力作用由静止开始向下运动，可知离子受到的电场力方向向下，则该离子带正电，A错误；洛伦兹力不做功，从A到B，动能变化为零，根据动能定理知，电场力做功为零，A、B两点等电势，因为该电场是匀强电场，所以A、B两点位于同一高度，B正确；根据动能定理知，离子到达C点时电场力做功最多，则速度最大，C正确；离子在B点的状态与A点的状态(速度为零，电势能相等)相同，如果右侧仍有同样的电场和磁场的叠加区域，离子将在B点的右侧重复前面的曲线运动，不可能沿原曲线返回A点，D错误．

1．(带电粒子在叠加场中的直线运动)如图5所示，竖直平面内存在水平方向的匀强电场，电场强度为E，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，纸面内放置一光滑的绝缘细杆，与水平方向成θ＝45°角．质量为m、带电荷量为q的金属小环套在细杆上，以初速度v0沿着细杆向下运动，小环离开细杆后，恰好做直线运动，重力加速度为g，则以下说法正确的是(　　)

图5

A．小球可能带负电

B．电场方向可能水平向右

C．小球的初速度v0＝

D．小球离开细杆时的速度v＝

答案　C

2．(带电粒子在叠加场中的圆周运动)如图6所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴．一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场区域，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴正方向的夹角为θ.不计空气阻力，重力加速度为g，求：

图6

(1)电场强度E的大小和方向；

(2)小球从A点抛出时初速度v0的大小；

(3)A点到x轴的高度h.

答案　(1)　竖直向上　(2)　(3)

解析　(1)小球在电场、磁场区域中恰能做匀速圆周运动，其所受电场力与重力平衡，有qE＝mg①

则E＝②

重力的方向竖直向下，电场力的方向应为竖直向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直向上．

(2)小球在叠加场中做匀速圆周运动，如图所示，O′为圆心，MN为弦长，∠MO′P＝θ，设轨道半径为r，由几何关系知＝sin θ③

小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，设小球做圆周运动的速度为v，有qvB＝④

由速度的合成与分解知＝cos θ⑤

由③④⑤式得v0＝.⑥

(3)设小球到M点时的竖直分速度为vy，它与水平分速度的关系为vy＝v0tan θ⑦

由匀变速直线运动规律有vy2＝2gh⑧

由⑥⑦⑧式得h＝.

3．(带电粒子在叠加场中的一般曲线运动)(多选)如图7所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场(图中未画出)．一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线所示．关于带电小球的运动，下列说法中正确的是(　　)

图7

A．OAB轨迹为半圆

B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向

C．小球在整个运动过程中机械能守恒

D．小球在最低点A时受到的洛伦兹力与重力大小相等

答案　BC

解析　因为重力改变速度的大小，而洛伦兹力仅改变速度的方向，又洛伦兹力大小随速度大小的变化而变化，故小球运动的轨迹不可能是圆，故A错误；整个过程中由于洛伦兹力不做功，即只有重力做功，故小球机械能守恒，故C正确；因为只有重力做功，据动能定理，小球在最低点时重力做功最多，mgh＝mv2－0，得v＝，最低点处h最大故速度最大，小球做曲线运动的速度方向为该点的切线方向，该点的切线方向在水平方向，故B正确；若小球在最低点A处时所受洛伦兹力与重力大小相等，根据平衡条件可知小球将水平向右做匀速直线运动，不可能沿轨迹AB运动，故D错误．

1.(多选)如图1所示，实线表示在竖直平面内的电场线，电场线与水平方向成α角，水平方向的匀强磁场与电场正交，有一带电液滴沿斜向上的虚线L做直线运动，L与水平方向成β角，且α>β，则下列说法中正确的是(　　)

图1

A．液滴一定做匀速直线运动

B．液滴一定带正电

C．电场线方向一定斜向上

D．液滴有可能做匀变速直线运动

答案　ABC

解析　液滴受重力、电场力、洛伦兹力的共同作用而做匀速直线运动，合力为零，可判断出洛伦兹力与电场力的方向，判断出液滴只有带正电才可能所受合力为零而做匀速直线运动，此时电场线方向必斜向上，故A、B、C正确，D错误．

2.(多选)如图2所示，a、b是一对平行金属板，分别接到直流电源两极上，右边有一挡板，正中间开有一小孔d，在较大空间范围内存在着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，在a、b两板间还存在着匀强电场E.从两板左侧中点c处射入一束正离子(不计重力)，这些正离子都沿直线运动到右侧，从d孔射出后分成三束．则下列判断正确的是(　　)

图2

A．这三束正离子的速度一定不相同

B．这三束正离子的比荷一定不相同

C．a、b两板间的匀强电场方向一定由a指向b

D．若这三束离子改为带负电而其他条件不变则仍能从d孔射出

答案　BCD

3.如图3所示，空间中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，有一带电液滴在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，已知电场强度为E，磁感应强度为B，重力加速度为g，则液滴环绕速度大小及方向分别为(　　)

图3

A.，顺时针   B.，逆时针

C.，顺时针   D.，逆时针

答案　C

解析　液滴在叠加场中做匀速圆周运动，知重力和电场力平衡，则液滴受到向上的电场力，可知液滴带负电，根据左手定则可知液滴做顺时针的匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m

又因为重力和电场力平衡，则有qE＝mg

解得v＝

故A、B、D错误，C正确．

4.如图4所示，空间中的匀强电场水平向右，匀强磁场垂直纸面向里，一带电微粒沿着直线从M运动到N，以下说法正确的是(　　)

图4

A．带电微粒可能带负电

B．运动过程中带电微粒的动能保持不变

C．运动过程中带电微粒的电势能增加

D．运动过程中带电微粒的机械能守恒

答案　B

解析　根据做直线运动的条件和受力情况可知，微粒一定带正电，且做匀速直线运动，因此动能保持不变，A错误，B正确；由于电场力向右，对微粒做正功，电势能减小，C错误；洛伦兹力不做功，由能量守恒可知，电势能减小，机械能一定增加，D错误．

5.如图5所示，在水平地面附近有一个范围足够大的相互正交的匀强电场和匀强磁场．匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向水平并垂直纸面向外，一质量为m、带电荷量为－q(q>0)的带电微粒在此区域恰好做速度大小为v的匀速圆周运动．(重力加速度大小为g)

图5

(1)求此区域内电场强度的大小和方向；

(2)若某时刻微粒运动到距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°角，如图所示，则该微粒至少需要经过多长时间才能运动到距地面最高点？最高点距地面多高？

答案　(1)　方向竖直向下

(2)　H＋

解析　(1)要满足带负电微粒做匀速圆周运动，则：

qE＝mg，得E＝，方向竖直向下．

(2)微粒的部分运动轨迹如图所示，

当微粒第一次运动到最高点时，α＝135°，

则t＝T＝T＝

由qvB＝得R＝

则T＝＝

所以：t＝，

最高点距地面的高度为：

H1＝R＋Rsin 45°＋H＝H＋.

6.如图6所示的虚线区域内，充满垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带电微粒A以一定初速度由左边界的O点射入磁场、电场区域，恰好沿水平直线从区域右边界O′点穿出，射出时速度大小为vA，若仅撤去磁场，其他条件不变，另一个相同的微粒B仍以相同的速度由O点射入并从区域右边界穿出，射出时速度的大小为vB，则微粒B(　　)

图6

A．穿出位置一定在O′点上方，vB<vA

B．穿出位置一定在O′点上方，vB>vA

C．穿出位置一定在O′点下方，vB<vA

D．穿出位置一定在O′点下方，vB>vA

答案　D

解析　设带电微粒从O点射入时的速度为v0，若带电微粒A带负电，其电场力、重力、洛伦兹力均向下，与运动方向垂直，不可能做直线运动，故微粒A一定带正电，且满足mg＝Eq＋Bqv0，做匀速直线运动，故vA＝v0.若仅撤去磁场，由于mg>Eq，带电微粒B向下偏转，穿出位置一定在O′点下方，合力对其做正功，vB>vA，故D正确．

7.如图7，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里．三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc.已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是(　　)

图7

A．ma>mb>mc   B．mb>ma>mc

C．mc>ma>mb   D．mc>mb>ma

答案　B

解析　设三个微粒的电荷量均为q，

a在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，则

mag＝qE①

b在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则

mbg＝qE＋qvB②

c在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则

mcg＋qvB＝qE③

比较①②③式得：mb>ma>mc，选项B正确．

8.如图8所示，空间存在竖直向上的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直纸面向里)．一带正电的小球从O点由静止释放后，运动轨迹如图中曲线OPQ所示，其中P为运动轨迹中的最高点，Q为与O同一水平高度的点．下列关于该带电小球运动的描述，正确的是(　　)

图8

A．小球在运动过程中受到的磁场力先增大后减小

B．小球在运动过程中电势能先增加后减少

C．小球在运动过程中机械能守恒

D．小球到Q点后将沿着曲线QPO回到O点

答案　A

解析　小球由静止开始向上运动，可知电场力大于重力，在运动的过程中，洛伦兹力不做功，电场力和重力的合力先做正功后做负功，根据动能定理知，小球的速度先增大后减小，则小球受到的磁场力先增大后减小，故A正确；小球在运动的过程中，电场力先做正功后做负功，则电势能先减少后增加，故B错误；小球在运动的过程中，除重力做功以外，电场力也做功，机械能不守恒，故C错误；小球到Q点后，将重复之前的运动，不会沿着曲线QPO回到O点，故D错误．

9.如图9所示，质量为m、带电荷量为＋q的液滴，以速度v沿与水平方向成45°角斜向上进入正交的足够大匀强电场和匀强磁场叠加区域，电场强度方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，液滴在场区做直线运动，重力加速度为g，求：

图9

(1)电场强度E和磁感应强度B各多大；

(2)当液滴运动到某一点A时，电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，不考虑因电场变化而产生的磁场的影响，此时液滴加速度的大小；

(3)在满足(2)的前提下，液滴从A点到达与A点同一水平线上的C点(图中未画出)所用的时间．

答案　(1)　　(2)g　(3)

解析　(1)液滴带正电，受力分析如图所示：

根据平衡条件有：qE＝mgtan θ＝mg

qvB＝＝mg

故E＝，B＝

(2)电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，故电场力与重力平衡，洛伦兹力提供向心力，液滴做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：a＝＝g

(3)电场变为竖直向上后，qE＝mg，故液滴做匀速圆周运动，由Bqv＝及T＝可得T＝

又t＝T

可得t＝.

10．如图10甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点，Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v和重力加速度g为已知量．求：

图10

(1)微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；

(2)微粒做圆周运动的半径；

(3)电场变化的周期T.

答案　(1)　　(2)　(3)＋

解析　(1)微粒从N1沿直线运动到Q点的过程中受力平衡，则mg＋qE0＝qvB

到Q点后微粒做圆周运动，则mg＝qE0

联立以上两式解得：q＝，B＝

(2)微粒做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，

解得：r＝＝

(3)设微粒从N1运动到Q的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，则＝vt1

2πr＝vt2

解得：t1＝，t2＝

电场变化的周期T＝t1＋t2＝＋.