安徽省马鞍山市2020届高三第一次教学质量检测数学（理）试卷

这是一份安徽省马鞍山市2020届高三第一次教学质量检测数学（理）试卷，共12页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知非零向量，满足，，关于函数有下述四个结论等内容，欢迎下载使用。
数学试题本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则 A． B． C． D．2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数与它的导函数的定义域均为，则下列命题中，正确的是 A．若是的极值点，则 B．若是偶函数，则一定是偶函数 C．若，则 D．若的图象在区间连续不断，则在上一定有最大值4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有 A．10种 B．40种  C．80种 D．240种5．已知非零向量，满足，则与的夹角为 A． B．  C． D．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A．4      B．5 C．6  D．77．关于函数有下述四个结论：①在区间上是减函数；  ②的图象关于直线对称；③的图象关于点对称；  ④ 在区间上的值域为．其中所有正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．48．已知外接圆面积为，，则周长的最大值为 A． B． C．3 D．9．已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上且位于轴上方，点，若直线平分线段，则的大小为 A． B． C． D．无法确定10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是 A．该三棱柱的侧视图一定为矩形 B．该三棱柱的侧视图可能为菱形 C．该三棱柱的表面积一定为 D．该三棱柱的体积一定为11．设，若和被除得的余数相同，则称和模同余，记为，已知，则的值可能是 A． B． C． D．12．梯形中，，，，，现将沿折起，使得二面角的大小为，若四点在同一个球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若变量满足约束条件，则的最大值为　      ．14．百鸟蛋，又称九巧板，是类似于七巧板的益智拼图．相传是纪念哥伦布所制作的蛋形拼图，故又有哥伦布蛋形拼图一称．如图，九巧板由2个不规则四边形、2个大三角形、1个小三角形、2个不规则三角形和两个小扇形组成．在拼图时必须使用所有组件，角与边可相连接，但组件不能重叠．九巧板能拼摆出一百多种飞禽图形，可说是变化无穷、极富趣味，因此也被称为“百鸟朝凤”拼板．已知拼图中两个大三角形（图中阴影部分）为直角边长为2的等腰直角三角形，现用随机模拟的方法来估算此九巧板的总面积，随机在九巧板内选取100个点，发现有34个点落在两个大三角形内，则此九巧板的总面积约为　     ． 15．已知函数，（为自然对数的底数），若函数有且只有三个零点，则实数的值为　     ．16．已知双曲线的离心率为，过的左焦点作直线，直线与双曲线分别交于点，与的两渐近线分别交于点，若，则　     ． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。（一）必考题：共60分。17．（12分）已知数列、、中，，，，．（1）求证：数列是等比数列，并求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和．    18．（12分）如图，多面体中，面面，面面，面，，，．（1）求的大小；（2）若，求二面角的余弦值．   19．（12分）已知为抛物线的焦点，以为圆心作半径为的圆，圆与轴的负半轴交于点，与抛物线分别交于点．（1）若为直角三角形，求半径的值；（2）判断直线与抛物线的位置关系，并给出证明． 20．（12分）随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入到健身运动中．国家统计局数据显示，2019年有4亿国人经常参加体育锻炼．某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2019年在该健身房所有消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表及统计图：平均每周健身天数不大于23或4不少于5人数（男）20359人数（女）10206若某人平均每周进行健身天数不少于5，则称其为“健身达人”．该健身房规定消费金额不多于1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员．（1）已知金牌会员都是健身达人，现从健身达人中随机抽取2人，求他们均是金牌会员的概率；（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系？（3）该健身机构在2019年年底针对这100位消费者举办一次消费返利活动，现有以下两种方案：方案一：按分层抽样从普通会员、银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别给予188元，288元，888元的幸运奖励；方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元奖励，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元奖励，其他情况不给予奖励．规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）．请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由．附：，其中为样本容量．0.500.250.100.050.0100.0050.4551.3232.7063.8416.6367.879 21．（12分）已知函数（）．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数存在两个极值点，，求证：．  （二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4 坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线与轴交点记为，与曲线交于，两点，求． 23．[选修4-5 不等式选讲]（10分）已知为实数，且满足.证明：（1）；（2）.              理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案BCAACDCABDDC二、填空题13．   14．   15．或   16．三、解答题（一）必考题：共60分。17．【解】（1），，，即，是首项为2，公比2的等比数列． （3分）， （4分）0． （6分）（2）由（1）得，（7分），，两式相减，得，（10分）． （12分）18．【解析】（1）分别取的中点，连接，因为，，所以，，因为面面，面面，所以面，面，所以，因为面，面面，所以，于是是矩形，     （4分），又，所以为等腰直角三角形，．     （6分）（2）因为，所以， 于是，， （7分）过作面，以为坐标原点分别为正半轴，建立空间直角坐标系，则， （8分）设面的法向量，则，令得， （9分）设面的法向量，则，令得， （10分）所以，二面角的余弦值为． （12分）19．【解析】（1）由抛物线及圆的对称性可知，故，（2分）于是经过焦点且与轴垂直，抛物线方程中，令得半径．         （5分）（2）设，由抛物线定义，，又，所以的坐标为，直线的方程为，        （9分）与抛物线联立得，结合，化简得，，所以直线与抛物线相切于点．       （12分）20．【解析】（1）；  （3分）（2），故不能在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系；                                                                                                                （7分）（3）方案一：共支出 元，方案二：设一次摸奖所获得的的奖励额为，则的所有可能取值为0,100,200，且，，，故一次摸奖获得的奖励额的期望值为，故方案二的总支出为元，故而第二种方案支出较少．           （12分） 21．【解】（1）定义域为．，（1分）当即时，，所以函数在上单调递减；                （2分）当即时，由，得，或，因为，所以，从而的解为，或，                       （3分）且可得时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减．                           （5分）综上：时，函数在和单调递减，在单调递增；时，在上单调递减．   （6分）（2）由（1）的解答可知，，且，．         （8分）所以．                                                    （9分）所以要证，即证．不妨设，则，所以；又由（1）知，，所以，（10分）令（），则，所以在单调递增，所以，即．所以，成立，从而．    （12分）第（2）小题简证：一方面，由（1）知，函数在单调递增，从而；另一方面，，显然． （12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，                   （3分）           直线的直角坐标方程为．                 （5分）（2）由（1）知，的坐标为，是抛物线的焦点，以为极点，轴的正方向为极轴方向重新建立极坐标系，在此极坐标系中，直线的方程为或（其中为直线的倾斜角，满足），不妨设，，抛物线的方程为，将代入得，将代入得，所以和是方程的两根，由韦达定理得，，                                      （8分）所以．                      （10分）（2）另证:由（1）知，的坐标为，是抛物线的焦点，不妨设由     由韦达定理:                        （8分）                   (10分)23．【解析】（1）由已知可得：            （5分）（2）根据柯西不等式可得：            （10分）注：其他正确的方法不扣分．