3分类讨论思想（含解析版）练习题

这是一份3分类讨论思想（含解析版）练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题训练（三）一、选择题1．若x>0且x≠1，则函数y＝lgx＋logx10的值域为(　　)A．R　　　　　　　　　　 B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]   D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)2．T为常数，定义fT(x)＝，若f(x)＝x－ln x，则f3[f2(e)]的值为(　　)A．e－1   B．eC．3   D．e＋13．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的个数是(　　)①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a∥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β.A．3   B．2C．1   D．04.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为(　　)A.   B．4C.   D．4或5．函数f(x)的图像如图所示，f(x)为奇函数，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为(　　)A．(－3，0)∪(0，3) B．(－∞，－3)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3，0)∪(3，＋∞)6．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设g(x)＝(a>0且a≠1)，那么函数f(x)＝[g(x)－]＋[g(－x)－]的值域为(　　)A．{－1，0，1}   B．{0，1}C．{1，－1}   D．{－1，0}8．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)A．5　　　   B．4C．6   D．89．从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是(　　)A．590   B．570C．360   D．21010．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为(　　)A．2或   B．2或C.   D．211．如图，M，N是焦点为F的抛物线y2＝4x上的两个不同的点，且线段MN的中点A的横坐标为3，直线MN与x轴交于B点，则点B的横坐标的取值范围是(　　)A．(－3，3]   B．(－∞，3]C．(－6，－3)   D．(－6，－3)∪(－3，3]12．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)A．14   B．13C．12   D．1013．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝(　　)A．－30   B．－60C．90   D．12014．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)A．b＝a3 B．b＝a3＋C．(b－a3)(b－a3－)＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0二、填空题15．已知在(－1，1)上函数f(x)＝且f(x)＝－，则x的值为________．16．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．17．参加在杭州举办的G20峰会的6个国家元首从左至右排成一排合影留念，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．18．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)|cosx|的最大值为________．19．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________．20．已知函数f(x)＝(e2x＋1＋1)(ax＋3a－1)，若存在x∈(0，＋∞)，使得不等式f(x)－1<0成立，则实数a的取值范围为________．1．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．2．某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上有6个座位，第1排1个，第2排3个，第3排2个，其中甲、乙两人关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有________种．      专题训练一、选择题1．若x>0且x≠1，则函数y＝lgx＋logx10的值域为(　　)A．R　　　　　　　　　　 B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]   D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【答案】　D【解析】　当x>1时，y＝lgx＋logx10＝lgx＋≥2＝2；当0<x<1时，y＝lgx＋logx10＝－[(－lgx)＋(－)]≤－2＝－2.所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．2．T为常数，定义fT(x)＝，若f(x)＝x－ln x，则f3[f2(e)]的值为(　　)A．e－1   B．eC．3   D．e＋1【答案】　C【解析】　由题意得，f(e)＝e－1<2，∴f2(e)＝2，又f(2)＝2－ln2<3，∴f3[f2(e)]＝3，故选C.3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的个数是(　　)①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a∥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β.A．3   B．2C．1   D．0【答案】　D【解析】　 序号正误原因①×可能有b⊂α的情况②×可能有a⊂β或a∥β两种情况③×可能有a⊂α的情况④×由于a，b为平行直线，则α，β的位置关系不确定4.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为(　　)A.   B．4C.   D．4或【答案】　D【解析】　分侧面展开图矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况，易知D正确．5．函数f(x)的图像如图所示，f(x)为奇函数，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为(　　)A．(－3，0)∪(0，3) B．(－∞，－3)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3，0)∪(3，＋∞)【答案】　A【解析】　由x[f(x)－f(－x)]<0，得2xf(x)<0.当x<0时，则f(x)>0，由图像知－3<x<0；当x>0时，则f(x)<0，由图像知0<x<3.6．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】　C【解析】　当a＝0时，f(x)＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)＝(－ax＋1)x＝－a(x－)x，结合二次函数的图像可知f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)＝|(ax－1)x|的大致图像如图．函数f(x)在区间(0，＋∞)上有增有减，从而a≤0是函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.7．设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设g(x)＝(a>0且a≠1)，那么函数f(x)＝[g(x)－]＋[g(－x)－]的值域为(　　)A．{－1，0，1}   B．{0，1}C．{1，－1}   D．{－1，0}【答案】　D【解析】　∵g(x)＝，∴g(－x)＝，∴0<g(x)<1，0<g(－x)<1，g(x)＋g(－x)＝1.当<g(x)<1时，0<g(－x)<，∴f(x)＝－1；当0<g(x)<时，<g(－x)<1，∴f(x)＝－1；当g(x)＝时，g(－x)＝，∴f(x)＝0.综上，f(x)的值域为{－1，0}，故选D.8．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)A．5　　　   B．4C．6   D．8【答案】　D【解析】　分类考虑，当公比为2时，等比数列可为：1，2，4；2，4，8，当公比为3时，可为：1，3，9，当公比为时，可为4，6，9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因此，共有4×2＝8个．9．从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是(　　)A．590   B．570C．360   D．210【答案】　A【解析】　设语文老师人数为x，数学老师人数为y，英语老师人数为z，则符合条件的各科人数有以下几种情况：(1，1，3)，(1，3，1)，(3，1，1)，(1，2，2)，(2，1，2)，(2，2，1)，所以语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数为C31C41C53＋C31C43C51＋C33C41C51＋C31C42C52＋C32C41C52＋C32C42C51＝120＋60＋20＋180＋120＋90＝590，故选A.10．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为(　　)A．2或   B．2或C.   D．2【答案】　B【解析】　①当双曲线的焦点在x轴上时，由题意知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝tan＝，所以b＝a，c＝＝2a，故双曲线C的离心率e＝＝＝2；②当双曲线的焦点在y轴上时，由题意知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝tan＝，所以a＝b，c＝＝2b，故双曲线C的离心率e＝＝＝.综上所述，双曲线C的离心率为2或.11．如图，M，N是焦点为F的抛物线y2＝4x上的两个不同的点，且线段MN的中点A的横坐标为3，直线MN与x轴交于B点，则点B的横坐标的取值范围是(　　)A．(－3，3]   B．(－∞，3]C．(－6，－3)   D．(－6，－3)∪(－3，3]【答案】　A【解析】　①若直线MN的斜率不存在，则点B的坐标为(3，0)．②若直线MN的斜率存在，设A(3，t)(t≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由得y12－y22＝4(x1－x2)，∴(y1＋y2)＝4，即kMN＝，∴直线MN的方程为y－t＝(x－3)，∴点B的横坐标xB＝3－，由消去x，得y2－2ty＋2t2－12＝0，由Δ>0得t2<12，又t≠0，∴xB＝3－∈(－3，3)．综上，点B的横坐标的取值范围为(－3，3]．12．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)A．14   B．13C．12   D．10【答案】　B【解析】　方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，分析讨论．①当a＝0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时b可以取4个值．故有4个有序数对；②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)．∵(a，b)共有4×4＝16个实数对，故【答案】应为16－3＝13.13．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝(　　)A．－30   B．－60C．90   D．120【答案】　D【解析】　由题意可知，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝8×15＝120.14．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)A．b＝a3 B．b＝a3＋C．(b－a3)(b－a3－)＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0【答案】　C【解析】　根据直角三角形的直角的位置求解．若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若∠A＝，则b＝a3≠0.若∠B＝，根据斜率关系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．二、填空题15．已知在(－1，1)上函数f(x)＝且f(x)＝－，则x的值为________．【答案】　－【解析】　当－1<x≤0时，f(x)＝sin＝－，解得x＝－；当0<x<1时，f(x)＝log2(x＋1)∈(0，1)，此时f(x)＝－无解，故x的值为－.16．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．【答案】　[0，1)【解析】　由题意知，mx2－6mx＋m＋8≠0对一切实数x都成立，即mx2－6mx＋m＋8＝0在实数集上无解．当m＝0时，定义域为R，满足题意；当m≠0时，由Δ＝(－6m)2－4m(m＋8)<0，解得0<m<1.综上，实数m的取值范围是[0，1)．17．参加在杭州举办的G20峰会的6个国家元首从左至右排成一排合影留念，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．【答案】　216【解析】　分两类：第一类，甲在最左端，共有A55＝5×4×3×2×1＝120种排法；第二类，乙在最左端，甲不在最右端，共有4A44＝4×4×3×2×1＝96种排法．所以一共有120＋96＝216种排法．18．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)|cosx|的最大值为________．【答案】　【解析】　当cosx≥0时，f(x)＝3sinxcosx－4cos2x＝sin2x－2cos2x－2，∴f(x)max＝－2＝；当cosx<0时，f(x)＝－3sinxcosx＋4cos2x＝－sin2x＋2cos2x＋2，∴f(x)max＝＋2＝>.19．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________．【答案】　－7【解析】　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得联立①②得或当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.20．已知函数f(x)＝(e2x＋1＋1)(ax＋3a－1)，若存在x∈(0，＋∞)，使得不等式f(x)－1<0成立，则实数a的取值范围为________．【答案】　(－∞，)【解析】　由f(x)－1<0⇒(e2x＋1＋1)(ax＋3a－1)<1⇒ax＋3a－1<.①若a≤0，当x∈(0，＋∞)时，ax＋3a－1<0，而e2x＋1＋1>0，此时结论成立．②若a>0，设h(x)＝，则h′(x)＝<0，所以h(x)在(0，＋∞)上是减函数，则0<h(x)<，由于y＝ax＋3a－1与y轴的交点为(0，3a－1)，则如果存在x∈(0，＋∞)，使得不等式(e2x＋1＋1)(ax＋3a－1)<1成立，则⇒0<a<.由①②得实数a的取值范围为(－∞，)．1．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．【答案】　96【解析】　若1，3不同色，则1，2，3，4必不同色，有3A44＝72种涂色法；若1，3同色，有C41C31A22＝24种涂色法．根据分类计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．2．某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上有6个座位，第1排1个，第2排3个，第3排2个，其中甲、乙两人关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有________种．【答案】　144【解析】　由题意可知满足条件的不同安排方法分两种：一类是甲、乙并排坐在第二排，有C21A22A44＝96种；一类是甲、乙并排坐在第三排，有A22A44＝48种，故共有144种．