4转化与化归思想（含解析版）练习题

这是一份4转化与化归思想（含解析版）练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题训练一、选择题1．三角函数f(x)＝sin(－2x)＋cos2x的振幅和最小正周期分别是(　　)A.，　　　　　　　　 B.，πC.，   D.，π2．已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率e为(　　)A.   B.C.   D．33．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)A．[0，2]   B．[－2，0]C．[－2，＋∞)   D．(－∞，－2]4．已知＝(cosθ1，2sinθ1)，＝(cosθ2，2sinθ2)，若＝(cosθ1，sinθ1)，＝(cosθ2，sinθ2)，且满足·＝0，则S△OAB等于(　　)A.   B．1C．2   D．45．若不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)A．(－4，2)   B．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)   D．(－2，0)6．已知平面向量a，b，c满足a·b＝1，a·c＝2，b·c＝1，则|a＋b＋c|的取值范围为(　　)A．[0，＋∞)   B．[2，＋∞)C．[2，＋∞)   D．[4，＋∞)7．将函数y＝sin(2x－)图像上的点P(，t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图像上，则(　　)A．t＝，s的最小值为   B．t＝，s的最小值为C．t＝，s的最小值为   D．t＝，s的最小值为8．某重点中学在一次高三诊断考试中，要安排8位老师监考某一考场的语文、数学、英语、理综考试，每堂两位老师且每位老师仅监考一堂，其中甲、乙两位老师不监考同一堂的概率是(　　)A.   B.C.   D.9．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　)A．16   B．25C．36   D．4910．若α、β∈[－，]，且αsinα－βsinβ>0，则下面结论正确的是(　　)A．α>β   B．α＋β>0C．α<β   D．α2>β211．已知函数f(x)＝log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f(x0)≤2成立的概率是(　　)A.   B.C.   D.12．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为(　　)A.   B.C.   D.13．已知函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，若在区间(－1，1]上方程f(x)－mx－m＝0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是(　　)A．[0，)   B．[，＋∞)C．[0，)   D．(0，]14．已知函数f(x)＝，关于x的不等式f2(x)＋af(x)>0只有2个整数解，则实数a的取值范围是(　　)A．(，ln2]   B．(－ln2，ln6)C．(－ln2，－ln6]   D．(ln6，ln2)二、填空题15．(x2＋)dx＝________．16．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________．17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．18．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是________．19．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)>0，则不等式xf(x)<0的解集是________．20．已知抛物线y＝x2－1上有一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，若BP⊥PQ，则点Q横坐标的取值范围是________． 专题训练一、选择题1．三角函数f(x)＝sin(－2x)＋cos2x的振幅和最小正周期分别是(　　)A.，　　　　　　　　 B.，πC.，   D.，π【答案】　B【解析】　f(x)＝cos2x－sin2x＋cos2x＝cos2x－sin2x＝(coscos2x－sinsin2x)＝cos(2x＋)．振幅为，最小正周期为＝π.2．已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率e为(　　)A.   B.C.   D．3【答案】　C【解析】　根据双曲线对称性取一条渐近线bx＋ay＝0，焦点F坐标为(c，0)，则F到该渐近线的距离为＝c，化简得b2＝c2，又b2＝c2－a2，则9(c2－a2)＝2c2，＝，e＝.3．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)A．[0，2]   B．[－2，0]C．[－2，＋∞)   D．(－∞，－2]【答案】　D【解析】　利用基本不等式转化为关于x＋y的不等式，求解不等式即可．∵2x＋2y≥2，2x＋2y＝1，∴2≤1.∴2x＋y≤＝2－2，∴x＋y≤－2.即(x＋y)∈(－∞，－2]．4．已知＝(cosθ1，2sinθ1)，＝(cosθ2，2sinθ2)，若＝(cosθ1，sinθ1)，＝(cosθ2，sinθ2)，且满足·＝0，则S△OAB等于(　　)A.   B．1C．2   D．4【答案】　B【解析】　由条件·＝0，可得cos(θ1－θ2)＝0，利用特殊值，如设θ1＝，θ2＝0代入，则A(0，2)，B(1，0)，故面积为1.5．若不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)A．(－4，2)   B．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)   D．(－2，0)【答案】　A【解析】　不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于不等式x2＋2x<(＋)min.因为对任意a，b∈(0，＋∞)，＋≥2＝8(当且仅当＝，即a＝4b时取等号)，所以x2＋2x<8，解得－4<x<2，故选A.6．已知平面向量a，b，c满足a·b＝1，a·c＝2，b·c＝1，则|a＋b＋c|的取值范围为(　　)A．[0，＋∞)   B．[2，＋∞)C．[2，＋∞)   D．[4，＋∞)【答案】　D【解析】　建立平面直角坐标系，设a＝(1，0)，由于a·b＝1，a·c＝2，可设b＝(1，m)，c＝(2，n)，而b·c＝1，则有2＋mn＝1，即mn＝－1，由于|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝|b|2＋|c|2＋9＝1＋m2＋4＋n2＋9＝m2＋n2＋14≥－2mn＋14＝16，故|a＋b＋c|≥4.7．将函数y＝sin(2x－)图像上的点P(，t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图像上，则(　　)A．t＝，s的最小值为   B．t＝，s的最小值为C．t＝，s的最小值为   D．t＝，s的最小值为【答案】　A【解析】　因为点P(，t)在函数y＝sin(2x－)的图像上，所以t＝sin(2×－)＝sin＝.又P′(－s，)在函数y＝sin2x的图像上，所以＝sin2(－s)，则2(－s)＝2kπ＋或2(－s)＝2kπ＋，k∈Z，得s＝－kπ＋或s＝－kπ－，k∈Z.又s>0，故s的最小值为.故选A.8．某重点中学在一次高三诊断考试中，要安排8位老师监考某一考场的语文、数学、英语、理综考试，每堂两位老师且每位老师仅监考一堂，其中甲、乙两位老师不监考同一堂的概率是(　　)A.   B.C.   D.【答案】　B【解析】　利用间接法：安排8位老师监考某一考场的方法共有C82C62C42C22种，而安排甲、乙两位老师监考同一堂的方法有C41C62C42C22，所以甲、乙两位老师不监考同一堂的概率P＝1－＝.9．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　)A．16   B．25C．36   D．49【答案】　A【解析】　因为a，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)(＋)＝20＋4(＋)≥20＋4×2＝36，当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号．所以＋≥36－20＝16.10．若α、β∈[－，]，且αsinα－βsinβ>0，则下面结论正确的是(　　)A．α>β   B．α＋β>0C．α<β   D．α2>β2【答案】　D【解析】　令f(x)＝xsinx，∵x∈[－，]，f(x)为偶函数，且当x∈[0，]时，f′(x)≥0，∴f(x)在[0，]上为增函数，在[－，0]上为减函数．∴αsinα－βsinβ>0⇔f(|α|)>f(|β|)⇒|α|>|β|⇒α2>β2.11．已知函数f(x)＝log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f(x0)≤2成立的概率是(　　)A.   B.C.   D.【答案】　C【解析】　1≤f(x0)≤2⇒1≤log2x0≤2⇒2≤x0≤4，∴所求概率为＝.12．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为(　　)A.   B.C.   D.【答案】　C【解析】　所得图形是一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为a，高为正方体边长的一半，∴V＝2×(a)2·＝.13．已知函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，若在区间(－1，1]上方程f(x)－mx－m＝0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是(　　)A．[0，)   B．[，＋∞)C．[0，)   D．(0，]【答案】　D【解析】　方程f(x)－mx－m＝0有两个不同的实根等价于方程f(x)＝m(x＋1)有两个不同的实根，等价于直线y＝m(x＋1)与函数f(x)的图像有两个不同的交点．因为当x∈(－1，0)时，x＋1∈(0，1)，所以f(x)＝－1，所以f(x)＝在同一平面直角坐标系内作出直线y＝m(x＋1)与函数f(x)，x∈(－1，1]的图像，由图像可知，当直线y＝m(x＋1)与函数f(x)的图像在区间(－1，1]上有两个不同的公共点时，实数m的取值范围为(0，]．14．已知函数f(x)＝，关于x的不等式f2(x)＋af(x)>0只有2个整数解，则实数a的取值范围是(　　)A．(，ln2]   B．(－ln2，ln6)C．(－ln2，－ln6]   D．(ln6，ln2)【答案】　C【解析】　f′(x)＝＝(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝，则f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f()＝，又f()＝0，1<<2，不等式f2(x)＋af(x)>0只有2个整数解，∴解得－ln2<a≤－ln6，∴实数a的取值范围为(－ln2，－ln6]．二、填空题15．(x2＋)dx＝________．【答案】　＋【解析】x2dx＝x3－1＝，而根据定积分的定义可知dx表示圆心在原点的单位圆的上半部分的面积，即半圆的面积(x2＋)dx＝＋.16．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________．【答案】　【解析】　由题意得，劣弧所对圆心角最小，则劣弧对应的弦长最短，此时圆心到直线l的距离最大，所以当圆心(2，0)与点(1，)的连线与直线l垂直时，弦长最短．此时直线l的斜率k＝.17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．【答案】　(－13，13)【解析】　由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0，0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵d＝＝，∴0≤|c|<13，即c∈(－13，13)．18．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是________．【答案】　[1，19)【解析】　函数图像恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a2＋4a－5≠0时，应有解得1<a<19.综上可得，a的取值范围是1≤a<19.19．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)>0，则不等式xf(x)<0的解集是________．【答案】　(－∞，－2)∪(0，2)【解析】　显然x≠0，故不等式xf(x)<0与不等式<0同解．记g(x)＝，可知g(x)是奇函数，且当x>0时，g′(x)＝>0，此时g(x)为增函数，又g(2)＝＝0，所以不等式g(x)＝<0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)，即不等式xf(x)<0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)．20．已知抛物线y＝x2－1上有一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，若BP⊥PQ，则点Q横坐标的取值范围是________．【答案】　(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】　设P(xP，xP2－1)，Q(xQ，xQ2－1)，由kBP·kPQ＝－1，得·＝－1.所以xQ＝－xP－＝－(xP－1)－－1.因为|xP－1|＋≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3.