8推理、计数原理、二项式定理（含解析版）练习题

这是一份8推理、计数原理、二项式定理（含解析版）练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
小题专练一、选择题1．若(9x－)n(n∈N*)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为(　　)A．84　　　　　　　　　 B．－252C．252   D．－842．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲、乙两人均在丙的同侧，则不同的排法共有(　　)A．240种   B．360种C．480种   D．600种3．如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15，2)为(　　)A.   B.C.   D.4．将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为(　　)A．15   B．20C．30   D．425．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)A.   B.C.   D.6．已知(x2＋)6(k>0)的展开式的常数项为240，则dx＝(　　)A．1   B．ln2C．2   D．2ln27．设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记a≡b(mod m)．若a＝C181＋C182＋…＋C1818，a≡b(mod 9)，则b的值可以是(　　)A．2 015   B．2 016C．2 017   D．2 0188．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有(　　)A．24种   B．28种C．32种   D．36种9．已知x5(x＋3)3＝a8(x＋1)8＋a7(x＋1)7＋…＋a1(x＋1)＋a0，则7a7＋5a5＋3a3＋a1＝(　　)A．－16   B．－8C．8   D．1610．某学校在冬季运动会的开幕式上要穿插五个小节目，其中高一、高二年级各准备两个节目，高三年级准备一个节目，则同一年级的节目不相邻的安排种数为(　　)A．24   B．36C．48   D．5611．现定义eiθ＝cosθ＋isinθ，其中i为虚数单位，e为自然对数的底数，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋bi等于(　　)A．cos5θ＋isin5θ   B．cos5θ－isin5θC．sin5θ＋icos5θ   D．sin5θ－icos5θ12．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均等，那么这4位同学得分之和为0的概率为(　　)A.   B.C.   D.13．在 (x＋1)k的展开式中含x2项系数与含x10项系数相等，则正整数n的取值为(　　)A．12   B．13C．14   D．1514．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1　2　3　4　5……2 013　2 014　2 015　2 0163　5　7　9…………4 027　4 029　4 0318　12　16………………8  056　8 06020　28……………………16 116…………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　)A．2 017×22 015   B．2 017×22 014C．2 016×22 015   D．2 016×22 014二、填空题15．已知幂函数y＝xa的图像过点(4，16)，则(x－)8的展开式中x2的系数为________．16．某校要安排小李等5位实习教师到一、二、三班去实习，若要求每班至少安排1人且小李到一班，则不同的安排方案种数为________．(用数字做答)17．已知(x＋2y)n的展开式中第二项的系数为8，则(1＋x)(1＋x)2＋…＋(1＋x)n展开式中所有项的系数和为________．18．2015年12月26日，南昌地铁一号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁游览八一广场、滕王阁、秋水广场．每人只能去一个地方，八一广场一定要有人去．则不同的游览方案有________种．19．将8个珠子(4个黑珠子和4个白珠子)排成一行，从左边第一个小珠开始向右数珠子，无论数几个珠子，黑珠子的个数总不少于白珠子个数的概率为________．20．古希腊的数学家研究过各种多边形数．记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数　N(n，3)＝n2＋n四边形数　N(n，4)＝n2五边形数　N(n，5)＝n2－n六边形数　N(n，6)＝2n2－n……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(20，15)的值为________．1．在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为(　　)A.   B.C.   D.2．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　)A．10   B．11C．12   D．153．将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能保送到北大，则不同的保送方案共有(　　)A．150种   B．114种C．100种   D．72种4．已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________． 小题专练一、选择题1．若(9x－)n(n∈N*)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为(　　)A．84　　　　　　　　　 B．－252C．252   D．－84【答案】　A【解析】　由题意可得Cn2＝36，∴n＝9，∴(9x－)n＝(9x－)9的展开式的通项为Tr＋1＝C9r·99－r·(－)r·x9－，令9－＝0，得r＝6，∴展开式中的常数项为C96×93×(－)6＝84.2．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲、乙两人均在丙的同侧，则不同的排法共有(　　)A．240种   B．360种C．480种   D．600种【答案】　C【解析】　分两步：(1)任意选3个位置排甲、乙、丙三人，共有C63·A22·A22种排法；(2)再排其余三人，共有A33种排法．所以共有C63·A22·A22·A33＝480种不同的排法．3．如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15，2)为(　　)A.   B.C.   D.【答案】　C【解析】　由数阵知A(3，2)＝＋＝＋，A(4，2)＝＋＋＝＋＋，A(5，2)＝＋＋＋＝＋＋＋，…，则A(15，2)＝＋＋＋＋…＋＝＋2(－＋－＋…＋－)＝＋2(－)＝＋2×＝，选项C正确．4．将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为(　　)A．15   B．20C．30   D．42【答案】　C【解析】　四个篮球中两个分到一组有C42种分法，三组篮球进行全排列有A33种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法，所以有C42A33－A33＝36－6＝30种分法，故选C.5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)A.   B.C.   D.【答案】　D【解析】　由题知，甲或乙被录用的概率为＝.6．已知(x2＋)6(k>0)的展开式的常数项为240，则dx＝(　　)A．1   B．ln2C．2   D．2ln2【答案】　B【解析】　(x2＋)6(k>0)的展开式的通项为Tr＋1＝C6r(x2)6－r·()r＝C6rkrx12－3r，当12－3r＝0时，r＝4，故常数项为C64k4＝15k4＝240，得k＝2，dx＝lnx1＝ln2.7．设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记a≡b(mod m)．若a＝C181＋C182＋…＋C1818，a≡b(mod 9)，则b的值可以是(　　)A．2 015   B．2 016C．2 017   D．2 018【答案】　B【解析】　a＝218－1＝(9－1)6－1＝C6096－C6195＋C6294－C6393＋C6492－C659，∴a除以9的余数为0，结合选项知2 016除以9的余数为0，故选B.8．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有(　　)A．24种   B．28种C．32种   D．36种【答案】　B【解析】　由题，5本书分给4名同学，每名同学至少1本，那么这4名同学中有且仅有1名同学分到2本书，第一步，先选出1名同学，即C41种选法；第二步，这名同学分到的2本书有三种情况：2本小说或2本诗集或1本小说和1本诗集，因为小说、诗集都不区分，所以在第一种情况下有C31种分法(剩下3名同学中选1名同学分到1本小说，其余2名同学各分到1本诗集)，在第二种情况下有1种分法(剩下3名同学各分到1本小说)，在第三种情况下有C31种分法(剩下3名同学中选1名同学分到1本诗集，其余2名同学各分到1本小说)，这样第二步所有情况的种数是C31＋1＋C31＝7，故不同的分法有7C41＝28(种)，故选B.9．已知x5(x＋3)3＝a8(x＋1)8＋a7(x＋1)7＋…＋a1(x＋1)＋a0，则7a7＋5a5＋3a3＋a1＝(　　)A．－16   B．－8C．8   D．16【答案】　B【解析】　由于x5(x＋3)3＝[(x＋1)－1]5[(x＋1)＋2]3＝a8(x＋1)8＋a7(x＋1)7＋…＋a1(x＋1)＋a0，那么a7＝C50·C31·21＋C51·(－1)1·C30＝1，a5＝C50·C33·23＋C51·(－1)1·C32·22＋C52·(－1)2·C31·21＋C53·(－1)3·C30＝－2，a3＝C52·(－1)2·C33·23＋C53·(－1)3·C32·22＋C54·(－1)4·C31·21＋C55·(－1)5·C30＝－11，a1＝C54·(－1)4·C33·23＋C55·(－1)5·C32·22＝28，故7a7＋5a5＋3a3＋a1＝－8.10．某学校在冬季运动会的开幕式上要穿插五个小节目，其中高一、高二年级各准备两个节目，高三年级准备一个节目，则同一年级的节目不相邻的安排种数为(　　)A．24   B．36C．48   D．56【答案】　C【解析】　将五个节目进行全排列，共有A55种情况，其中A1，A2相邻或B1，B2相邻的情况共有2A44A22种，A1，A2相邻并且B1，B2也相邻的情况共有A33A22A22种，故同一年级的节目不相邻的安排种数为A55－2A44A22＋A33A22A22＝48.11．现定义eiθ＝cosθ＋isinθ，其中i为虚数单位，e为自然对数的底数，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋bi等于(　　)A．cos5θ＋isin5θ   B．cos5θ－isin5θC．sin5θ＋icos5θ   D．sin5θ－icos5θ【答案】　A【解析】　a＋bi＝C50cos5θ＋C51cos4θ·(isinθ)－C52cos3θsin2θ－C53cos2θ(isin3θ)＋C54cosθsin4θ＋C55(isin5θ)＝C50cos5θ＋C51cos4θ(isinθ)＋C52cos3θ·(i2sin2θ)＋C53cos2θ(i3sin3θ)＋C54cosθ(i4sin4θ)＋C55(i5sin5θ)＝(cosθ＋isinθ)5＝(eiθ)5＝ei×5θ＝cos5θ＋isin5θ.12．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均等，那么这4位同学得分之和为0的概率为(　　)A.   B.C.   D.【答案】　A【解析】　每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44＝256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C42种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有2C41种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C42×2×2种可能；4人全选甲类且两对两错，有C42种可能．共有C42＋2C41＋C42×2×2＋C42＝44种情况，因而所求概率为P＝＝，故选A.13．在 (x＋1)k的展开式中含x2项系数与含x10项系数相等，则正整数n的取值为(　　)A．12   B．13C．14   D．15【答案】　B【解析】　由二项式定理可知， (x＋1)k的展开式中x2项的系数为Ck2＝ ＝ ＝·－＝，x10项的系数为Ck10，将选项中的数值代入验证，从而可知当n＝13时，＝＝364，Ck10＝1＋11＋66＋286＝364，故选B.14．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1　2　3　4　5……2 013　2 014　2 015　2 0163　5　7　9…………4 027　4 029　4 0318　12　16………………8  056　8 06020　28……………………16 116…………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　)A．2 017×22 015   B．2 017×22 014C．2 016×22 015   D．2 016×22 014【答案】　B【解析】　当第一行有3个数时，最后一行仅有一个数为8＝23－2×(3＋1)；当第一行有4个数时，最后一行仅有一个数为20＝24－2×(4＋1)；当第一行有5个数时，最后一行仅有一个数为48＝25－2×(5＋1)；当第一行有6个数时，最后一行仅有一个数为112＝26－2×(6＋1)；……，归纳推理可得，当第一行有2 016个数时，最后一行仅有一个数为22 016－2×(2 016＋1)＝2 017×22 014.二、填空题15．已知幂函数y＝xa的图像过点(4，16)，则(x－)8的展开式中x2的系数为________．【答案】　1 120【解析】　因为幂函数y＝xa的图像过点(4，16)，所以16＝4a，即a＝2，所以(x－)8＝(x－)8，Tr＋1＝(－1)r·2r·C8r·x8－r·x－＝(－1)r·2r·C8r·x8－，令8－＝2，解得r＝4，所以 T4＋1＝(－1)4×24×C84×x2＝1 120x2，即(x－)8的展开式中x2的系数为1 120.16．某校要安排小李等5位实习教师到一、二、三班去实习，若要求每班至少安排1人且小李到一班，则不同的安排方案种数为________．(用数字做答)【答案】　50【解析】　依题意，就安排到一班的实际人数进行分类计数：第一类，安排到一班的实际人数为1，则满足题意的方案种数是24－2＝14；第二类，安排到一班的实际人数为2，则满足题意的方案种数是C41·(23－2)＝24；第三类，安排到一班的实际人数为3，则满足题意的方案种数是C42·(22－2)＝12.综上所述，满足题意的不同方案种数是14＋24＋12＝50.17．已知(x＋2y)n的展开式中第二项的系数为8，则(1＋x)(1＋x)2＋…＋(1＋x)n展开式中所有项的系数和为________．【答案】　30【解析】　(x＋2y)n的展开式中第二项的系数为8，即Cn1×2＝8，故n＝4.令x＝1，可得(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4的展开式中所有项的系数和为2＋22＋23＋24＝30.18．2015年12月26日，南昌地铁一号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁游览八一广场、滕王阁、秋水广场．每人只能去一个地方，八一广场一定要有人去．则不同的游览方案有________种．【答案】　65【解析】　方法一：4个人去3个地方游览，每人只能去一个地方，共有34＝81种方案．若八一广场没有人去，有24＝16种方案．又八一广场一定要有人去，则不同的游览方案有81－16＝65种．方法二：若八一广场有一人去，其余三人每人有两种选择，共有23C41＝32种方案；同理，若八一广场有二人去，有22C42＝24种方案；若八一广场有三人去，有2C43＝8种方案；若八一广场有四人去，有C44＝1种方案．所以总共有32＋24＋8＋1＝65种方案．19．将8个珠子(4个黑珠子和4个白珠子)排成一行，从左边第一个小珠开始向右数珠子，无论数几个珠子，黑珠子的个数总不少于白珠子个数的概率为________．【答案】　【解析】　将4个黑珠子与4 个白珠子排成一行的所有排法有C84＝70种，其中无论数几个珠子，黑珠子的个数总不少于白珠子个数时，第1个必排黑球，第8个必排白球，此时可考虑第2个的两种情况：当第2个排的是黑珠子时，其排法列举如图①，有9种排法；当第2个排的是白珠子时，其排法列举如图②，有5种排法．所以无论数几个珠子，黑珠子个数总不少于白珠子个数有5＋9＝14种不同的方法，故所求概率为＝.20．古希腊的数学家研究过各种多边形数．记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数　N(n，3)＝n2＋n四边形数　N(n，4)＝n2五边形数　N(n，5)＝n2－n六边形数　N(n，6)＝2n2－n……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(20，15)的值为________．【答案】　2 490【解析】　原已知式子可化为N(n，3)＝n2＋n＝n2＋n；N(n，4)＝n2＝n2＋n；N(n，5)＝n2－n＝n2＋n；N(n，6)＝2n2－n＝n2＋n.故N(n，k)＝n2＋n，N(20，15)＝×202＋×20＝2 490.1．在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为(　　)A.   B.C.   D.【答案】　B【解析】　分析可知，要满足题意，则抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P＝＝.2．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　)A．10   B．11C．12   D．15【答案】　B【解析】　用间接法，四个数字的所有排列有24个，3个位置对应相同的有C43＝4个，4个位置对应相同的有1个，∴至多有2个位置对应数字相同的有24－4－1＝11个，故选B.3．将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能保送到北大，则不同的保送方案共有(　　)A．150种   B．114种C．100种   D．72种【答案】　C【解析】　先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1或者3，1，1，所以共有＋＝25种分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100种．4．已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________．【答案】　【解析】　要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0要有两个实根，则Δ＝4a2－4b2>0，又a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，即a>b，而a，b的取法共有3×3＝9种，其中满足a>b的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共6种，所以所求的概率为＝.