9不等式、向量、解三角形（含解析版）练习题

这是一份9不等式、向量、解三角形（含解析版）练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
小题专练
一、选择题
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x≥0}，B＝{x|y＝log2(x2－1)}，则(∁UA)∩B＝(　　)
A．[1，2)　　　　　　　 B．(1，2)
C．(1，2] D．(－∞，－1)∪[0，2]
2．设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
4．在△ABC中，三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则＝(　　)
A．1 B．2
C．－2 D.
5．已知向量m，n的模分别为，2，且m，n的夹角为45°.在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，＝2，则||＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．8
6．已知x，y∈R＋，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是(　　)
A．3 B.
C．4 D.
7．在△ABC中，A＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
8．向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a＋b|＝，则a与b的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
9．如图，某观测站C在目标A的南偏西
25°方向上，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿公路向A走去，走20千米到达D，此时测得C、D间的距离为21千米，则此人在D处距A还有(　　)
A．5千米 B．10千米
C．15千米 D．20千米
10．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则x＋2y的最小值为(　　)
A．2 B.
C. D.
11．已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量a＝，b＝，＝a＋2b，则·的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)
A. B.
C. D．1
13．已知实数x，y满足约束条件向量a＝(x，y)，b＝(3，－1)，设z表示向量a在向量b方向上的投影，则z的取值范围是(　　)
A．[－，6] B．[－1，6]
C．[－，] D．[－，]
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上且与A，B不重合的一个动点，且＝x＋y，若u＝x＋λy(λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为(　　)
A．(1，3) B．(，3)
C．(，1) D．(，2)
15．若关于x的不等式f(x)0)，△ABC外接圆的半径为R，则＝＝＝＝－＝－＝2.
5．已知向量m，n的模分别为，2，且m，n的夹角为45°.在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，＝2，则||＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．8
【答案】　B
【解析】　因为＝2，所以点D为边BC的中点，所以＝(＋)＝2m－2n，所以||＝2|m－n|＝2＝2＝2.
6．已知x，y∈R＋，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是(　　)
A．3 B.
C．4 D.
【答案】　C
【解析】　由x＋y＋＋＝5，得5＝x＋y＋，∵x>0，y>0，∴5≥x＋y＋＝x＋y＋，∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，解得1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4.
7．在△ABC中，A＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
【答案】　C
【解析】　因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以·＝(＋)·(－)＝×32－×22＋·＝＋×3×2cos＝，选C.
8．向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a＋b|＝，则a与b的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】　C
【解析】　因为(2a＋b)2＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|·cos〈a，b〉＝16＋9＋24cos〈a，b〉＝37，即cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝60°，故选C.
9．如图，某观测站C在目标A的南偏西
25°方向上，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿公路向A走去，走20千米到达D，此时测得C、D间的距离为21千米，则此人在D处距A还有(　　)
A．5千米 B．10千米
C．15千米 D．20千米
【答案】　C
【解析】　由题知∠CAD＝60°，cosB＝＝＝，sinB＝.
在△ABC中，AC＝＝24，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，即312＝AB2＋242－2AB×24cos60°，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)，
∴AD＝AB－BD＝15(千米)．
10．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则x＋2y的最小值为(　　)
A．2 B.
C. D.
【答案】　C
【解析】　由已知可得＝×(＋)＝＋＝＋，又M，G，N三点共线，故＋＝1，∴＋＝3，则x＋2y＝(x＋2y)·(＋)·＝(3＋＋)≥(当且仅当x＝y时取等号)，故选C.
11．已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量a＝，b＝，＝a＋2b，则·的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】　A
【解析】　依题意，OA⊥OB，∴·＝0，又||·||＝1，∴||||＝2.∵·＝(＋)·＝2||，·＝(＋)·＝||，
2＝(＋)2＝＋·＋＝5，∴·＝(－)·
(－)＝·－(·＋·)＋2＝5－(2||＋||)≤5－2＝5－4＝1.
12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)
A. B.
C. D．1
【答案】　C
【解析】　设P(，t)，易知F(，0)，则由|PM|＝2|MF|，得M(，)，当t＝0时，直线OM的斜率k＝0，当t≠0时，直线OM的斜率k＝＝，所以|k|＝≤＝，当且仅当＝时取等号，于是直线OM斜率最大值为，选C.
13．已知实数x，y满足约束条件向量a＝(x，y)，b＝(3，－1)，设z表示向量a在向量b方向上的投影，则z的取值范围是(　　)
A．[－，6] B．[－1，6]
C．[－，] D．[－，]
【答案】　C
【解析】　画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，向量a在向量b方向上的投影
z＝＝(3x－y)，
由可行域知，a＝(x，y)＝(2，0)时，向量a在b方向上的投影最大，且最大值为＝；当a＝(，3)时，向量a在b方向上的投影最小，且最小值为－＝－，所以z的取值范围是[－，]．
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上且与A，B不重合的一个动点，且＝x＋y，若u＝x＋λy(λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为(　　)
A．(1，3) B．(，3)
C．(，1) D．(，2)
【答案】　D
【解析】　设扇形所在圆的半径为1，以O为原点，OB为x轴，建立平面直角坐标系，∠COB＝θ(θ∈(0，))．故B(1，0)，A(，)，C(cosθ，sinθ)，故∴
令f(θ)＝u＝x＋λy＝sinθ＋λcosθ，θ∈(0，)，
则f(θ)在(0，)上不是单调函数，从而f′(θ)＝cosθ－πsinθ＝0在(0，)上一定有解，即tanθ＝在(0，)上有解．∴∈(0，)，即λ∈(，2)，经检验此时f(θ)正好有极大值点．
15．若关于x的不等式f(x)