初中人教版22.1.1 二次函数导学案

第二十二章  二次函数

22.1.1  二次函数

学习目标：1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.

2.会利用二次函数的概念解决问题.

3.能根据实际问题列二次函数表达式.

重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式.

难点：能根据实际问题列二次函数表达式.

一、知识链接

1.什么是函数？

2.什么是一次函数？正比例函数？

3.一元二次方程的一般形式是什么？

二、要点探究

探究点1：二次函数的相关概念

问题1  正方体的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为            .

问题2  n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？

问题3  某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？

要点归纳：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

典例精析

例1  下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x是自变量)

①y=ax2+bx+c；         ②y=3－2x² ；               ③y=x2；                     

④ ；            ⑤y=x²+x³+25 ；            ⑥y=(x+3)²－x²；

方法总结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有一些特殊形式如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等.

例2 若函数是二次函数，求m的值.

方法总结：解决此类问题需要注意二次项系数a≠0这一限制条件.

针对训练  一个二次函数.

(1)求k的值；

(2)当x=0.5时，y的值是多少？ 

探究点2：根据实际问题列二次函数关系式

问题  矩形绿地的长为x m，面积为y m2.

（1）若该矩形绿地的长为宽的2倍，则宽为____m，y 与x之间的关系式为________________；

想一想   自变量的取值范围是___________.

（2）若该矩形绿地的长比宽多6m，则宽为______m，y 与x之间的关系式为________________.

想一想   自变量的取值范围是___________.

例3   如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米)的函数关系式.

归纳：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.

例4  某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式.

三、课堂小结

1.下列函数是二次函数的是 (     )

A．y＝2x＋1              B．

C．y＝3x2＋1             D．

2.函数 y=(m－n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是(     )

A．m，n是常数，且m≠0        B．m，n是常数，且n≠0

C．m，n是常数，且m≠n        D．m，n为任何实数

3.把y=(2－3x)(6+x)变成一般式，二次项为     ，一次项系数为     ，常数项为     .

4. 已知函数y=3x2m-1-5.  

①当m=     时，y是关于x的一次函数；

②当m=     时，y是关于x的二次函数 .

5.若函数是二次函数，

（1）求a的值.

（2）求函数关系式.

（3）当x=－2时，y的值是多少？

6.写出下列各函数关系：

（1）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；

（2）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．

7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：

（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式.(不必写出自变量x的取值范围)

8.矩形的周长为16cm，它的一边长为x(cm)，面积为y(cm2).

（1）写出y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；

（2）当x=3时，求矩形的面积.

参考答案

自主学习

知识链接

1.一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

2.一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.

3.ax2+bx+c=0    (a≠0)

课堂探究

二、要点探究

探究点1：二次函数的相关概念

问题1  y=6x2

问题2 

问题3  y=20(1+x)2=20x2+40x+20

典例精析

例1 解： ②③是二次函数；①不一定是，缺少a≠0的条件.  ④不是，等式右边是分式；⑤不是，x的最高次数是3；⑥不是，等式右边化简后，等式变形为y=6x+9，是一次函数.

例2  解：由题意得∴m=3.

针对训练

解：（1）由题意的解得k=2.

当k=2时，，将x=0.5代入函数关系式，得

.

探究点2：根据实际问题列二次函数关系式

问题 （1）0.5x   y=0.5x2     想一想   x＞0

（2）（x-6）  y=x(x-6)   想一想   x＞6

例3  解：∵AB边长为x米.∴AD边长为 米.∴y＝(0＜x＜30).

例4  解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元，产量减少了5(x－1)件．

∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10).

当堂检测

1.C    2.C   3. -3x2  -16  12   4. 1  

5.解：（1）由题意，得解得         

（2）当a=-1时，函数关系式为

（3）将x=-2代入函数关系式中，有 

6.解:(1)     (2)

7.解：（1）月销售量和月销售利润分别为450kg，6750元.

（2）y=(x-40)[500-(x-50)×10]=-10x2+1400x-40000.

8.   解：（1）y＝(8－x)x＝－x2＋8x  (0＜x＜8).

（2）当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2) .