初中人教版22.2二次函数与一元二次方程导学案

这是一份初中人教版22.2二次函数与一元二次方程导学案，共8页。学案主要包含了知识链接，要点探究，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程

学习目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
难点：通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.

自主学习


一、知识链接
1.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程(a≠0)根的情况.




2. 写出二次函数的图象的顶点坐标、对称轴，并画出它的图象.然后观察图象，x为何值时，y=0？



课堂探究


二、要点探究
探究点1：二次函数与一元二次方程的关系
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：
h=20t－5t2，
考虑以下问题：
(1) 球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
(2) 球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
(3) 球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
(4) 球从飞出到落地要用多少时间？






要点归纳：一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
典例精析
例1 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
(1) 当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
(2) 铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
(3) 铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？







探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程
思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
(1) y=x2－x+1； (2) y=x2－6x+9； (3)y=x2+x－2.




要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根

b2－4ac

有两个交点
有两个不相等的实数根
b2－4ac＞0
有两个重合的交点
有两个相等的实数根
b2－4ac=0
没有交点
没有实数根
b2－4ac＜0

例2 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．





【变式题】已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．




探究点3：利用二次函数求一元二次方程的近似解
例3 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).




方法总结：一元二次方程 x²－2x－2=0 的根就是抛物线 y=x²－2x－2 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.



例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
的近似根为(　　)
A． x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1


方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．



探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图①，那么：
方程ax2+bx+c=0的根是 ；
不等式ax2+bx+c>0的解集是 ；
不等式ax2+bx+c2的解集是___________；
不等式ax2+bx+c0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 个交点，坐标是 .方程ax2+bx+c=0的根是 .


问题3 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点；不等式ax2+bx+c0； ③－x2+x+20； ③x2－4x+40； ③－x2+x－20
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)
的图象



一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的根
x1；x2
x1=x2＝-
没有实数根
不等式ax2+bx+c>0(a>0)
的解集
xx2
x ≠ -的一切实数
所有实数
不等式ax2+bx+c0)
的解集
x1