初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆学案

第二十四章  圆

24.1  圆的有关性质

24.1.1  圆

学习目标：1.认识圆，理解圆的本质属性.

2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，

并了解它们之间的区别和联系.

3.初步了解点与圆的位置关系.

重点：认识圆，理解圆的本质属性.

难点：认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了

解它们之间的区别和联系.

一、知识链接

1.说一说你在生活中哪些地方见过圆？

2.你知道车轮为什么要做成圆形的吗？做成三角形、正方形可以吗？

二、要点探究

探究点1：探究圆的概念

情景  一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？

问题1  观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？

知识要点 

（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做_______．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.

(2)固定的端点O叫做______，线段OA叫做______，一般用r表示．

问题2  观察下列图形，想一想，确定一个圆的要素有哪些？

_______相同，______不同       ________相同，________不同

知识要点 确定一个圆的要素：一是_____________;二是_____________.

想一想  从画圆的过程可以看出什么呢？

(1) 圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于       ．

(2) 到定点的距离等于定长的点都在           ．

要点归纳：圆的基本性质——同圆的半径相等.

典例精析

例1  (教材P80例1)矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.

求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一个圆上.

探究点2：圆的有关概念

知识要点：连接圆上任意两点的线段(如图中的AC)叫做弦.经过圆心的弦(如图中的AB)叫做直径．

问题  圆中最长的弦是什么？为什么？

要点归纳：1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；2.直径是圆中最长的弦.

知识要点：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的；大于半圆的弧叫做优弧.如图中的.

例2  如图.

(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧；

(2)请写出以点A为端点的弦及直径；

(3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.

知识要点：能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出等圆是两个半径相等的圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

想一想  长度相等的弧是等弧吗？

例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，求∠ACD的度数.

注意：在圆中常利用半径相等得等腰三角形求角度.

变式  如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数．

三、课堂小结

1.填空.

(1)      是圆中最长的弦，它是     的2倍．

(2) 图中有     条直径，     条非直径的弦，圆中以A

为一个端点的圆弧中，优弧有     条，劣弧有      条．

2.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.

(1)弦是直径；

3.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，求∠AOD的度数.

4.   如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上.

(1)  求证：OB=OC.

(2)设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为______.

变式  如图，在扇形MON中，∠MON=45°，半径MO=NO=10，正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.

2. 解：把车轮做成圆形，车轴定在圆心，是因为圆形易滚动，而且车轮上各点到车轴即圆心的距离都等于半径，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变，有利于车子平稳行驶；不可以做成三角形或正方形.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：

情景    解：不公平；在目标周围围成一个圆排队，因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.

问题1   解：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形就是圆.

知识要点 （1）圆      （2）圆心     半径

问题2     圆心     半径      半径       圆心

知识要点     圆心     半径

想一想 （1）定长r     同一个圆上

典例精析

例1  证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC=   AC，OB=OD=   BD. 又∵AC=BD，

∴OA=OB=OC=OD.∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.

探究点2：

问题  解：圆中最长的弦是直径.  如图所示，连接OC,在△AOC中，根据三角形

三边关系有AO+OC>AC，而AB=2OA，AO=OC，所以AB>AC.

例2 解:(1)劣弧:                   优弧：

(2) 弦AF，AB，AC.其中弦AB又是直径.   (3) 答案不唯一，如：弦AF，它所对的弧是    

想一想  解：不可能，等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.

例3  解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠B=50°，∵CD=CB，∴∠BCD=180°-2×50°=80°，

∴∠ACD=90°-80°=10°.

变式  解：连接OD，如图.∵AB=2DE，AB=2OD，∴OD=DE，

∴∠DOE=∠E=20°.∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC=40°.∴∠AOC=∠C+∠E=60°．

当堂检测

1. （1）直径    半径      （2） 一      二       四       四

2.（1）×  （2）√  （3）×   （4）×  （5）×  （6）√  （7）×

3. 解：∵AD∥OC，∴∠AOC=∠DAO=70°，又∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO=70°，

∴∠AOD=180°-70°-70°=40°．

4. （1）证明：如图，连接OA，OD.∴OA=OD.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD.

在Rt△ABO和Rt△DCO中， ∴Rt△ABO≌Rt△DCO.∴OB=OC.

(2)    解析：设OB=x，则AD=BC=OB+OC=2x.在Rt△ABO中， 即，解得x=∴正方形ABCD的边长为2x=.

变式  解：连接OA. ∵ABCD为正方形，∴AB=BC =CD，∠ABC=∠DCB=90°.又∵∠DOC=45°，

∴DC=CO.设OC=x，则AB=BC=DC=OC=x.又∵OA=OM=10,∴在Rt△ABO中，即∴.