数学苏教版 (2019)第1章 直线与方程1.3 两条直线的平行与垂直导学案

这是一份数学苏教版 (2019)第1章 直线与方程1.3 两条直线的平行与垂直导学案，共9页。


过山车是一种富有刺激性的娱乐工具．实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理．过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着．
[问题] (1)你能感受到过山车中的平行和垂直吗？
(2)两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？



知识点 两条直线的平行与垂直
1．两条不重合直线平行的判定
2.两条直线垂直的判定
eq \a\vs4\al()
1．l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件
(1)两条直线的斜率都存在；
(2)l1与l2不重合．
2．l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件
(1)两条直线的斜率都存在；
(2)k1≠0且k2≠0.
1．如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？
提示：不一定．
2．若两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线都与x轴垂直吗？
提示：垂直．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( )
(2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
解析：选D 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.
3．判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．
(1)l1：y＝－2x＋1与l2：6x＋3y－3＝0；
(2)l1：x－2＝0与l2：y＋2＝0.
解：(1)l1与l2不平行，而是重合．
∵l1：y＝－2x＋1，
l2：6x＋3y－3＝0可化为3y＝－6x＋3，
即y＝－2x＋1，∴l1与l2重合，不平行．
(2)l1⊥l2.
可知l1的斜率不存在，则l1⊥x轴，
l2的斜率为0，则l2平行x轴，
∴l1⊥l2.
[例1] (链接教科书第21页例2，23页例4)判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．
(1)l1经过点A(2，3)，B(－4，0)，l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(3)l1：3x－2y－7＝0，l2：2x＋3y－1＝0；
(4)l1：y－2＝0，l2：y＋1＝0.
[解] 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
(1)k1＝eq \f(3－0,2＋4)＝eq \f(1,2)，k2＝eq \f(1－2,－3＋2)＝1，
所以k1≠k2且k1·k2≠－1，从而l1与l2既不平行又不垂直．
(2)因为k1＝－10，k2＝eq \f(2－3,10－20)＝eq \f(1,10)，
所以k1·k2＝－1，从而l1与l2垂直．
(3)因为k1＝eq \f(3,2)，k2＝－eq \f(2,3)，
所以k1·k2＝－1从而l1与l2垂直．
(4)因为k1＝k2＝0，
从而l1∥l2.
eq \a\vs4\al()
判断两条不重合直线是否平行或垂直的步骤

[跟踪训练]
1．判断下列各题中直线l1与l2是否平行．
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)；
(2)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5)．
解：(1)k1＝eq \f(1－（－2）,2－（－1）)＝1，k2＝eq \f(－1－4,－1－3)＝eq \f(5,4).
∵k1≠k2，∴l1与l2不平行．
(2)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2.
2．判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1，3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)；
(2)l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)．
解：(1)k1＝eq \f(3－（－4）,1－（－3）)＝eq \f(7,4)，k2＝eq \f(1－（－3）,3－（－4）)＝eq \f(4,7)，k1k2＝1，
∴l1与l2不垂直．
(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝eq \f(40－40,10－（－10）)＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
[例2] (链接教科书第21页例1)已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
[解] 由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，
由斜率公式可得kAB＝eq \f(5－3,2－（－4）)＝eq \f(1,3)，
kCD＝eq \f(0－3,－3－6)＝eq \f(1,3)，kAD＝eq \f(0－3,－3－（－4）)＝－3，
kBC＝eq \f(3－5,6－2)＝－eq \f(1,2).
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD.由kAD≠kBC，
所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝eq \f(1,3)×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，
故四边形ABCD为直角梯形．
eq \a\vs4\al()
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤

[跟踪训练]
1．已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,7)，\f(4,7))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(54,7)，\f(13,7)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(38,3)，\f(13,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(38,7)，\f(5,7)))
解析：选D 设D(x，y)．
∵AD⊥BC，∴eq \f(y－2,x＋1)·eq \f(3＋2,1－0)＝－1，
∴x＋5y－9＝0.
∵AB∥CD，∴eq \f(y＋2,x)＝eq \f(3－2,1＋1)，∴x－2y－4＝0.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋5y－9＝0，,x－2y－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(38,7)，,y＝\f(5,7).))故选D.
2．已知四边形MNPQ的顶点坐标为M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ为矩形．
证明：∵kMN＝eq \f(1＋1,1－3)＝－1，kPQ＝eq \f(2－0,2－4)＝－1，
∴MN∥PQ.
又∵kMQ＝eq \f(2－1,2－1)＝1，kNP＝eq \f(0＋1,4－3)＝1，
∴MQ∥NP，∴四边形MNPQ为平行四边形．
又kMN·kMQ＝－1，∴MN⊥MQ，
∴四边形MNPQ为矩形.
[例3] (链接教科书第22页例3，24页例5)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
[解] 法一：l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3，
∴l的斜率为－eq \f(3,4).
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq \f(3,4).又∵l′过点(－1，3)，
由点斜式知方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为eq \f(4,3)，
又l′过点(－1，3)，
由点斜式可得方程为y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．
将点(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
eq \a\vs4\al()
过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的两种求法
方法一：由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；
方法二：可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
[跟踪训练]
已知点A(3，3)和直线l：y＝eq \f(3,4)x－eq \f(5,2).求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的方程．
解：因为直线l：y＝eq \f(3,4)x－eq \f(5,2)，
所以该直线的斜率k＝eq \f(3,4).
(1)过点A(3，3)且与直线l平行的直线方程为
y－3＝eq \f(3,4)(x－3)，即3x－4y＋3＝0.
(2)过点A(3，3)且与直线l垂直的直线方程为
y－3＝－eq \f(4,3)(x－3)，即4x＋3y－21＝0.
[例4] 已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
[解] 法一：由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3，
A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a.
(1)当l1∥l2时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a＋1）－2×3＝0，,a×（－a）－（－3）×3≠0，))
解得a＝2.
(2)当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0，
即3a＋2(a＋1)＝0，解得a＝－eq \f(2,5).
法二：直线l1可化为y＝－eq \f(a,2)x＋eq \f(3,2).
(1)当a＝－1时，l2：x＝－eq \f(1,3)与l1不平行；
当a≠－1时，直线l2：y＝－eq \f(3,a＋1)x＋eq \f(a,a＋1)，
∵l1∥l2，∴－eq \f(a,2)＝－eq \f(3,a＋1)且eq \f(3,2)≠eq \f(a,a＋1)，
解得a＝2.
(2)当a＝－1时，l2：x＝－eq \f(1,3)与l1不垂直；
当a≠－1时，l2：y＝－eq \f(3,a＋1)x＋eq \f(a,a＋1)，
∵l1⊥l2，∴－eq \f(a,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,a＋1)))＝－1，
解得a＝－eq \f(2,5).
eq \a\vs4\al()
利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0：
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
[跟踪训练]
已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值．
(1)l1⊥l2；(2)l1∥l2.
解：(1)∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0，
∴m＝－eq \f(2,5).
(2)∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)，
∴m＝－3或m＝2，
当m＝－3时，l1∥l2；
当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去．
∴m＝－3.
1．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
解析：选B 由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.
2．已知直线l1经过点A(0，－1)和点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,a)，1))，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．
解析：由题意得l1∥l2，∴kAB＝kMN.
∵kAB＝eq \f(2,－\f(4,a))＝－eq \f(a,2)，kMN＝eq \f(－2－1,0－1)＝3，
∴－eq \f(a,2)＝3，∴a＝－6.
答案：－6
3．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
解：直线l2的斜率k2＝eq \f(2－（a＋2）,1－（－2）)＝－eq \f(a,3).
(1)若l1∥l2，则直线l1的斜率为k1＝eq \f(2－a,a－4)，所以eq \f(2－a,a－4)＝－eq \f(a,3)，解得a＝1或a＝6，经检验当a＝1或a＝6时，l1∥l2.
(2)若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－eq \f(1,2)，不符合题意；②当k2≠0时，l1的斜率存在，k1＝eq \f(2－a,a－4)，
由k1·k2＝－1得到eq \f(2－a,a－4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,3)))＝－1，
解得a＝3或a＝－4，经检验当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
新课程标准解读
核心素养
能根据斜率判定两条直线平行或垂直
数学运算、逻辑推理
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2
l1∥l2⇐两直线斜率
都不存在
图示
图示
对应
关系
l1⊥l2(两直线
斜率都存在)⇔
k1·k2＝－1
l1的斜率不存在，l2
的斜率为0⇒l1⊥l2
两条直线平行、垂直的判定
平行与垂直在平面几何中的应用
平行与垂直在直线方程中的应用
由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直