初中数学浙教版九年级上册4.1 比例线段教案设计

4.1比例线段（3）

教学目标：

1.了解比例中项的概念。

2.会求已知线段的比例中项（了解与数的比例中项的区别）。

3.通过实例了解黄金分割。

    4.利用黄金分割进行简单的计算和作图.

教学重点、难点：

教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。

教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。

知识要点：

    1.如果三个数a、b、c满足比例式＝（或a:b＝b: c），则b叫做a，c的比例中项。

2. ＝<=>b2＝ac。[来源:Z+xx+k.Com]

3.如图4-1-4,如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使＝,那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，线段AP与AB的比叫做黄金比.

重要方法：

    1.判断b是a、c的比例中项，只要＝或b2＝ac成立。

2.记住线段AB被点P黄金分割原理；记住黄金比：≈0.618.

3.利用黄金分割原理解释自然界中的生活现象.

    4.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；顶角为108°的等腰三角形的腰与底的比等于黄金比.（宽与长的比等于黄金比的矩形是黄金矩形）

教学过程：

    一、创设情景，引入新课

感受匀称、协调之美

如：蒙娜丽莎像、芭蕾舞演员的演姿、上海东方明珠塔、五角星等，感受黄金分割图像之美。

二、合作学习，探索新知

1．线段的比例中项

（1）取一张长与宽之比为∶1的长方形纸（怎么取？协作学习）

（2）将它（上述矩形）对折.请判断图4－4中的两张长方形纸的长与宽这4条线段是否成比例.如果成比例，请写出比例式.这个比例式有什么特别之处吗？（与同伴交流）

[来源:学科网]

＝，＝＝

∴＝，这个比例式的内项相同.

定义：一般地，如果三个数a、b、c满足比例式＝（或a:b＝b: c），则b叫做a，c的比例中项.

＝<=>b2＝ac。

做一做：

P1011、（1）1是不是1和的比例中项；（2）1和的比例中项是什么？

P1012、求线段a、b的比例中项.

（1）a＝3，b＝27；  （2）a＝，b＝3；  （3）a＝，b＝

2．黄金分割

（1）五角星是我们常见的图形.在图4-4中,度量点C到点A,B的距离 

与相等吗？

点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果＝，

那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),

点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.

问题：一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有几个黄金分割点？ 

（2）求出黄金比的数值，如图4－1－4

设＝x，则PB＝AB－AP＝AB－AB•x.

由＝，得＝，即＝

化简，得x2＋x－1＝0.

解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去）

所以＝≈0.618

（3）黄金分割的深远意义

历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。

（4）尺规做线段的黄金分割点

例5，已知线段AB＝a，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。

分析：线段a的黄金分割所得的较长线段长应是a，

＝a－a，由于a是以a和a为直角边的斜边长

因此本题转化为作两条线段之差.[来源:Z&xx&k.Com]

作法：

1.经过点B作BD⊥AB,使BD＝AB

2.连接AD,在AD上截取DE=DB.

3.在AB上截取AC=AE.

如图，点C就是线段a的黄金分割点

思考：1．如果设AB=1,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少?[来源:学科网ZXXK]

2．计算 与3．点C是线段AB的黄金分割点吗?课内练习：P1021、2P102～103作业题1、2、3、4、5、6 

三、课堂小结

1.比例中项的概念，

2.线段的比例中项与数的比例中项的区别；

3.黄金分割，黄金分割点，黄金比的概念.

四、作业：见作业本[来源:学科网]

五、教后感