第八章 第七节 直线与椭圆位置关系-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第七节 直线与椭圆的位置关系
课中讲解
考点一.直线与椭圆的位置关系
例1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m>0
C．00，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
因为⊥，所以·＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝＝0，
解得k2＝，即k＝±，
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
考点五．探究性问题
例1.椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，则其离心率的取值范围是_____________．
分析：∵、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式，转化为关于的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
解：设椭圆的参数方程是，则椭圆上的点，，
∵，∴，
即，解得或，
∵　∴（舍去），，又
∴，∴，又，∴．
变式1.椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，则点的坐标是________________．
分析：本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求均可用此法．
解：由已知：，．所以，右准线．
过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以．
课后习题
一． 单选题
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)
A．至多为1 B．2
C．1 D．0
答案　B
解析　由题意知，>2，即0，b>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，
则＝－1，＝－1，
由题意知，＝－1，
过点与原点的直线的斜率为，
即＝，
∴×(－1)×＝－1，
∴＝，故选B.
方法二　由消去y，
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
可得AB中点P的坐标为，
∴kOP＝＝，∴＝.
9．(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为上顶点．若BM＝BN，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设直线y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)＝4b2(b2＋1－m2)>0.
设线段MN的中点为G，知G点坐标为，
因为BM＝BN，所以直线BG垂直平分线段MN，
所以直线BG的方程为y＝－x＋b，且经过点G，
可得＝＋b，解得m＝.
因为b2＋1－m2>0，所以b2＋1－2>0，
解得00)，其焦距为2，且过点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　)
A. B. C. D．2
答案　B
解析　由题意可得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，
将点代入椭圆方程，可得＋＝1，
解得a＝，b＝1，
即椭圆的方程为＋y2＝1，设B(x2，y2)，
则椭圆C1在点B处的切线方程为x＋y2y＝1，
令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xc＝，
所以S△OCD＝··＝，
又点B为椭圆在第一象限上的点，
所以x2>0，y2>0，＋y＝1，
即有＝＝＋≥2＝，
即S△OCD≥，当且仅当＝y＝，
即点B的坐标为时，△OCD面积取得最小值，故选B.

二． 多选题
13．(多选)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有(　　)
A.＋1
C.＋1
答案　ACD
解析　由椭圆＋＝1，
可得a＝2，b＝，c＝1.
∴左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，
设A(0，)，则tan∠AF1F2＝，
可得∠AF1F2＝，
∴∠F1AF2＝.
∵l1⊥l2，∴直线l1与直线l2的交点M在椭圆的内部．
∴＋＜1，A正确；B不正确；
直线＋＝1与椭圆＋＝1联立，
可得7y2－24y＋27＝0无解，
因此直线＋＝1与椭圆＋＝1无交点．
而点M在椭圆的内部，在直线的左下方，
∴满足＋＜1，C正确．
∵x＋y＝1,0≤y≤1，
∴4x＋3y＝4(1－y)＋3y＝4－y＞1，因此D正确．
故选ACD.
三． 填空题
14．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则即所以(x1－x2)＝(x－x)，所以＝x1＋x2.又－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，x1≠x2，所以－2a＜x1＋x2＜2a，则＜2a，即＜，所以e2＝1－＞.又0＜e＜1，所以＜e＜1.
答案：
15．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为__________．
解析：过点M(－2,0)的直线m的方程为y－0＝k1(x＋2)，代入椭圆方程化简得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－2＝0，所以x1＋x2＝，所以点P，直线OP的斜率k2＝－，所以k1k2＝－.
答案：－
16．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为__________．
解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点F(1,0)关于直线y＝x的对称点为(m，n)，可得＝－2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为，且中点在直线y＝x上，所以有＝×③，联立②③，解得即对称点为，代入椭圆方程可得＋＝1④，联立①④，解得a2＝，b2＝，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
17．设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为___________________．
答案　＋＝1
解析　∵△F2AB是面积为4的等边三角形，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，
可求得F1A＝F1B＝.
又F1F2＝2c，∠F1F2A＝30°，
∴＝×2c.①
又＝×2c×＝4，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
18．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是________．
答案　1
解析　∵(＋)·＝(＋)·
＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设PF1＝m，PF2＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12，
∴2mn＝4，mn＝2，
∴＝mn＝1.
19．(2020·湖北部分重点中学联考)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且AF1＝3BF1，AB＝BF，则椭圆C的离心率为________．
答案　
解析　设BF1＝k，则AF1＝3k，BF2＝4k.
由BF1＋BF2＝AF1＋AF2＝2a，
得2a＝5k，AF2＝2k.
在△ABF2中，cos∠BAF2＝＝，
又在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，
所以2c＝k，故离心率e＝＝.
20．已知椭圆C：＋＝1，过椭圆C上一点P(1，)作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，则直线AB的斜率为________．
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为y－＝k(x－1)，代入椭圆方程化简，得(k2＋2)x2－2k(k－)x＋k2－2k－2＝0，显然1和x1是这个方程的两解，
因此x1＝，y1＝，
由－k代替x1，y1中的k，得
x2＝，y2＝，
所以＝.
故直线AB的斜率为.
21．(2019·衡水调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，斜率为－的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________．
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1，
两式相减得＋＝0.(*)
因为△ABF1的重心为G，
所以故
代入(*)式得＋＝0，
所以＝－＝－，即a2＝3b2，
所以椭圆C的离心率e＝.
四． 解答题
22.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．
解：(1)由题可知c＝，＝2，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.
Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝，y1y2＝.∵点B在以MN为直径的圆上，∴·＝0.
∵·＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，∴(m2＋1)·＋(m－1)·＋2＝0，整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝.∴直线l的方程为x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0.
23．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
解：（1）如题图所示，设所求椭圆的标准方程为(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得，结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率．
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2．
由题设条件＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20，因此所求椭圆的标准方程为．
（2）由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2．代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝．
由PB2⊥QB2，得·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2．
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0．
24．已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积．
解　(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意可得解得
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，
由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2