第八章 第三节 圆的方程-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

第三节 圆的方程

知识回顾

1．圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．

2．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．

3．圆的标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．

4．圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为，半径r＝.

5．确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；

(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．

6．点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种．

圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)

(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.

[难点正本　疑点清源]

1．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质

(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上；

(2)圆心在任一弦的中垂线上；

(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

2．圆的一般方程的特征

圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若化为标准式，即为2＋2＝.由于r2相当于.

所以①当D2＋E2－4F>0时，圆心为，半径r＝.

②当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点.

③当D2＋E2－4F<0时，这样的圆不存在．

课前检测

1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)

A．(2,3) B.(－2,3)

C．(－2，－3) D．(2，－3)

2．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　)

A．(－1,1) B.(0,1)

C. D.

3．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1   B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2   D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________．

5．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是__________________．

6．已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________．

课中讲解  

考点一.求圆的方程

例1.(1)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1),则圆C的方程为________．

(2)已知△ABC顶点的坐标为A(0,0),B(1,1),C(4,2),则△ABC的外接圆的方程为________．

(3)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上,圆C与直线x－y＝0相切,且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为,则圆C的方程为________．

变式1.(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；

(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．

例2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x－y＝0的距离为,则圆C的方程为________.

考点二.与圆有关的最值问题

例1.已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x＋y的最大值与最小值．

变式1. 已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：

(1)的最大值和最小值；

(2)y＋x的最大值和最小值；

(3)x2＋y2的最大值和最小值．

例2. 已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

(1)求MQ的最大值和最小值；

(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．

变式2.(2020·保定质检)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则PA＋PQ的最小值是________．

变式3．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．

考点三.与圆有关的轨迹问题

例1. 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

变式1.设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．

例2．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)

A．8x－6y－21＝0　　　　　 B．8x＋6y－21＝0

C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0

变式2.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．

变式3．已知圆C通过不同的三点P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，且CP的斜率为－1.

(1)试求圆C的方程；

(2)过原点O作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1交圆C于E，F两点，l2交圆C于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值．

课后习题

一．单选题

1．圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为(　　)

A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5　 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5

C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5

2．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)

A. B.

C. D.

3．(2019·成都模拟)若抛物线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为(　　)

A．x2＋(y－1)2＝4 B.(x－1)2＋(y－1)2＝4

C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5

4．(2019·银川模拟)若圆C与y轴相切于点P(0,1)，与x轴的正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程是(　　)

A．(x＋)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋)2＝2

C．(x－)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－)2＝2

5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

6．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

7．(2019·贵阳模拟)圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且AB＝2，则圆C的标准方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y－)2＝2

B．(x－1)2＋(y－2)2＝2

C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4

D．(x－1)2＋(y－)2＝4

8．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)

A．(x＋2)2＋(y－2)2＝4

B．(x－2)2＋(y＋2)2＝4

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝4

D．(x－2)2＋(y－2)2＝4

9．(2019·海口模拟)已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是(　　)

A．(－2，4) B.[－2，4]

C．[－4,4] D．[－4,2]

10．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－4] B.[－4,6]

C．(－∞，－4]∪[6，＋∞) D．[6，＋∞)

二．多选题

11．(多选)设有一组圆C：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)，下列四个命题正确的是(　　)

A．存在k，使圆与x轴相切

B．存在一条直线与所有的圆均相交

C．存在一条直线与所有的圆均不相交

D．所有的圆均不经过原点

三．填空题

12．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．

13．(2020·长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．

14．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是________________．

15．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝PB2＋PA2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．

16．(2019·大同模拟)已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且AB＝2，则△ABP的面积的取值范围是________．

17．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为______________________．

18．如果直线2ax－by＋14＝0(a＞0，b＞0)和函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，那么的取值范围为________．

19．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________________．

四．解答题

20．在平面直角坐标系中，已知圆心在直线x－2y＝0上，圆C经过点A(4,0)，但不经过坐标原点，并且直线4x－3y＝0与圆C相交所得的弦长为4.

(1)求圆C的一般方程；

(2)若从点M(－4,1)发出的光线经过x轴反射，反射光线刚好通过圆C的圆心，求反射光线所在直线的方程(用一般式表达)．

21．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4.

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程．

22．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．

(1)求x＋y的最大值和最小值；

(2)求的最大值和最小值．

23．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足PA＝2PB.

(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；

(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM的最小值．