第二章 第十节 函数的模型与应用-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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1．几类函数模型
2.三种函数模型的性质
课前检测
1.【2019年浙江丽水高一上学期期末考试数学试卷统测】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N=2N0时，t=________ ．
【答案】1λln⁡2
【解析】【解答】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N=2N0时，
则N=N0eλt=2N0≠0，化为：eλt=2，
解得t=1λln⁡2．
故答案为1λln⁡2．
【分析】由题意可得：N=N0eλt=2N0≠0，化为：eλt=2，化为对数式即可得出．
【备注】【点评】本题考查了指数式化为对数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．
答案 eq \r(p＋1q＋1)－1
解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝eq \r(1＋p1＋q)－1.
3．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
答案 5
解析 由题意得，y1＝eq \f(k1,x)，y2＝k2x，其中x>0，当x＝10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1＝20，k2＝eq \f(4,5)，y1＋y2＝eq \f(20,x)＋eq \f(4,5)x≥2eq \r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，当且仅当eq \f(20,x)＝eq \f(4,5)x，即x＝5时取等号．
4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为________．
答案 15,12
解析 由三角形相似得eq \f(24－y,24－8)＝eq \f(x,20)，得x＝eq \f(5,4)(24－y)，
∴S＝xy＝－eq \f(5,4)(y－12)2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
答案 3.75
解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))消去c化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7a＋b＝0.1，,9a＋b＝－0.3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.0.))
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－eq \f(1,5)(t2－eq \f(15,2)t＋eq \f(225,16))＋eq \f(45,16)－2＝－eq \f(1,5)(t－eq \f(15,4))2＋eq \f(13,16)，所以当t＝eq \f(15,4)＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.
6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq \f(1,3)，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．6 B．9 C．8 D．7
答案 BC
解析 设经过n次过滤，产品达到市场要求，
则eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,1 000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,20)，
由nlg eq \f(2,3)≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，故选BC.
课中讲解
考点一.函数图像刻画变化过程
例1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：选C 小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
变式1．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．
例2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
答案 D
解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
变式2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合( )
A．y＝ax＋b B．y＝a＋beq \r(x)
C．y＝a·bx D．y＝ax2＋bx＋c
答案 B
解析 根据散点图可知，选择y＝a＋beq \r(x)最适合．
考点二.应用所给的模型解决实际问题
例1.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度 v（单位：m⋅s-1）与其耗氧量 Q 之间的关系为 v=a+blg3⁡Q10（其中 a、b 是常数）．据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为个 90 单位时，飞行速度为 1m⋅s-1．若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于 2m⋅s-1，求其耗氧量至少要多少个单位．
【答案】270 个单位
【解析】由题意，知 {a+blg3⁡3010=0a+blg3⁡9010=1，即 {a+b=0a+2b=1，解得 {a=-1b=1，所以 v=-1+lg3⁡Q10，
要使飞行速度不能低于 2m⋅s-1，则有 v⩾2，即 -1+lg3⁡Q10⩾2，即 lg3⁡Q10⩾3，
解得 Q10⩾27，即 Q10⩾270，所以耗氧量至少要 270 个单位．
变式1.数据显示，某 IT 公司 2018 年上半年五个月的收入情况如下表所示：
根据上述数据，在建立该公司 2018 年月收入 y（万元）与月份 x 的函数模型时，给出两个函数模型 y=x12 与 y=2x3 供选择．
(1) 你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；
【答案】函数 y=2x3 这一模型较好
【解析】画出散点图
由图可知点 (2,1.4)；(3,2.56)；(4,5.31)；(5,11)；(6,21.3) 基本上是落在函数 y=2x3 的图像的附近，因此用函数 y=2x3 这一模型较好．
(2) 试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元？（参考数据 lg⁡2=0.3010，lg⁡3=0.4771）
【答案】大约从第 9 月份开始
【解析】当 2x3>100 时，2x>300，∴lg⁡2x>lg⁡300
即 xlg⁡2>2+lg⁡3∴x>2+lg⁡3lg2=2+≈8.23
故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．
当 2x3>100 时，2x>300
28=256300
故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．
例2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．
②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
答案 ①y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1，t>0.1)) ②0.6
解析 ①设y＝kt，由图象知y＝kt过点(0.1,1)，
则1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．
由y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a过点(0.1,1)，得1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))0.1－a，
解得a＝0.1，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1(t>0.1)．
②由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1≤0.25＝eq \f(1,4)，得t≥0.6.
故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．
变式2.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f (m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．
答案 4.24
解析 ∵m＝6.5，∴[m]＝6，
则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
考点三.构建函数模型解决实际问题
1.二次函数模型
例1.某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原料价格决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；
(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．
[解] (1)由题意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)，
y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05xeq \\al(2,2)＝－0.05xeq \\al(2,2)＋10x2－40
＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)．
(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，
∴y1＝(10－m)x1－20为增函数．
又0≤x1≤200，x1∈N，
∴当x1＝200时，生产A产品的最大利润为(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)．
∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)，
∴当x2＝100时，生产B产品的最大利润为460万美元．
(y1)max－(y2)max＝(1 980－200m)－460＝1 520－200m.
易知当6≤m＜7.6时，(y1)max＞(y2)max.
即当6≤m＜7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；
当m＝7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润；
当7.6＜m≤8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润．
变式1. 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( )
A．[4,8] B．[6,10]
C．[4%,8%] D．[6%,10%]
答案 A
解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．
指对数函数模型
例2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
变式2.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．28小时
[解析] (1)设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
根据题意得130(1＋12%)n－1＞200，
则lg[130(1＋12%)n－1]＞lg 200，
∴lg 130＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，
∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，
∴0.11＋(n－1)×0.05＞0.30，解得n＞eq \f(24,5)，
又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C.
(2)由已知得192＝eb，①
48＝e22k＋b＝e22k·eb，②
将①代入②得e22k＝eq \f(1,4)，则e11k＝eq \f(1,2)，
当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.
[答案] (1)C (2)C
对勾函数模型
例3 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．
答案 5
解析 根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，
∴年平均利润eq \f(y,x)＝12－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，
∵x＋eq \f(25,x)≥10，当且仅当x＝5时等号成立．
∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.
变式3.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9eq \r(3) 平方米，且高度不低于eq \r(3) 米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．
答案 2eq \r(3)
解析 由题意可得BC＝eq \f(18,x)－eq \f(x,2)(2≤xx0时，有lgax