第二章 第四节 函数的图象-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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知识回顾
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；
③y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；
④y＝ax(a＞0且a≠1)eq \(――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up11(保留x轴及上方图象),\s\d4(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|．
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up11(保留y轴及右边图象，并作其),\s\d4(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x) eq \f(a＞1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变,0＜a＜1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变)→y＝f(ax)．
②y＝f(x) eq \f(a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变,0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变)→y＝af(x)．
课前检测
1.【2020年4月江苏镇江润州区江苏省镇江中学高二上学期月考数学试卷高二阶段学期检测卷】函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：∵f(x)=y=2x2-e|x|，
∴f(-x)=2(-x)2-e|-x|=2x2-e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8-e2∈(0,1)，故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f(x)=y=2x2-ex，
∴f'(x)=4x-ex=0有解，
故函数y=2x2-e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D．
【备注】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．
2.将函数 y=bx+a+a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位，所得图象如果与原图象关于直线 y=x 对称，那么( )
A． a=-1,b≠0
B． a=-1,b∈R
C． a=1,b≠0
D． a=0,b∈R
【答案】C
【解析】由题意知，所得函数与原函数互为反函数，
平移后函数的解析式为 y=bx-2+a+a-2，即 x=by-a+2+2-a，
所以函数 y=bx+a+a 与 y=bx-a+2+2-a 是同一个函数，
故 2-a=a，得 a=1，
当 b=0 时，函数 y=bx+a+a 没有反函数，所以 b≠0.
3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
解析：选D 与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.
4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝lg eq \r(2)f(x)的定义域是________．
解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝lg eq \r(2)f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2,8]．
答案：(2,8]
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥0，,0，x＜0，))其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.
答案：(0，＋∞)
6．(多选)若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )
A．a>1 B．01，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2] B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C．(1，eq \r(2)) D．(eq \r(2)，2)
解析：要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜lgax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝lgax的图象的下方即可．
当0＜a＜1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝lgax的图象的下方，只需(2－1)2≤lga2，即lga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．故选A.
变式2.(2019·沈阳质量监测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x－1，则关于x的方程f(x)－lg8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝lg8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－lg8(x＋2)＝0根的个数．作出y＝f(x)与y＝lg8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2,6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－lg8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根，故选C.
[答案] C
例3 (2020·唐山月考)已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 先作出函数f (x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为eq \f(1,2)，故f (x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
变式3.已知f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f (x)|≥g(x)时，h(x)＝|f (x)|；当|f (x)|eq \f(1,2)得2－x1，则f (x)0，b>0，c>0
B．a0，c>0
C．a0，c1))的图象如图所示，不妨令a