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第二章 第五节 幂函数与二次函数-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案
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1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
对于形如f(x)＝xeq \f(n,m)(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的3种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
课前检测
1.已知 f(x)=ax2a+1-b+1 是幂函数，则 a+b=( )
A．2B．1
C．12D．0
【答案】A
【解析】本题考查幂函数的知识．
由题可得 a=1，-b+1=0，进而求出 a+b．
f(x)=ax2a+1-b+1 是幂函数．
可得 a=1，-b+1=0．
∴b=1．
a+b=2．
故选 A
2.幂函数 y=(m2-m-1)xm2-2m-3，当 x∈(0,+∞) 时为减函数，则实数 m 的值为( )
A．m=-1 或 2
B．m=-1
C．m=2
D．m=1±52
【答案】C
【解析】∵y=(m2-m-1)xm2-2m-3 为幂函数，
∴m2-m-1=1，即 m2-m-2=0，解得：m=2 或 m=-1．
当 m=2 时，m2-2m-3=-3，y=x-3 在 (0,+∞) 上为减函数；
当 m=-1 时，m2-2m-3=0，y=x0=1(x≠0) 在 (0,+∞) 上为常数函数（舍去），
∴ 使幂函数 y=(m2-m-1)xm2-2m-3 为 (0,+∞) 上的减函数的实数 m 的值 2．
故选 C
3.幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如图所示，以下结论正确的是( )
A．m>n>pB．m>p>n
C．n>p>mD．p>n>m
【答案】C
【解析】
在(0,1)内取同一值x0，
作直线x=x0，与各图象有交点．
则由“点低指数大”，知：n>p>m，
故选：C．
【备注】本题考查幂函数的图象的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意数形结合思想的合理运用
4．已知函数f (x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
答案 D
解析 函数f (x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
5．(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－eq \f(\r(2),2)，0)
解析 作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm<0，,fm＋1<0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m2－1<0，,m＋12＋mm＋1－1<0，))解得－eq \f(\r(2),2)课中讲解
考点一.幂函数的图像与定义
例1.【2018年浙江衢州高一上学期期中考试数学试卷四校】在同一直角坐标系中，函数f(x)=xa(x⩾0)，g(x)=lgax(a>0且a≠1)的图象可能是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【解答】当a>1时，函数f(x)=xa(x⩾0)，g(x)=lgax，在第一象限都是递增函数；
当0故选D．
【分析】对底数a进行讨论，结合幂函数，对数的性质可得答案；
【备注】【点评】本题考查了对数函数、幂函数的图象和性质，属于基础题．
变式1.如图，函数y=1x、y=x、y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )
A．y=x2
B．y=1x
C．y=x12
D．y=x-2
【答案】B
【解析】
∵函数y=xα的图象过④⑧部分，
∴函数y=xα在第一象限内单调递减，
∴α<0；
又x=2时，y=12>12，
∴函数y=xα的图象经过⑧部分，
∴取α=-12，
即函数y=x-12=1x．
故选：B．
【备注】根据幂函数的图象和性质，进行分析判定即可．
本题考查了幂函数的图象和性质，根据幂函数的图象与性质，利用数形结合的方法是解题的关键
例2.幂函数 y=xa，当 a 取不同的正数时，在区间 [0,1] 上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点 A(1,0)，B(0,1)，连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα，y=xβ 的图象三等分，即有 BM=MN=NA．那么，αβ= ( )
A．1B．2C．3D．无法确定
【答案】A
【备注】由题意可得：(23)α=13，(13)β=23．
即 α=lg2313，β=lg1323．
所以 αβ=lg2313⋅lg1323=lg13lg23⋅lg23lg13=1．
变式2.如图是幂函数 y=xm 与 y=xn 在第一象限内的图象，则 ( )
A．-1B．n<-1，0C．-11
D．n<-1，m>1
【答案】B
【解析】如图，作直线 x=2，y=x，
直线 x=2 与各幂函数的图象及 y=x 的图象的交点的纵坐标分别为 2n，2-1，2m，21，
从图中可观察得 2n<2-1<1<2m<21，
由指数函数 y=2x 在 R 上是增函数，可得 n<-1，0考点二.幂函数的性质与应用
例1.【2017年浙江杭州高一上学期期中考试】关于幂函数y=xk及其图象，有下列四个命题：
①其图象一定不通过第四象限；
②当k<0时，其图象关于直线y=x对称；
③当k>0时，函数y=xk是增函数；
④y=xk的图象与y=x-k的图象至少有两个交点
其中正确的命题个数是( ).
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】关于幂函数y=xk及其图象：
①其图象一定不通过第四象限；
因为x>0时，y=xα>0，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故正确；
②当k<0时，如幂函数y=x-2其图象关于直线y=x对称；故错误；
③当k>0时，函数y=xk是增函数；如k=2，不成立，故错误；
④如y=x12和y=1x12有 1 个交点，故错误；
故选：B．
根据幂函数的定义以及性质判断即可．
本题考查幂函数的性质：定义域、过定点、单调性、奇偶性．
变式1.【2020年浙江杭州杭州市长河高级中学高一上学期期中考试数学试卷】已知幂函数 f(x)=xa（a 是常数），则( )
A．f(x) 的图象一定经过点 (1,1)
B．f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增
C．f(x) 的定义域为 R
D．f(x) 的图象有可能经过点 (1,-1)
【答案】A
【解析】A．幂函数 f(x)=xa 的图象过定点 (1,1)，A 正确；
B．a>0 时，幂函数 f(x)=xa 在 (0,+∞) 上单调递增，
a<0 时，幂函数 f(x)=xa 在 (0,+∞) 上单调递减，B 错误；
C．幂函数 f(x)=xa 的定义域与 a 有关，不一定为 R，C 错误；
D．幂函数 f(x)=xa 的图象一定不过第四象限，D 错误．
故选 A
例2.【2017年12月湖北荆州荆州区荆州中学高一上学期月考数学试卷（文科）】幂函数 f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3 在 (0,+∞) 时是减函数，则实数 m 的值为( )
A．2 或 -1B．-1
C．2D．-2 或 1
【答案】B
【解析】由于幂函数 f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3 在 (0,+∞) 时是减函数，
故有 {m2-m-1=1m2+m-3<0
解得 m=-1．
故选 B
【备注】【点睛】：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下三点：
① 若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；
② 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；
③ 复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围．
变式2.【2017年河南商丘商丘市第一中学高一上学期期中考试数学试卷】函数 f(x)=(m2-m-1)xm 是幂函数，且在 x∈(0,+∞) 上为增函数，则实数 m 的值是( )
A．-1B．2C．3D．-1 或 2
【答案】B
【解析】要使函数 f(x)=(m2-m-1)xm 是幂函数，且在 x∈(0,+∞) 上为增函数，
则 {m2-m-1=1m>0
解得：m=2．
故选 B
例3.已知幂函数y=xp2-2p-3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，实数a满足(a2-1)p3<(3a+3)p3，则a的取值范围是( )
A．(-1,4)B．(1,-4)C．(1,4)D．(-4,1)
【答案】A
【解析】
∵幂函数y=xp2-2p-3(p∈N*)在(0,+∞)上是减函数，
∴p2-2p-3<0，解得-1∵p∈N*，
∴p=1或2．
当p=1时，y=x-4为偶函数满足条件，
当p=2时，y=x-3为奇函数不满足条件，
则不等式等价为(a2-1)p3<(3a+3)p3，即(a2-1)13<(3a+3)13，
∵y=x13 R上都为增函数，
∴a2-1<3a+3
解得：-1故答案为：A．
【备注】根据幂函数的性质求出p的值，根据幂函数的单调性得到关于a的不等式解出即可．
本题主要考查不等式的求解，根据幂函数的性质求出幂函数的表达式是解决本题的关键．
变式3.【2019年安徽合肥高一上学期期中考试数学试卷（合肥一中，六中，八中联考）】已知点 (m,8) 在幂函数 f(x)=(m-1)xn 的图象上，设 a=f(32)， b=f(lg49)， c=f((12)0.5)，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．aC．c【答案】C
【解析】因为点 (m,8) 在幂函数 f(x)=(m-1)xn 的图象上．
解得 m=2，n=3，则 f(x)=x3．
所以 f(x) 在 (-∞,+∞) 上单调递增．
又因为(12)0.5<32所以 f((12)0.5)故选 C
例4.【2018年9月陕西西安碑林区高一上学期月考数学试卷（第一次月考）】设 a=(35)25，b=(25)35，c=(25)25，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
【答案】A
【解析】【分析】：根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．
∵y=x25 在 x>0 时是增函数，
∴a>c，
又 ∵y=(25)x 在 x>0 时是减函数，所以 c>b．
故选 A
【备注】本题主要考查幂函数与指数的关系，要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题．
变式4.【2018年陕西西安西安市第一中学高一上学期期中考试数学试卷】已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图像上，设a=f(33)，b=f(lnπ)，c=f(22)，则a,b,c的大小关系为( )
A．aC．b【答案】A
【解析】由幂函数的定义知，m-1=1，求得m=2．所以f(x)=xn．将点(2,8)代入函数f(x)=xn中，求得f(2)=2n=8，所以n=3，所以函数式为f(x)=x3在R上单调递增．因为(13)12<(12)12=2-12都小于1，而lnπ>1，所以(13)12<2-12变式5.【2017年浙江杭州西湖区学军中学紫金港校区高一上学期期中考试数学试卷】已知函数f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=2(x-x2)，ai=i9(i=0,1,2,⋯,8,9)，记Lk=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+⋯+|fk(a9)-fk(a8)|(k=1,2,3)，则( )
A．L1B．L2C．L3D．L3【答案】D
【解析】由题意知L1=f1(a9)-f1(a0)=1-0=1，
L3=f3(a4)+f3(a5)-f3(a9)-f3(a0)=8081>0，
L2=f2(a0)-f2(a0)=1-0=1，，
故选D．
考点三.二次函数的解析式
例1 (1)已知二次函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (0)＝3，对∀x∈R，都有f (1＋x)＝f (1－x)成立，则f (x)的解析式为________________．
答案 f (x)＝x2－2x＋3
解析 由f (0)＝3，得c＝3，
又f (1＋x)＝f (1－x)，
∴函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，
∴eq \f(b,2)＝1，∴b＝2，∴f (x)＝x2－2x＋3.
(2)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f (x)的最小值为f (－1)＝0，则f (x)＝________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设函数f (x)的解析式为f (x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f (x)＝ax2＋bx＋1，
所以a＝1，b＝2a＝2，故f (x)＝x2＋2x＋1.
变式1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
解析：设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：x2＋2x＋1
变式2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
考点四.二次函数的图形与性质
例1 (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－eq \f(b,2a)<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.
(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，已知图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正确的是________．(填序号)
答案 ①④
解析 图象与x轴交于两点，∴b2>4ac，①正确；对称轴为直线x＝－1，∴－eq \f(b,2a)＝－1，即2a－b＝0，②错误；f (－1)>0，∴a－b＋c>0，③错误；开口向下，a<0，b＝2a，∴5a<2a＝b，④正确，故正确的结论是①④.
变式1.(1)已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
(2)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝eq \f(3－a,2a)，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a＜0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
(2)由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，则bx＝2x，cx＝3x.易知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)，即f(bx)≤f(cx)．故选A.
[答案] (1)D (2)A
例2．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
解析：选A 二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝eq \f(2,k)，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需eq \f(2,k)≤1，解得k≥2.
当k＜0时，eq \f(2,k)＜0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
变式2．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(3,4) D．1
解析：选D 设x＜0，则－x>0.
有f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2，又∵f(－x)＝f(x)，
∴当x＜0时，f(x)＝(x＋1)2，
∴该函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))上的最大值为1，最小值为0，
依题意，n≤f(x)≤m恒成立，
则n≤0，m≥1，即m－n≥1，故m－n的最小值为1.
变式3．[设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.
当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2＋1，t＜0，,1，0≤t≤1，,t2－2t＋2，t>1.))
课后习题
一.单选题
1.如图，函数y=1x、y=x、y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )
A．y=x2
B．y=1x
C．y=x12
D．y=x-2
【答案】B
【解析】
∵函数y=xα的图象过④⑧部分，
∴函数y=xα在第一象限内单调递减，
∴α<0；
又x=2时，y=12>12，
∴函数y=xα的图象经过⑧部分，
∴取α=-12，
即函数y=x-12=1x．
故选：B．
【备注】根据幂函数的图象和性质，进行分析判定即可．
本题考查了幂函数的图象和性质，根据幂函数的图象与性质，利用数形结合的方法是解题的关键．
2.在同一直角坐标系中，函数 f(x)=xa(x≥0)，g(x)=lgax 的图像可能是 ( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】本题考查幂函数、对数函数的图象和性质，对于对数函数，当底大于 1 时，图象单调递增，当 00 时，幂函数在 (0,+∞) 都是增函数．
当 a>1 时，幂函数和对数函数都递增，但幂函数图象下凸，没有符合的．
当 0故选 D
3．若幂函数f (x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
答案 B
解析 由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，
解得m＝1.
4．已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
答案 A
解析 由f (0)＝f (4)，得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x)先减后增，于是a>0，故选A.
5.幂函数y=f(x)经过点(4,2)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0,+∞).上是增函数B．偶函数，且在(0,+∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0,+∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0,+∞)上是增函数
【答案】D
【解析】
设幂函数为：y=xa，
∵幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2)，
∴2=4a，
∴a=12，
∴f(x)=x，
则f(x)是非奇非偶函数，且在(0,+∞)递增，
故选：D．
【备注】设出幂函数的解析式，利用已知条件求出幂函数的解析式，判断即可．
本题考查幂函数的解析式的应用，基本知识的考查．
6．(2020·福州模拟)若二次函数y＝x2＋ax＋1对于一切x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))恒有y≥0成立，则a的最小值是( )
A．0 B．2 C．－eq \f(5,2) D．－3
答案 C
解析 设g(x)＝x2＋ax＋1，x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，则g(x)≥0在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上恒成立，即a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上恒成立．又h(x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上为单调递增函数，当x＝eq \f(1,2)时，h(x)max＝heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，所以a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋2))即可，解得a≥－eq \f(5,2).
7.已知点 (2,8) 在幂函数 f(x)=xn 的图象上，设 a=f(13)12，b=f(lnπ)，c=f(-12)，则 a，b，c 的大小关系为 ( )
A．cC．b【答案】A
【解析】本题考查幂函数的定义和性质，涉及指数对数函数的性质，属基础题，根据已知求出 n=3，得到 f(x) 单调性，进而进行判断．
∵ 点 (2,8) 在幂函数 f(x)=xn 的图象上．
∴2n=8．
∴n=3．
∴f(x)=x3，在 R 上是单增函数．
又 ∵0<(13)12<1，lnπ>1，-12<0．
∴c故选 A
8.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上，设a=f(55)，b=f(ln3)，c=f(22)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b【答案】A
【解析】
因为f(x)=(m-1)xn为幂函数，所以m=2，
又点(m,8)在幂函数的图象上，所以2n=8⇒n=3，
所以f(x)=x3，在R上为增函数，
而55<22所以b>c>a ，
故选A．
【备注】本题考查幂函数的定义及性质，
根据幂函数的定义得m=2，从而得f(x)=x3，在R上为增函数，而55<22二.多选题
9．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0,3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3,0)
答案 ABD
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝2，))解得b＝－4a，c＝3a，
所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.
10．(多选)已知函数f (x)＝2x，g(x)＝x2－ax，对于不相等的实数x1，x2，设m＝eq \f(fx1－fx2,x1－x2)，n＝eq \f(gx1－gx2,x1－x2)，现有如下说法，其中正确的是( )
A．对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0
B．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0
C．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝n
D．存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n
答案 AD
解析 任取x1≠x2，则m＝eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＝eq \f(2x1－2x2,x1－x2)＝2＞0，A正确；
由二次函数的单调性可得g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(a,2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，＋∞))上单调递增，可取x1＝0，x2＝a，则n＝eq \f(gx1－gx2,x1－x2)＝eq \f(g0－ga,0－a)＝eq \f(0－0,0－a)＝0，B错误；
m＝2，n＝eq \f(gx1－gx2,x1－x2)＝eq \f(x\\al(2,1)－ax1－x\\al(2,2)＋ax2,x1－x2)
＝eq \f(x1－x2x1＋x2－a,x1－x2)
＝x1＋x2－a，则m＝n不恒成立，C错误；
m＝2，n＝x1＋x2－a，若m＝n，则x1＋x2－a＝2，
只需x1＋x2＝a＋2即可，D正确．
11．(多选)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)＝x－x2，则下列说法正确的是( )
A．f (x)的最大值为eq \f(1,4)
B．f (x)在(－1,0)上是增函数
C．f (x)＞0的解集为(－1,1)
D．f (x)＋2x≥0的解集为[0,3]
答案 AD
解析 ∵x≥0时，f (x)＝x－x2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)，
∴f (x)的最大值为eq \f(1,4)，A正确；
f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))上是减函数，B错误；
f (x)＞0的解集为(－1,0)∪(0,1)，C错误；
x≥0时，f (x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0,3]，
x＜0时，f (x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确．
三.填空题
12．如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥8
解析 函数图象的对称轴为x＝eq \f(a,2)，由题意得eq \f(a,2)≥4，解得a≥8.
13．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若∀x1∈[－1,2]，∃x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是________．
答案 [3，＋∞)
解析 由函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x∈[－1,2]时，f(x)min＝f(1)＝－1，
f(x)max＝f(－1)＝3，即函数f(x)的值域为[－1,3]，当x∈[－1,2]时，函数g(x)min＝g(－1)＝－a＋2，g(x)max＝g(2)＝2a＋2，若满足题意则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋2≤－1，,2a＋2≥3，))
解得a≥3.
14.幂函数 f(x)=xn(n∈{1,2,3,12,-1}) 具有如下性质：f2(1)+f2(-1)=2[f(1)+f(-1)-1]，则函数 f(x) 是________．（填“奇函数”，“偶函数”或“非奇非偶函数”）
【答案】偶函数
【解析】f2(1)+f2(-1)=2[f(1)+f(-1)-1]
整理后可得 [f(1)-1]2+[f(-1)-1]2=0，
即 f(1)=f(-1)=1．
易知只有当 n=2 时满足条件，
即 f(x)=x2，为偶函数．
15. y=xa2-4a-9 是偶函数，且在 (0,+∞) 是减函数，则整数 a 的值是________．
【答案】 -1、1、3、5
【解析】函数 y=xa2-4a-9 是 (0,+∞) 是减函数．所以 a2-4a-9<0，解得 2-13所以 a=-1、1、3、5．
16.给出下列命题：
(1)幂函数的图象都过点(1,1)，(0,0)；
(2)幂函数的图象不可能是一条直线；
(3)n=0时，函数y=xn的图象是一条直线；
(4)幂函数y=xn，当n>0时，是增函数；
(5)幂函数y=xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减少.其中正确的命题序号为 ________ ．
【答案】
(5)
【解析】
(1)对于y=x-1，其图象不过(0,0)，故可排除(1)；
(2)幂函数y=x的图象是一条直线，故可排除(2)；
(3)n=0时，函数y=xn的图象不是一条直线(点(0,1)除外)，故可排除(3)；
(4)幂函数y=x2，在其定义域R上不是增函数，故可排除(4)；
(5)幂函数y=xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减少，正确．
故答案为：(5)．
【备注】可采用特值法、排除法等根据幂函数的性质逐个判断即可．
本题考查幂函数的性质，着重考查其过定点、在第一象限的单调性等性质，属于中档题．
四．解答题
17.已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N*)的图象关于原点对称，且在R上单调递增．
(1) 求f(x)表达式
(2) 求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围．
【答案】f(x)=x3
【解析】因为函数在R上单调递增，所以9-3m>0，解得m<3，
又因为m∈N*，所以m=1，2，
又因为函数图象关于原点对称，所以9-3m为奇数，故m=2，
所以函数表达式为f(x)=x3
【备注】根据幂函数在R上是增函数，可以确定9-3m>0，再根据的图象关于原点对称，即可得到f(x)为奇函数，从而确定m的值，求出f(x)的表达式
【答案】(-∞,34)).
【解析】因为函数f(x)=x3图象关于原点对称，所以f(x)是R上的奇函数，
所以f(a+1)+f(3a-4)<0可化为：f(a+1)又f(x)是R上的增函数，所以a+1<4-3a，解得a<34，
故a的取值范围是(-∞,34)).
【备注】利用幂函数的性质，即可列出关于a的不等式，求解不等式可以求得a的取值范围
18.已知幂函数 g(x) 过点 (2,12)，且 f(x)=x2+ag(x)．
(1) 求 g(x) 的解析式；
(2) 讨论函数 f(x) 的奇偶性，并说明理由．
【答案】g(x)=1x
【解析】设幂函数的解析式 g(x)=xα，
因为幂函数 g(x) 过点 (2,12)，
所以 2α=12，解得：α=-1．
∴g(x)=1x．
【答案】见解析
【解析】由 (1) 得：f(x)=x2+ax，
① 当 a=0 时，f(x)=x2，
由于 f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，可知 f(x) 为偶函数；
② 当 a≠0 时，
由于 f(-x)=(-x)2+a-x=x2-ax≠x2+ax=f(x)，
且 f(-x)=(-x)2+a-x=x2-ax≠-(x2+ax)=-f(x)，
所以 f(x) 是非奇非偶函数．
19.已知幂函数 f(x)=xm2-2m-3(m∈Z) 为偶函数，且在区间 (0,+∞) 内是单调递减函数．
(1) 求函数 f(x) 的解析式；
(2) 讨论函数 F(x)=af(x)-bxf(x) 的奇偶性．
【答案】(1) f(x)=x-4
(2) ① a≠0 且 b≠0 时，F(x) 为非奇非偶函数；② a=0 且 b≠0 时，F(x)为奇函数；③ a≠0 且 b=0 时，F(x) 为偶函数；④ a=b=0 时，F(x) 为且奇且偶函数
【解析】本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用．
要理解好函数单调性和奇偶性的定义并能灵活利用．
(1) 由幂函数 f(x) 为 (0,+∞) 上递减，推知 m2-2m-3<0，解得 -1因为 m 为整数，故 m=0，1 或 2，又通过函数为偶函数，推知 m2-2m-3 为偶数，进而推知 m2-2m 为奇数，进而推知 m 只能是 1，把 m 代入函数，即可得到 f(x) 的解析式．
f(x)=xm2-2m-3=xm(m-2)-3．
由题意知 m(m-2) 为奇数．
又 m∈Z．
且 f(x) 在 (0,+∞) 上递减．
∴m=1，f(x)=x-4．
(2) 把 f(x) 的解析式代入 F(x)，得到 F(x) 的解析式．
然后分别讨论 a≠0 且 b≠0 时，a=0 且 b≠0 时，a≠0 且 b=0 时以及 a=b=0 时函数的奇偶性．
F(x)=ax-4-bx×x-4=a×x-2-b×x3(x≠0)．
∵y=x-2 是偶函数，y=x3 是奇函数．
① a≠0 且 b≠0 时，F(x) 为非奇非偶函数．
② a=0 且 b≠0 时，F(x) 为奇函数．
③ a≠0 且 b=0 时，F(x) 为偶函数．
④ a=b=0 时，F(x) 为且奇且偶函数．
20．已知函数f (x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f (x)的值域；
(2)若函数f (x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解 (1)当a＝2时，f (x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
函数图象的对称轴为x＝－eq \f(3,2)∈[－2,3]，
∴f (x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－eq \f(9,2)－3＝－eq \f(21,4)，
f (x)max＝f (3)＝15，
∴f (x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，15)).排列特点：第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.
图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点．
三点注意：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y＝x－1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；
(2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x轴，类似于y＝xeq \f(1,2)的图象；
(3)当α>1时，函数图象倾向y轴，类似于y＝x3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大.
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
对称轴
x＝－eq \f(b,2a)
顶点坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
对于形如f(x)＝xeq \f(n,m)(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的3种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
课前检测
1.已知 f(x)=ax2a+1-b+1 是幂函数，则 a+b=( )
A．2B．1
C．12D．0
【答案】A
【解析】本题考查幂函数的知识．
由题可得 a=1，-b+1=0，进而求出 a+b．
f(x)=ax2a+1-b+1 是幂函数．
可得 a=1，-b+1=0．
∴b=1．
a+b=2．
故选 A
2.幂函数 y=(m2-m-1)xm2-2m-3，当 x∈(0,+∞) 时为减函数，则实数 m 的值为( )
A．m=-1 或 2
B．m=-1
C．m=2
D．m=1±52
【答案】C
【解析】∵y=(m2-m-1)xm2-2m-3 为幂函数，
∴m2-m-1=1，即 m2-m-2=0，解得：m=2 或 m=-1．
当 m=2 时，m2-2m-3=-3，y=x-3 在 (0,+∞) 上为减函数；
当 m=-1 时，m2-2m-3=0，y=x0=1(x≠0) 在 (0,+∞) 上为常数函数（舍去），
∴ 使幂函数 y=(m2-m-1)xm2-2m-3 为 (0,+∞) 上的减函数的实数 m 的值 2．
故选 C
3.幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如图所示，以下结论正确的是( )
A．m>n>pB．m>p>n
C．n>p>mD．p>n>m
【答案】C
【解析】
在(0,1)内取同一值x0，
作直线x=x0，与各图象有交点．
则由“点低指数大”，知：n>p>m，
故选：C．
【备注】本题考查幂函数的图象的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意数形结合思想的合理运用
4．已知函数f (x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
答案 D
解析 函数f (x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
5．(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－eq \f(\r(2),2)，0)
解析 作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm<0，,fm＋1<0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m2－1<0，,m＋12＋mm＋1－1<0，))解得－eq \f(\r(2),2)
考点一.幂函数的图像与定义
例1.【2018年浙江衢州高一上学期期中考试数学试卷四校】在同一直角坐标系中，函数f(x)=xa(x⩾0)，g(x)=lgax(a>0且a≠1)的图象可能是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【解答】当a>1时，函数f(x)=xa(x⩾0)，g(x)=lgax，在第一象限都是递增函数；
当0
【分析】对底数a进行讨论，结合幂函数，对数的性质可得答案；
【备注】【点评】本题考查了对数函数、幂函数的图象和性质，属于基础题．
变式1.如图，函数y=1x、y=x、y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )
A．y=x2
B．y=1x
C．y=x12
D．y=x-2
【答案】B
【解析】
∵函数y=xα的图象过④⑧部分，
∴函数y=xα在第一象限内单调递减，
∴α<0；
又x=2时，y=12>12，
∴函数y=xα的图象经过⑧部分，
∴取α=-12，
即函数y=x-12=1x．
故选：B．
【备注】根据幂函数的图象和性质，进行分析判定即可．
本题考查了幂函数的图象和性质，根据幂函数的图象与性质，利用数形结合的方法是解题的关键
例2.幂函数 y=xa，当 a 取不同的正数时，在区间 [0,1] 上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点 A(1,0)，B(0,1)，连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα，y=xβ 的图象三等分，即有 BM=MN=NA．那么，αβ= ( )
A．1B．2C．3D．无法确定
【答案】A
【备注】由题意可得：(23)α=13，(13)β=23．
即 α=lg2313，β=lg1323．
所以 αβ=lg2313⋅lg1323=lg13lg23⋅lg23lg13=1．
变式2.如图是幂函数 y=xm 与 y=xn 在第一象限内的图象，则 ( )
A．-1
D．n<-1，m>1
【答案】B
【解析】如图，作直线 x=2，y=x，
直线 x=2 与各幂函数的图象及 y=x 的图象的交点的纵坐标分别为 2n，2-1，2m，21，
从图中可观察得 2n<2-1<1<2m<21，
由指数函数 y=2x 在 R 上是增函数，可得 n<-1，0
例1.【2017年浙江杭州高一上学期期中考试】关于幂函数y=xk及其图象，有下列四个命题：
①其图象一定不通过第四象限；
②当k<0时，其图象关于直线y=x对称；
③当k>0时，函数y=xk是增函数；
④y=xk的图象与y=x-k的图象至少有两个交点
其中正确的命题个数是( ).
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】关于幂函数y=xk及其图象：
①其图象一定不通过第四象限；
因为x>0时，y=xα>0，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故正确；
②当k<0时，如幂函数y=x-2其图象关于直线y=x对称；故错误；
③当k>0时，函数y=xk是增函数；如k=2，不成立，故错误；
④如y=x12和y=1x12有 1 个交点，故错误；
故选：B．
根据幂函数的定义以及性质判断即可．
本题考查幂函数的性质：定义域、过定点、单调性、奇偶性．
变式1.【2020年浙江杭州杭州市长河高级中学高一上学期期中考试数学试卷】已知幂函数 f(x)=xa（a 是常数），则( )
A．f(x) 的图象一定经过点 (1,1)
B．f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增
C．f(x) 的定义域为 R
D．f(x) 的图象有可能经过点 (1,-1)
【答案】A
【解析】A．幂函数 f(x)=xa 的图象过定点 (1,1)，A 正确；
B．a>0 时，幂函数 f(x)=xa 在 (0,+∞) 上单调递增，
a<0 时，幂函数 f(x)=xa 在 (0,+∞) 上单调递减，B 错误；
C．幂函数 f(x)=xa 的定义域与 a 有关，不一定为 R，C 错误；
D．幂函数 f(x)=xa 的图象一定不过第四象限，D 错误．
故选 A
例2.【2017年12月湖北荆州荆州区荆州中学高一上学期月考数学试卷（文科）】幂函数 f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3 在 (0,+∞) 时是减函数，则实数 m 的值为( )
A．2 或 -1B．-1
C．2D．-2 或 1
【答案】B
【解析】由于幂函数 f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3 在 (0,+∞) 时是减函数，
故有 {m2-m-1=1m2+m-3<0
解得 m=-1．
故选 B
【备注】【点睛】：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下三点：
① 若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；
② 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；
③ 复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围．
变式2.【2017年河南商丘商丘市第一中学高一上学期期中考试数学试卷】函数 f(x)=(m2-m-1)xm 是幂函数，且在 x∈(0,+∞) 上为增函数，则实数 m 的值是( )
A．-1B．2C．3D．-1 或 2
【答案】B
【解析】要使函数 f(x)=(m2-m-1)xm 是幂函数，且在 x∈(0,+∞) 上为增函数，
则 {m2-m-1=1m>0
解得：m=2．
故选 B
例3.已知幂函数y=xp2-2p-3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，实数a满足(a2-1)p3<(3a+3)p3，则a的取值范围是( )
A．(-1,4)B．(1,-4)C．(1,4)D．(-4,1)
【答案】A
【解析】
∵幂函数y=xp2-2p-3(p∈N*)在(0,+∞)上是减函数，
∴p2-2p-3<0，解得-1
∴p=1或2．
当p=1时，y=x-4为偶函数满足条件，
当p=2时，y=x-3为奇函数不满足条件，
则不等式等价为(a2-1)p3<(3a+3)p3，即(a2-1)13<(3a+3)13，
∵y=x13 R上都为增函数，
∴a2-1<3a+3
解得：-1
【备注】根据幂函数的性质求出p的值，根据幂函数的单调性得到关于a的不等式解出即可．
本题主要考查不等式的求解，根据幂函数的性质求出幂函数的表达式是解决本题的关键．
变式3.【2019年安徽合肥高一上学期期中考试数学试卷（合肥一中，六中，八中联考）】已知点 (m,8) 在幂函数 f(x)=(m-1)xn 的图象上，设 a=f(32)， b=f(lg49)， c=f((12)0.5)，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a
【解析】因为点 (m,8) 在幂函数 f(x)=(m-1)xn 的图象上．
解得 m=2，n=3，则 f(x)=x3．
所以 f(x) 在 (-∞,+∞) 上单调递增．
又因为(12)0.5<32
例4.【2018年9月陕西西安碑林区高一上学期月考数学试卷（第一次月考）】设 a=(35)25，b=(25)35，c=(25)25，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
【答案】A
【解析】【分析】：根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．
∵y=x25 在 x>0 时是增函数，
∴a>c，
又 ∵y=(25)x 在 x>0 时是减函数，所以 c>b．
故选 A
【备注】本题主要考查幂函数与指数的关系，要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题．
变式4.【2018年陕西西安西安市第一中学高一上学期期中考试数学试卷】已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图像上，设a=f(33)，b=f(lnπ)，c=f(22)，则a,b,c的大小关系为( )
A．a
【解析】由幂函数的定义知，m-1=1，求得m=2．所以f(x)=xn．将点(2,8)代入函数f(x)=xn中，求得f(2)=2n=8，所以n=3，所以函数式为f(x)=x3在R上单调递增．因为(13)12<(12)12=2-12都小于1，而lnπ>1，所以(13)12<2-12
A．L1
【解析】由题意知L1=f1(a9)-f1(a0)=1-0=1，
L3=f3(a4)+f3(a5)-f3(a9)-f3(a0)=8081>0，
L2=f2(a0)-f2(a0)=1-0=1，，
故选D．
考点三.二次函数的解析式
例1 (1)已知二次函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (0)＝3，对∀x∈R，都有f (1＋x)＝f (1－x)成立，则f (x)的解析式为________________．
答案 f (x)＝x2－2x＋3
解析 由f (0)＝3，得c＝3，
又f (1＋x)＝f (1－x)，
∴函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，
∴eq \f(b,2)＝1，∴b＝2，∴f (x)＝x2－2x＋3.
(2)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f (x)的最小值为f (－1)＝0，则f (x)＝________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设函数f (x)的解析式为f (x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f (x)＝ax2＋bx＋1，
所以a＝1，b＝2a＝2，故f (x)＝x2＋2x＋1.
变式1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
解析：设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：x2＋2x＋1
变式2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
考点四.二次函数的图形与性质
例1 (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－eq \f(b,2a)<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.
(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，已知图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a
答案 ①④
解析 图象与x轴交于两点，∴b2>4ac，①正确；对称轴为直线x＝－1，∴－eq \f(b,2a)＝－1，即2a－b＝0，②错误；f (－1)>0，∴a－b＋c>0，③错误；开口向下，a<0，b＝2a，∴5a<2a＝b，④正确，故正确的结论是①④.
变式1.(1)已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
(2)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝eq \f(3－a,2a)，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a＜0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
(2)由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，则bx＝2x，cx＝3x.易知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)，即f(bx)≤f(cx)．故选A.
[答案] (1)D (2)A
例2．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
解析：选A 二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝eq \f(2,k)，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需eq \f(2,k)≤1，解得k≥2.
当k＜0时，eq \f(2,k)＜0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
变式2．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(3,4) D．1
解析：选D 设x＜0，则－x>0.
有f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2，又∵f(－x)＝f(x)，
∴当x＜0时，f(x)＝(x＋1)2，
∴该函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))上的最大值为1，最小值为0，
依题意，n≤f(x)≤m恒成立，
则n≤0，m≥1，即m－n≥1，故m－n的最小值为1.
变式3．[设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.
当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2＋1，t＜0，,1，0≤t≤1，,t2－2t＋2，t>1.))
课后习题
一.单选题
1.如图，函数y=1x、y=x、y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )
A．y=x2
B．y=1x
C．y=x12
D．y=x-2
【答案】B
【解析】
∵函数y=xα的图象过④⑧部分，
∴函数y=xα在第一象限内单调递减，
∴α<0；
又x=2时，y=12>12，
∴函数y=xα的图象经过⑧部分，
∴取α=-12，
即函数y=x-12=1x．
故选：B．
【备注】根据幂函数的图象和性质，进行分析判定即可．
本题考查了幂函数的图象和性质，根据幂函数的图象与性质，利用数形结合的方法是解题的关键．
2.在同一直角坐标系中，函数 f(x)=xa(x≥0)，g(x)=lgax 的图像可能是 ( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】本题考查幂函数、对数函数的图象和性质，对于对数函数，当底大于 1 时，图象单调递增，当 0
当 a>1 时，幂函数和对数函数都递增，但幂函数图象下凸，没有符合的．
当 0
3．若幂函数f (x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
答案 B
解析 由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，
解得m＝1.
4．已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
答案 A
解析 由f (0)＝f (4)，得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x)先减后增，于是a>0，故选A.
5.幂函数y=f(x)经过点(4,2)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0,+∞).上是增函数B．偶函数，且在(0,+∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0,+∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0,+∞)上是增函数
【答案】D
【解析】
设幂函数为：y=xa，
∵幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2)，
∴2=4a，
∴a=12，
∴f(x)=x，
则f(x)是非奇非偶函数，且在(0,+∞)递增，
故选：D．
【备注】设出幂函数的解析式，利用已知条件求出幂函数的解析式，判断即可．
本题考查幂函数的解析式的应用，基本知识的考查．
6．(2020·福州模拟)若二次函数y＝x2＋ax＋1对于一切x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))恒有y≥0成立，则a的最小值是( )
A．0 B．2 C．－eq \f(5,2) D．－3
答案 C
解析 设g(x)＝x2＋ax＋1，x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，则g(x)≥0在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上恒成立，即a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上恒成立．又h(x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上为单调递增函数，当x＝eq \f(1,2)时，h(x)max＝heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，所以a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋2))即可，解得a≥－eq \f(5,2).
7.已知点 (2,8) 在幂函数 f(x)=xn 的图象上，设 a=f(13)12，b=f(lnπ)，c=f(-12)，则 a，b，c 的大小关系为 ( )
A．c
【解析】本题考查幂函数的定义和性质，涉及指数对数函数的性质，属基础题，根据已知求出 n=3，得到 f(x) 单调性，进而进行判断．
∵ 点 (2,8) 在幂函数 f(x)=xn 的图象上．
∴2n=8．
∴n=3．
∴f(x)=x3，在 R 上是单增函数．
又 ∵0<(13)12<1，lnπ>1，-12<0．
∴c
8.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上，设a=f(55)，b=f(ln3)，c=f(22)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
【解析】
因为f(x)=(m-1)xn为幂函数，所以m=2，
又点(m,8)在幂函数的图象上，所以2n=8⇒n=3，
所以f(x)=x3，在R上为增函数，
而55<22
故选A．
【备注】本题考查幂函数的定义及性质，
根据幂函数的定义得m=2，从而得f(x)=x3，在R上为增函数，而55<22
9．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0,3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3,0)
答案 ABD
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝2，))解得b＝－4a，c＝3a，
所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.
10．(多选)已知函数f (x)＝2x，g(x)＝x2－ax，对于不相等的实数x1，x2，设m＝eq \f(fx1－fx2,x1－x2)，n＝eq \f(gx1－gx2,x1－x2)，现有如下说法，其中正确的是( )
A．对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0
B．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0
C．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝n
D．存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n
答案 AD
解析 任取x1≠x2，则m＝eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＝eq \f(2x1－2x2,x1－x2)＝2＞0，A正确；
由二次函数的单调性可得g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(a,2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，＋∞))上单调递增，可取x1＝0，x2＝a，则n＝eq \f(gx1－gx2,x1－x2)＝eq \f(g0－ga,0－a)＝eq \f(0－0,0－a)＝0，B错误；
m＝2，n＝eq \f(gx1－gx2,x1－x2)＝eq \f(x\\al(2,1)－ax1－x\\al(2,2)＋ax2,x1－x2)
＝eq \f(x1－x2x1＋x2－a,x1－x2)
＝x1＋x2－a，则m＝n不恒成立，C错误；
m＝2，n＝x1＋x2－a，若m＝n，则x1＋x2－a＝2，
只需x1＋x2＝a＋2即可，D正确．
11．(多选)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)＝x－x2，则下列说法正确的是( )
A．f (x)的最大值为eq \f(1,4)
B．f (x)在(－1,0)上是增函数
C．f (x)＞0的解集为(－1,1)
D．f (x)＋2x≥0的解集为[0,3]
答案 AD
解析 ∵x≥0时，f (x)＝x－x2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)，
∴f (x)的最大值为eq \f(1,4)，A正确；
f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))上是减函数，B错误；
f (x)＞0的解集为(－1,0)∪(0,1)，C错误；
x≥0时，f (x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0,3]，
x＜0时，f (x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确．
三.填空题
12．如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥8
解析 函数图象的对称轴为x＝eq \f(a,2)，由题意得eq \f(a,2)≥4，解得a≥8.
13．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若∀x1∈[－1,2]，∃x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是________．
答案 [3，＋∞)
解析 由函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x∈[－1,2]时，f(x)min＝f(1)＝－1，
f(x)max＝f(－1)＝3，即函数f(x)的值域为[－1,3]，当x∈[－1,2]时，函数g(x)min＝g(－1)＝－a＋2，g(x)max＝g(2)＝2a＋2，若满足题意则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋2≤－1，,2a＋2≥3，))
解得a≥3.
14.幂函数 f(x)=xn(n∈{1,2,3,12,-1}) 具有如下性质：f2(1)+f2(-1)=2[f(1)+f(-1)-1]，则函数 f(x) 是________．（填“奇函数”，“偶函数”或“非奇非偶函数”）
【答案】偶函数
【解析】f2(1)+f2(-1)=2[f(1)+f(-1)-1]
整理后可得 [f(1)-1]2+[f(-1)-1]2=0，
即 f(1)=f(-1)=1．
易知只有当 n=2 时满足条件，
即 f(x)=x2，为偶函数．
15. y=xa2-4a-9 是偶函数，且在 (0,+∞) 是减函数，则整数 a 的值是________．
【答案】 -1、1、3、5
【解析】函数 y=xa2-4a-9 是 (0,+∞) 是减函数．所以 a2-4a-9<0，解得 2-13
16.给出下列命题：
(1)幂函数的图象都过点(1,1)，(0,0)；
(2)幂函数的图象不可能是一条直线；
(3)n=0时，函数y=xn的图象是一条直线；
(4)幂函数y=xn，当n>0时，是增函数；
(5)幂函数y=xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减少.其中正确的命题序号为 ________ ．
【答案】
(5)
【解析】
(1)对于y=x-1，其图象不过(0,0)，故可排除(1)；
(2)幂函数y=x的图象是一条直线，故可排除(2)；
(3)n=0时，函数y=xn的图象不是一条直线(点(0,1)除外)，故可排除(3)；
(4)幂函数y=x2，在其定义域R上不是增函数，故可排除(4)；
(5)幂函数y=xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减少，正确．
故答案为：(5)．
【备注】可采用特值法、排除法等根据幂函数的性质逐个判断即可．
本题考查幂函数的性质，着重考查其过定点、在第一象限的单调性等性质，属于中档题．
四．解答题
17.已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N*)的图象关于原点对称，且在R上单调递增．
(1) 求f(x)表达式
(2) 求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围．
【答案】f(x)=x3
【解析】因为函数在R上单调递增，所以9-3m>0，解得m<3，
又因为m∈N*，所以m=1，2，
又因为函数图象关于原点对称，所以9-3m为奇数，故m=2，
所以函数表达式为f(x)=x3
【备注】根据幂函数在R上是增函数，可以确定9-3m>0，再根据的图象关于原点对称，即可得到f(x)为奇函数，从而确定m的值，求出f(x)的表达式
【答案】(-∞,34)).
【解析】因为函数f(x)=x3图象关于原点对称，所以f(x)是R上的奇函数，
所以f(a+1)+f(3a-4)<0可化为：f(a+1)
故a的取值范围是(-∞,34)).
【备注】利用幂函数的性质，即可列出关于a的不等式，求解不等式可以求得a的取值范围
18.已知幂函数 g(x) 过点 (2,12)，且 f(x)=x2+ag(x)．
(1) 求 g(x) 的解析式；
(2) 讨论函数 f(x) 的奇偶性，并说明理由．
【答案】g(x)=1x
【解析】设幂函数的解析式 g(x)=xα，
因为幂函数 g(x) 过点 (2,12)，
所以 2α=12，解得：α=-1．
∴g(x)=1x．
【答案】见解析
【解析】由 (1) 得：f(x)=x2+ax，
① 当 a=0 时，f(x)=x2，
由于 f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，可知 f(x) 为偶函数；
② 当 a≠0 时，
由于 f(-x)=(-x)2+a-x=x2-ax≠x2+ax=f(x)，
且 f(-x)=(-x)2+a-x=x2-ax≠-(x2+ax)=-f(x)，
所以 f(x) 是非奇非偶函数．
19.已知幂函数 f(x)=xm2-2m-3(m∈Z) 为偶函数，且在区间 (0,+∞) 内是单调递减函数．
(1) 求函数 f(x) 的解析式；
(2) 讨论函数 F(x)=af(x)-bxf(x) 的奇偶性．
【答案】(1) f(x)=x-4
(2) ① a≠0 且 b≠0 时，F(x) 为非奇非偶函数；② a=0 且 b≠0 时，F(x)为奇函数；③ a≠0 且 b=0 时，F(x) 为偶函数；④ a=b=0 时，F(x) 为且奇且偶函数
【解析】本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用．
要理解好函数单调性和奇偶性的定义并能灵活利用．
(1) 由幂函数 f(x) 为 (0,+∞) 上递减，推知 m2-2m-3<0，解得 -1
f(x)=xm2-2m-3=xm(m-2)-3．
由题意知 m(m-2) 为奇数．
又 m∈Z．
且 f(x) 在 (0,+∞) 上递减．
∴m=1，f(x)=x-4．
(2) 把 f(x) 的解析式代入 F(x)，得到 F(x) 的解析式．
然后分别讨论 a≠0 且 b≠0 时，a=0 且 b≠0 时，a≠0 且 b=0 时以及 a=b=0 时函数的奇偶性．
F(x)=ax-4-bx×x-4=a×x-2-b×x3(x≠0)．
∵y=x-2 是偶函数，y=x3 是奇函数．
① a≠0 且 b≠0 时，F(x) 为非奇非偶函数．
② a=0 且 b≠0 时，F(x) 为奇函数．
③ a≠0 且 b=0 时，F(x) 为偶函数．
④ a=b=0 时，F(x) 为且奇且偶函数．
20．已知函数f (x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f (x)的值域；
(2)若函数f (x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解 (1)当a＝2时，f (x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
函数图象的对称轴为x＝－eq \f(3,2)∈[－2,3]，
∴f (x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－eq \f(9,2)－3＝－eq \f(21,4)，
f (x)max＝f (3)＝15，
∴f (x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，15)).排列特点：第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.
图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点．
三点注意：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y＝x－1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；
(2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x轴，类似于y＝xeq \f(1,2)的图象；
(3)当α>1时，函数图象倾向y轴，类似于y＝x3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大.
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
对称轴
x＝－eq \f(b,2a)
顶点坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数
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