第九章 第十节 高考中概率与统计问题-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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例1.（2020•北京朝阳区）体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度（单位：）平均在之间即为正常体温，超过即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：；高热：；超高热（有生命危险）：.
某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗. 医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：
（Ⅰ）请你计算住院期间该患者体温不低于的各天体温平均值；
（Ⅱ） 在日—日期间，医生会随机选取天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“项目”的检查，记为高热体温下做“项目”检查的天数，试求的分布列与数学期望；
（Ⅲ）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由．
变式1 某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.
(1)求进入决赛的人数；
(2)若从该校学生(人数很多)中随机抽取2人，记X表示2人中进入决赛的人数，求X的概率分布及均值．
例2．（2020•山东济宁二模）公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验．为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验．该试验的设计为：
①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；
③试验共进行3个周期．
已知每只小白鼠接种后当天出现Z症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关．
(Ⅰ)若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；
(Ⅱ)若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验．设一只小白鼠参加的接种周期数为X，求X的分布列及数学期望．
变式2．(2020•广东珠海2月月考)棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn．
(1)当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；
(2)证明：
(3)求P99，P100的值．
例3．（2020•山东新高考模拟演练4）2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，并绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)现从年龄在内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示年龄在内的人数，求的分布列和数学期望；
(2)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时，求的值.
考点二.概率与统计案例的综合应用
例1 高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：
(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？
(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户．
①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；
②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X，求X的概率分布及均值．
附公式及表如下：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
变式1.（2020•山东济宁二模）(12分)某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.
(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；
(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的期望.
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
例2．（2020•山东菏泽二模）李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力．某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌．为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi，yi)(i＝1，2，…，6)，如表所示：
已知．
(1)若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(百件)关于试销单价x(千元)的线性回归方程；
(2)用(1)中所求的线性回归方程得到与xi对应的产品销量的估计值．当销售数据(xi，yi)对应的残差的绝对值时，则将销售数据(xi，yi)称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个子，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
(参考公式：线性回归方程中的估计值分别为．
变式2.（2020•福建南平）某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”。现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：
(1)根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程适合用y＝c·dx来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
(2)推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受8折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受7折优惠的概率为，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为。现有一名顾客购买了a元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少?。
参考数据：设
参考公式：对于一组数据(ui，vi)，(u2，v2)，…(un，vn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：。
考点三.统计类综合应用
例1.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的概率分布和均值；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
变式1.（湖北名师联盟四月仿真卷）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84．14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12．14千元的人数最有可能是多少？
附参考数据：，若随机变量X服从正态分布，则，，．
例2．（2020•山东新高考模拟演练7）小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功，每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立.
(1)求小王过第一关但未过第二关的概率；
(2)用表示小王所获得获品的价值，写出的概率分布列，并求的数学期望.
课后习题
1．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：
(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关？
(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X的概率分布和均值．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
2．(2019·石家庄模拟)东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如表：
(视样本频率为概率)
(1)根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的概率分布与均值；
(2)以两天内该产品所获得的利润均值为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？
3．某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：
该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员统计他们的消费次数，得到数据如下：
假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元．根据所给数据，回答下列问题：
(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；
(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；
(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的概率分布和均值E(X)．
4．为了解2019届高三毕业学生的复习备考情况，某省甲、乙两市组织了一次大联考．为比较两市本届高三毕业学生的数学优秀率，某教研机构从甲、乙两市参加大联考的数学高分段(数学成绩不低于100分)的学生中各随机抽取了100名学生，统计其数学成绩，得到甲市数学高分段学生成绩的频率分布直方图如图所示，乙市数学高分段学生成绩的频数分布表如下表所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率)．
(1)现计算得甲市数学高分段学生成绩的平均分为123分，乙市数学高分段学生成绩的方差为111，试利用统计知识判断甲、乙两市哪一个市2019届高三毕业学生数学高分段成绩更突出；
(2)由频率分布直方图可以认为，甲市这次大联考的数学高分段学生成绩Z(单位：分)近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，试利用该正态分布模型解决下列问题．
①若甲市恰有2万名学生这次大联考的数学成绩不低于100分，试估计甲市这次大联考的数学成绩Z不低于142.6分的学生人数；
②现从甲市这次大联考的数学成绩不低于100分的学生中随机抽取1 000人，若抽到k人的数学成绩在区间(123,142.6)内的可能性最大，试求整数k的值．
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ5．(2020·永州模拟)某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量．当Z≥8时，产品为优等品；当6≤Z<8时，产品为一等品；当2≤Z<6时，产品为二等品．第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z的条形图．用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率．
(1)从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；
(2)现某人决定购买80件该产品．已知每件成本1 000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测．买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1 600元购买，否则按每件1 500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X元，求X的概率分布与均值；
(3)商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动．客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是eq \f(1,2)，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格．机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格(从k到k＋1)，若掷出反面，机器人向前移动两格(从k到k＋2)，直到机器人移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券．设机器人移到第n格的概率为Pn(0≤n≤50，n∈N*)，试证明{Pn－Pn－1}(1≤n≤49，n∈N*)是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买该款产品．
抗生素使用情况
没有使用
使用“抗生素A”治疗
使用“抗生素B”治疗
日期
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
19日
体温（）
38.7
39.4
39.7
40.1
39.9
39.2
38.9
39.0
抗生素使用情况
使用“抗生素C”治疗
没有使用
日期
20日
21日
22日
23日
24日
25日
26日
体温（）
38.4
38.0
37.6
37.1
36.8
36.6
36.3
每周移动支付次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
合计
男
10
8
7
3
2
15
45
女
5
4
6
4
6
30
55
合计
15
12
13
7
8
45
100
P(χ2≥x0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
总计
网购迷
20
非网购迷
45
总计
100
网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
P(K2≥k0)
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
单价x(千元)
3
4
5
6
7
8
销量y(百件)
70
65
62
59
56
t
支付金额(元)
支付方式
(0,1 000]
(1 000,2 000]
大于2 000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
优秀
非优秀
合计
男生
15
35
50
女生
30
40
70
合计
45
75
120
P(χ2≥x0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
x0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
销售量(份)
15
16
17
18
天数
20
30
40
10
消费次数
第1次
第2次
第3次
不少于4次
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
消费次数
1次
2次
3次
不少于4次
频数
60
25
10
5
分数段
[100，110)
[110，120)
[120，130)
[130，140)
[140，150]
频数
15
25
40
15
5