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第九章 第五节 排列组合-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案
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这是一份第九章 第五节 排列组合-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案，文件包含第九章第五节排列组合原卷版docx、第九章第五节排列组合解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共24页， 欢迎下载使用。
知识回顾
1．排列、组合的定义
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
课前检测
1.从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A.6 B.8
C.12 D.16
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24
3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A．8 B．24 C．48 D．120
4．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是________．
5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
课中讲解
考点一.排列问题
例1.名女生和5名男生排成一排
(1)如果女生全排在一起,有多少种不同排法？
(2)如果女生都不相邻,有多少种排法？
(3)如果女生不站两端,有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻),有多少种排法？
(5)其中甲不站左端,乙不站右端,有多少种排法？
变式1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )
A．96个 B．78个 C．72个 D．64个
例2.从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是( )
A．12 B．24 C．64 D．81
变式2.用0,1,2,3,4,5这6个数字．
(1)能组成多少个无重复数的四位偶数？
(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?
考点二.组合问题
例1.男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名,女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长,又要有女运动员．
变式1．(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)
例2．(2019·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
变式2．从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为________．
变式3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门．
求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？
(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？
变式4.(2019·杭州二模)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
考点三.排列组合的综合问题
1.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
变式1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
2.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
变式2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
3.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
变式3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
4.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法
变式4.10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
5.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
变式5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
6.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
变式6.6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
7.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
8.平均分组问题除法策略
例8. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
变式8.（1） 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法
.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为____________
例9. 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
课后习题
单选题
1.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A.16 B.18
C.24D.32
.
2. (2019·怀化模拟)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
3. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
4. 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
5．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A．16 B．18 C．24 D．32
6．(2020·常州质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )
A．Aeq \\al(5,5)种 B．Aeq \\al(2,2)种
C．Aeq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)种 D．Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)种
7．(2020·临川一中月考)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两市代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为( )
A．6 B．12 C．16 D．18
8．(2019·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )
A．60种 B．20种 C．10种 D．8种
9．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上， 则5列火车不同的停靠方法数为( )
A．56 B．63 C．72 D．78
10．(2020·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有( )
A．24种 B．28种 C．36种 D．48种
11．(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
12．(2019·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( )
A．55 B．59 C．66 D．71
填空题
13．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为__________．
14．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有________种．
15．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有______种．
16．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是________．
17．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．
18．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________．
19．(2020·湖北八市重点高中联考)从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为________．(用数字作答)
20．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)
解答题
21．(14分)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员．
22．(14分)已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．
(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？
23.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合的定义
合成一组
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数
公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝
eq \f(nn－1n－2·…·n－m＋1,m！)
＝eq \f(n！,m！n－m！)
性质
Aeq \\al(n,n)＝n！，0！＝1
Ceq \\al(m,n)n＝Ceq \\al(n－m,n)， Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n)＋1，
Ceq \\al(n,n)＝1，Ceq \\al(0,n)＝1
知识回顾
1．排列、组合的定义
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
课前检测
1.从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A.6 B.8
C.12 D.16
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24
3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A．8 B．24 C．48 D．120
4．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是________．
5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
课中讲解
考点一.排列问题
例1.名女生和5名男生排成一排
(1)如果女生全排在一起,有多少种不同排法？
(2)如果女生都不相邻,有多少种排法？
(3)如果女生不站两端,有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻),有多少种排法？
(5)其中甲不站左端,乙不站右端,有多少种排法？
变式1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )
A．96个 B．78个 C．72个 D．64个
例2.从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是( )
A．12 B．24 C．64 D．81
变式2.用0,1,2,3,4,5这6个数字．
(1)能组成多少个无重复数的四位偶数？
(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?
考点二.组合问题
例1.男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名,女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长,又要有女运动员．
变式1．(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)
例2．(2019·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
变式2．从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为________．
变式3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门．
求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？
(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？
变式4.(2019·杭州二模)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
考点三.排列组合的综合问题
1.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
变式1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
2.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
变式2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
3.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
变式3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
4.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法
变式4.10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
5.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
变式5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
6.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
变式6.6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
7.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
8.平均分组问题除法策略
例8. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
变式8.（1） 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法
.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为____________
例9. 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
课后习题
单选题
1.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A.16 B.18
C.24D.32
.
2. (2019·怀化模拟)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
3. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
4. 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
5．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A．16 B．18 C．24 D．32
6．(2020·常州质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )
A．Aeq \\al(5,5)种 B．Aeq \\al(2,2)种
C．Aeq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)种 D．Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)种
7．(2020·临川一中月考)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两市代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为( )
A．6 B．12 C．16 D．18
8．(2019·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )
A．60种 B．20种 C．10种 D．8种
9．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上， 则5列火车不同的停靠方法数为( )
A．56 B．63 C．72 D．78
10．(2020·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有( )
A．24种 B．28种 C．36种 D．48种
11．(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
12．(2019·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( )
A．55 B．59 C．66 D．71
填空题
13．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为__________．
14．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有________种．
15．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有______种．
16．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是________．
17．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．
18．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________．
19．(2020·湖北八市重点高中联考)从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为________．(用数字作答)
20．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)
解答题
21．(14分)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员．
22．(14分)已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．
(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？
23.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合的定义
合成一组
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数
公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝
eq \f(nn－1n－2·…·n－m＋1,m！)
＝eq \f(n！,m！n－m！)
性质
Aeq \\al(n,n)＝n！，0！＝1
Ceq \\al(m,n)n＝Ceq \\al(n－m,n)， Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n)＋1，
Ceq \\al(n,n)＝1，Ceq \\al(0,n)＝1
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