第七章 第四节 空间几何体表面积和体积-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第四节 空间几何体的表面积与体积知识回顾1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形含义由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形 2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点 轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环    3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3课前检测1．一个球的表面积为16π，那么这个球的体积为(　　)A.π　　　　　　　　 B.πC．16π D．24π2．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是(　　)A．40π2 B.64π2C．32π2或64π2 D．32π2＋8π或32π2＋32π3. 正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积(　　)A. 32      B. 48       C. 64       D.  4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(     )A. 6　　　   B.  7　　     C.  8      D. 95.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为________．6.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若各棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥MAB1C的体积为________．7．Rt△ABC的三个顶点都在球O的球面上，AB＝AC＝2，若球心O到平面ABC的距离为1，则球O的半径为________，球O的表面积为________．课中讲解考点一.空间几何体的表面积例1.如图，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB与AC都成45°角，求此斜三棱柱的表面积.       变式1.在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)A．4π B.(4＋)πC．6π D．(5＋)π例2.　(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)A．12π   B．12πC．8π   D．10π  变式2.(2020·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　)A．4＋4  B．4＋4C．12  D.8＋4考点二.空间几何体的体积例1.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．变式1.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P－ABA1的体积为________．  例2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为________．变式2.　(1)直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，E为棱CC1的中点，则三棱锥A1－B1C1E的体积为____．(2)在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是(     )　A.   B.   C.   D. （3）(2019·江苏南通联考)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D­BB1C1的体积为________．.考点三.与球有关的切、接问题例1.（2020•山东济宁二模）已知四棱锥M－ABCD，MA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD＋∠BAD＝180°，MA＝2，BC＝2，∠ABM＝30°.若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)A.20π  B.22π  C.40π  D.44π变式1．三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且平面。若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（    ）A．        B．      C．        D．1 例2．球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为2的正三角形，面面，则棱锥的体积的最大值为（    ）A．      B．      C．      D．4 变式2、（1）已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)A.       B. 2      C.        D. 3（2）已知A，B，C是球O的球面上三点，且AB＝AC＝3，BC＝3，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，求三棱锥DABC体积的最大值．例3.　(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．变式3.把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为(　　)A．10 cm B.10 cmC．10 cm D．30 cm课后习题一．单选题1．(2020·徐州模拟)用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为(　　)A．32  B.  C.  D.2．(2019·辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是(　　)A．圆面   B．矩形面C．梯形面   D．椭圆面或部分椭圆面 3．棱长为a的正四面体的表面积是(　　)A.a2  B.a2  C.a2  D.a24．三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若球O与三棱柱ABC­A1B1C1各侧面、底面均相切，则侧棱AA1的长为(　　)A. B.C．1 D.5．(2018·洛阳联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为(　　)A.π B.πC.π D.π  6．(2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V＝l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取(　　)A.       B.       C.       D.7.（2020年全国1卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 二．多选题8.(多选)将正三棱锥P－ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P－ABC－Q，如图．下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有(　　)A．PQ⊥平面ABCB．若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上C．若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB＝PAD．若AB＝PA，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心9．(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是(　　)A．AE∥平面C1BDB．四面体ACEF的体积不为定值C．三棱锥A－BEF的体积为定值D．四面体ACDF的体积为定值10.(多选)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．下列判断中正确的是(　　 )A．直线AC与直线C1E是异面直线B．A1E一定不垂直AC1C．三棱锥E－AA1O的体积为定值D．AE＋EC1的最小值为2 三．填空题11．已知三棱锥S ­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．12.（2020届江苏省七市第二次调研考试）如图，在体积为V的圆柱中，以线段上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为，，则的值是______.13.（江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期期末）在正三棱柱ABC  A1B1C1 中，AA1＝AB＝2 ，则三枝锥A1  BB1C1 的体积为______.14.（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）现有一个半径为的实心铁球，将其高温融化后铸成一个底面圆半径为的圆柱状实心铁器（不计损耗），则该圆柱铁器的高为____.15.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m. 四．解答题16．(2019·唐山质检)已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．        17．如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝4，EB＝2.(1)求证：DE⊥平面ACD；(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值．                 18.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)求证：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．