第四章 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式知识回顾1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α.2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α  口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限 课前检测 1. 是第四象限角，，则 (　　)A． B．
C． D．【答案】D【解析】此题考查同角三角函数的基本关系，解答此题利用公式 和 联立，结合角 的象限判断正弦符号即可．
解法一：
由 可得 ，
代入 可得，
，
即 ，
化简可得：，
又 是第四象限角，故 ，
故而 ．
解法二：
因为 ，且 是第四象限角，所以可设 ，，所以 ，
所以 ．
故选 D
2.若锐角满足，则(　　)A．
B．
C．
D．【答案】D【解析】【解答】锐角满足，则，
故选D．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值．3.已知 ，则 的值等于(　　)A．
B．
C．
D．【答案】B【解析】本题考查诱导公式的应用，函数值的求法，考查计算能力．
直接利用 与 互余，即可求出所求结果．
因为 与 互余．
所以 ．
故选 B
 4.已知 是第三象限的角，若 ，则 ________，则 ________．【答案】；【解析】 为第三象限角，则 ，，
由同角三角函数的基本关系得 ，解得
，
．
故答案为：；．
5.求值 ________  ．【答案】【解析】．课中讲解考点一．同角三角函数基本关系式的应用例1.已知 为锐角，若 是方程 的一根，则 ________ ．【答案】 【解析】．
  或 ．
因为 是次方程的根，且 为锐角．
所以 ．
故 ．
变式1.已知 ，则 的值为(　　)A． B．
C． D．【答案】B【解析】已知 ，解得 ，所以 在第一象限或第三象限，
即 与 同号，又因为 ，且 ，
解得当 时，，当 时，，
所以 ．
故选 B例2.已知且，则的值等于________【答案】【解析】，且，，．．
变式2.直线的倾斜角为，则 的值(　　)A． B．
C． D．【答案】B【解析】原式
例3.求下列三角函数值：．【答案】【解析】【备注】题目的替代方案：① 任意复杂的特殊角三角值；② 关于三角函数性质的启发性思考．变式3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为        ．答案　－3解析　由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.例4．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝        .答案　－解析　方法一　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝＝，联立解得所以tan θ＝－.方法二　因为sin θ＋cos θ＝，所以sin θcos θ＝－，由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.又sin θcos θ＝－<0，θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝，cos θ＝－.所以tan θ＝＝－.方法三　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，所以＝－.齐次化切，得＝－，即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，解得tan θ＝－或tan θ＝－.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0，所以θ∈，所以tan θ＝－.考点二．诱导公式的应用例1.已知 ，，则 ________．【答案】【解析】，，
，
．
故答案为：．【备注】【点评】：本题考查三角函数的诱导公式的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，易错点是三角函数的符号容易出错．
变式1.已知角 终边上一点 ，求 的值．【答案】【解析】 已知角 终边上一点 ．
．
【备注】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．例2.已知 ，则 (　　)A． B．
C． D．【答案】B【解析】．
故选 B变式2.【2020年浙江杭州杭州第二中学滨江校区高一上学期期末考试数学试卷】当 时，，则 ________；________．【答案】；【解析】，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；．例3.化简【答案】【解析】
变式3.________ ．【答案】【解析】本题考查了同角三角函数基本关系及诱导公式，利用三角函数的平方关系式，，结合角的互余关系，把 转化为 ，求和即可求出原式的值．
设 ．

．
解得 ．
故答案为 ．例4.已知 ．(1) 化简 ；【答案】【解析】
(2) 若 是第三象限角，且 ，求 的值．【答案】【解析】，所以 ，
又由 是第三象限角，所以 ，故 ．
考点三．诱导公式与同角关系的综合应用例1　(1)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ等于(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　D解析　由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，即tan2θ－tan θ－＝0，解得tan θ＝或tan θ＝－.又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝，故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ＝＝＝＝.(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.求的值．解　由已知，得sin x＋cos x＝，两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，由－π<x<0知，sin x<0，又sin xcos x＝－<0，∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.＝＝＝＝－.变式1.已知，且满足，则(　　)A． B．
C． D．【答案】C【解析】因为
所以
所以
所以
所以
答案选C
例2.已知(1) 求的值；【答案】【解析】因为
所以
因为
(2) 求的值；【答案】【解析】



奇变偶不变，符号看象限
课后习题一．单选题1.设为锐角，，则=(　　)A．
B．
C．
D．【答案】D【解析】本题考查同角三角函数间的基本关系，再根据角为锐角可知其余弦值为正，，即选项D正确．
故选D．
2.已知 ，则 的值为(　　)A．          
B．
C．
D．【答案】C【解析】
．
．
．
故选 C【备注】本题考查了诱导公式，角的关系为 ，所以由诱导公式 ，从而得出结果． 3.已知 ，则 (　　)A．
B．
C．
D．【答案】C【解析】本题考查三角函数诱导公式的应用，属于基础题目．

故选 C
4．已知cos 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值为(　　)A.   B.C.   D．－答案　B解析　sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝.5．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin等于(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　B解析　由tan(α－π)＝⇒tan α＝.又因为α∈，所以α为第三象限角，sin＝cos α＝－.6．(2019·沧州七校联考)已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是(　　)A.  B．－  C．－2  D．2答案　A解析　由＝5，得＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝＝＝.二．多选题7．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　 )A．sin(－x)＝sin x B．sin＝cos xC．cos＝－sin x D．cos(x－π)＝－cos x答案　CD解析　sin(－x)＝－sin x，故A不成立；sin＝－cos x，故B不成立；cos＝－sin x，故C成立；cos(x－π)＝－cos x，故D成立．8．(多选)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　 )A．tan α＝ B．cos α＝C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－答案　AB解析　∵sin α＝，且α为锐角，∴cos α＝＝＝，故B正确，∴tan α＝＝＝，故A正确，∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误，∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误三．填空题9.已知 ，则 的值是________．【答案】【解析】已知等式移项变形求出 的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将 的值代入计算即可求出值．
，即 ，
，

故答案为：．10.【2018年浙江衢州高一下学期期中考试数学试卷四校】已知，则________ ．【答案】【解析】【解答】，
．
故答案为．
【分析】直接化弦为切求解．【备注】【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．11.化简：________ ．【答案】【解析】12．已知A，B为△ABC的两个内角，若sin(2π＋A)＝－·sin(2π－B)，cos A＝－cos(π－B)，则B＝                                               .答案　解析　由已知得化简得2cos2A＝1，即cos A＝±.当cos A＝时，cos B＝，又A，B是三角形内角，∴B＝；当cos A＝－时，cos B＝－，又A，B是三角形内角，∴A＝，B＝，不合题意，舍去，综上可知B＝.四．解答题13．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ.由条件知sin θ＋cos θ＝，故＋＝.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.(3)由得或又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.14．已知sin α＝1－sin，求sin2α＋sin＋1的取值范围．解　因为sin α＝1－sin＝1－cos β，所以cos β＝1－sin α.因为－1≤cos β≤1，所以－1≤1－sin α≤1,0≤sin α≤2，又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0,1]．所以sin2α＋sin＋1＝sin2α＋cos β＋1＝sin2α－sin α＋2＝2＋.(*)又sin α∈[0,1]，所以当sin α＝时，(*)式取得最小值；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求范围为.15．在△ABC中，(1)求证：cos2＋cos2＝1；(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，所以＝－，所以cos＝cos＝sin，所以cos2＋cos2＝1.(2)因为cossintan(C－π)＜0，