第四章 第三节 三角函数的图象与性质-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第三节 三角函数的图象与性质
知识回顾
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)


对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无

课前检测
1.【2021年江西南昌南昌县八一中学高一上学期期末考试数学试卷】x∈[0,2π]，y=tan⁡x+-cos⁡x 定义域为(　　)
A．[0,π2)
B．(π2,π]
C．[π,3π2)
D．(3π2,2π]
【答案】C
【解析】【分析】：由解析式可得 {tan⁡x⩾0-cos⁡x⩾00⩽x⩽2π，解出即可．
由题意，{tan⁡x⩾0-cos⁡x⩾0x∈[0,2π]，∴ 函数的定义域为 [π,3π2)．
故选 C

2.函数 y=tan⁡3x 的定义域为(　　)
A．{x|x≠3π2+3kπ,k∈Z}
B．{x|x≠π6+kπ,k∈Z}
C．{x|x≠-π6+kπ,k∈Z}
D．{x|x≠π6+kπ3,k∈Z}
【答案】D
【解析】本题考查正切函数的性质，利用正切函数的定义域直接求解即可
∵3x≠kπ+π2．
∴x≠kπ3+π6,k∈Z．
故选 D
3.函数y=3cos⁡(π3-2x)的单调递减区间是(　　)
A．[kπ+π6,kπ+2π3],k∈Z
B．[kπ-2π3,kπ-π6],k∈Z
C．[kπ-π6,kπ+π3],k∈Z
D．[kπ-π3,kπ+π6],k∈Z
【答案】A
【解析】【解答】因为y=3cos⁡(π3-2x)=3cos⁡(2x-π3)，
令2kπ⩽2x-π3⩽2kπ+π，
求得kπ+π6⩽x⩽kπ+2π3，k∈Z
可得函数的减区间为[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．
故选A．
【分析】先利用诱导公式化简函数的解析式，再由条件利用余弦函数的单调性求得y的减区间．
【备注】【点评】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题

4.下列函数中，最小正周期为2π的奇函数是(　　)
A．y=tan⁡x
B．y=cos⁡x
C．y=sin⁡(x+3π)
D．y=sin⁡2x
【答案】C
【解析】函数y=tan⁡x的周期为π；函数y=cos⁡x的周期为2π，是偶函数；
函数y=sin⁡(x+3π)=-sin⁡x，周期为2π，是奇函数；函数y=sin⁡2x的周期为2π2=π．
∴最小正周期为2π的奇函数是y=sin⁡(x+3π)，
故选C．

5．y＝3sin在区间上的值域是________．
【答案】
【解析】当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即y＝3sin在上的值域为.
6．(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan
【答案】ABC
【解析】A项，y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
B项，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
C项，y＝cos的最小正周期T＝＝π；
D项，y＝tan的最小正周期T＝.
7．(多选)已知函数f (x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)的最小正周期为2π
B．函数f (x)在区间上是增函数
C．函数f (x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f (x)是奇函数
【答案】ABC
【解析】由题意，可得f (x)＝－cos x，
对于选项A，T＝＝2π，所以选项A正确；
对于选项B，y＝cos x在上是减函数，所以函数f (x)在区间上是增函数，所以选项B正确；
对于选项C，f (－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f (x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC.
8．函数y＝sin的对称轴为__________________，对称中心为________．
【答案】x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z
【解析】由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.
故函数y＝sin的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；对称中心为，k∈Z.
课中讲解
考点一．三角函数的定义域
例1.（1）求函数y=tan⁡(x+π4)的定义域
【答案】{x|x≠π4+kπ,k∈Z}
【解析】1．令t=(x+π4)
2．t≠π2+kπ，所以x+π4≠π2+kπ
3．解方程得：{x|x≠π4+kπ,k∈Z}

（2）函数 y=sin⁡x+12-cos⁡x 的定义域是_______________________．
【答案】[π3+2kπ,π+2kπ](k∈Z)
【解析】本题主要考查了函数定义域和三角函数不等式的求解，属于基础题．
解决此题的关键是根据函数的解析式建立关于 x 的三角函数不等式，再利用三角函数图象和性质求解即可．
由题意可得 {sin⁡x≥012-cos⁡x≥0
即 {sin⁡x≥0cos⁡x≤12结合三角函数图象和性质可得 x 的取值范围为 π3+2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z．
（3）函数 y=tan⁡x+lg⁡(sin⁡x-12) 的定义域是_________________________________．
【答案】(π6+2kπ,π2+2kπ)∪(π2+2kπ,5π6+2kπ)(k∈Z)
【解析】本题主要考查三角函数的定义域的求解．
根据题意得 {x≠kπ+π2sin⁡x-12>0
解得 {x≠kπ+π2π6+2kπ0
3、解方程解{x|π4+kπ