第五章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示-备战2022年新高考数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第二节 平面向量基本定理及坐标表示
知识回顾
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标表示
(1)向量及向量的模的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
(2)平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
课前检测
1．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
答案　(1,5)
解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得
2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.
答案　－
解析　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，所以＝－.
3．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是(　　)

A.＝3 B.＝－2
C.＋＝0 D.＝
答案　ABC
4．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.
答案　0
5．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.
答案　(－7，－4)
解析　根据题意得＝(3,1)，
∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
6．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为(　　)
A．4 B．－4 C．2 D．－2
答案　B
解析　b＝2a＋b－2a＝(2,1)，
∵b∥c，∴x＋4＝0，∴x＝－4.故选B.
课中讲解
考点一．平面向量基本定理及其应用
例1.给定两个长度为 1 的平面向量 OA→ 和 OB→，它们的夹角为 2π3 如图所示，点 C 在以 O 为圆心的弧 AB 上运动．若 OC→=xOA→+yOB→，其中 x，y∈R，求 x+y 的最大值．
​​
​
【答案】2
【解析】以 O 为坐标原点，OA→ 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
​​
​则 A(1,0)，B(-12,32)
设 ∠AOC=α∈[0,2π3]，则 C(cos⁡α,sin⁡α)
由 OC→=xOA→+yOB→
得 {cos⁡α=x-12ysin⁡α=32y
所以 {x=cos⁡α+33sin⁡αy=233sin⁡α
所以x+y=cos⁡α+33sin⁡α+233sin⁡α=3sin⁡α+cos⁡α=2sin⁡(α+π6)
又 ∠AOC=α∈[0,2π3]
所以当 α=π3 时，x+y 取得最大值 2．

变式1.如图，在 △ABC 中，AN→=13NC→，点 P 是 BN 上的一点，若 AP→=mAB→+211AC→，则实数 m 的值为(　　)

A．911 B．511
C．311 D．211
【答案】C
【解析】【分析】：平面内三点 A，B，C 共线的充要条件为：存在实数 λ，μ，N，使 OC→=λOA→+μOB→，且 λ+μ=1．求得 AP→=mAB→+811AN→，从而可得结果．
∵B，P，N 三点共线，
∵AP→=mAB→+211AC→=mAB→+211×4AN→=mAB→+811AN→，
∴m+811=1，
∴m=311．
故选 C
【备注】对于共起点二表一的向量等式，要注意三个末端点的是否共线和系数和是否为 1，如果两个特征符合其一，则注意应用三点共线定理．
例2. 如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)
A.－　　　　 B.－
C．－＋ D．－＋
变式2.在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
[解析]　(1)如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，∴＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.
(2)因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，所以2＝.
即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，
又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.
所以＝－＝λ－＝λ－＝＋，又＝t＝t(－)＝t＝－t.
故解得故t的值是.
[答案]　(1)C　(2)
例3.如图所示，在 △ABC 中，AQ→=QC→，AR→=14AB→，BQ 与 CR 相交于点 I，AI 的延长线与边 BC 交于点 P．

(1) 用 AB→ 和 AC→ 分别表示 BQ→ 和 CR→；
【答案】BQ→=12AC→-AB→；CR→=14AB→-AC→
【解析】BQ→=AQ→-AB→=12AC→-AB→，CR→=AR→-AC→=14AB→-AC→．

(2) 如果 AI→=AB→+λBQ→=AC→+μCR→，求实数 λ 和 μ 的值；
【答案】{λ=67μ=47
【解析】由 (1) 知：AI→=AB→+λ(12AC→-AB→)=(1-λ)AB→+λ2AC→，
AI→=AC→+μ(14AB→-AC→)=μ4AB→+(1-μ)AC→，
∴(1-λ)AB→+λ2AC→=μ4AB→+(1-μ)AC→，
∴{1-λ=μ4λ2=1-μ，解得：{λ=67μ=47
考点二．平面向量的坐标运算
例1.已知 a→=(1,2)，b→=(1,0)，c→=(3,4)．若 λ 为实数，(a→+λb→)//c→，则 λ=(　　)
A．2 B．1
C．12 D．14
【答案】C
【解析】a→+λb→=(1+λ,2) 和 (3,4) 平行，故 (1+λ)⋅4-2×3=0，解得 λ=12．
变式1.若向量a→=(m,3)，b→=(1,4)，c→=(2,1)，且2a→-3b→与c→的夹角为钝角，则m的取值范围是(　　)
A．(-∞,-92)
B．(-∞,3)
C．(-92,3)
D．(-∞,-92)∪(-92,3)
【答案】D
【解析】2a→-3b→=(2m,6)-(3,12)=(2m-3,-6) ∵2a→-3b→与c→的夹角为钝角∴(2a→-3b→)⋅c→