第一章 第一节 集合-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第一节 集合知识回顾1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系 表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A∅3.集合的基本运算  集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．(4)∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
课前检测1.已知数集A＝{0,1,x＋2},那么x的取值集合为 (　　)A．{x}      B．{x}C．{x}    D．x∈R2.下列判断正确的命题个数为(　　)①a∈{a};      ②{a}∈{a,b}；③{a,b}⊆{b,a};    ④∅⊆{0}．A．1个    B．2个C．3个    D．4个3.集合A＝{1,2,3}的非空真子集的个数为(　　)A．3个    B．6个C．7个     D．8个4.已知{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},则集合A的个数为  ____________  .5.设全集U＝R,A＝{x|1≤x≤3},B＝{x|2＜x＜4},则A∩B＝    ____________；A∪B＝____________；A∪∁UB＝____________．课中讲解考点一.　集合的基本概念例1.　若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求b－a的值．    变式1.设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a，b.   例2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)A.  B.C．0  D．0或变式2．已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，若集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为(　　)A．(8，＋∞)  B．[8，＋∞)C．(16，＋∞)  D．[16，＋∞)考点二.　集合间的关系例1.设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(　　)A．P⊆Q  B．Q⊆PC．∁RP⊆Q  D．Q⊆∁RP变式1.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．    例2　设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则M与N之间有什么关系？    变式2　设集合P＝{m|－1<m<0}，Q＝{m|mx2＋4mx－4<0对任意实数x恒成立，且m∈R}，则集合P与Q之间的关系为________．    变式3.已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+ax+a=0},是否存在这样的实数a,使得BA?若存在这样的实数a,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.    考点三　集合的运算例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2C．2 D．4变式1．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则A．{−2，3}  B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}  D．{−2，−1，0，2，3}例2．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合，，则中元素的个数为A．2  B．3C．4  D．6变式2．（2020·全国新课标Ⅲ理科试卷）已知集合，，则中元素的个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．6例3．(多选)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(　　)A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪∁RB＝{x|x≤－1或x>2}D．A∩∁RB＝{x|2<x≤3}变式3．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2<2x≤8}，则下列判断不正确的是(　　)A．A∪B＝B   B．(∁RB)∪A＝RC．A∩B＝{x|1<x≤2}   D．(∁RB)∪(∁RA)＝R 考点四．集合的新定义问题例1.如图所示的Venn图中，A，B是两个非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B为(　　)A．{x|0＜x＜2}  B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2}  D．{x|0≤x≤1或x>2}变式1.给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．例2．定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)A．6  B．7C．8  D．9变式2．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q＝(　　)A．{x|0＜x＜1}  B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}  D．{x|2≤x＜3}课后习题一 单选1．（2020·河北衡水中学高三月考）已知集合，，，则（   ）A． B． C． D．2．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知集合，，则（    ）A． B． C． D．3．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）已知全集为实数集，集合，，则（    ）A． B． C． D．4．（2020·云南高三其他模拟（理））设集合，集合，则集合等于（    ）A．1 B． C． D．5．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}6．【2020年高考浙江】已知集合P=，Q=，则PQ=A．  B．C．  D．7.　已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为(　　)A．15  B．16  C．20  D．218．已知全集U＝{x∈Z|0＜x＜8}，集合M＝{2,3,5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，则集合{1,4,7}为(　　)A．M∩(∁UN)  B．∁U(M∩N)C．∁U(M∪N)  D．(∁UM)∩N9．已知集合M＝，N＝，则M∩N＝(　　)A．∅  B．{(4,0)，(3,0)}C．[－3,3]  D．[－4,4]10．在实数集R上定义运算*：x*y＝x·(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)>0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是(　　)A．[0,2]  B．[－2，－1)∪(－1,0]C．[0,1)∪(1,2]  D．[－2,0]11．非空数集A满足：(1)0∉A；(2)若∀x∈A，有∈A，则称A是“互倒集”．给出以下数集：①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}；②{x|x2－4x＋1＜0}；③；④.其中“互倒集”的个数是(　　)A．4  B．3C．2  D．1二．多选12.　(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是(　　)A．数域必含有0,1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为无限集13．(多选)设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题中是真命题的有(　　)A．集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集B．若S为封闭集，则一定有0∈SC．封闭集一定是无限集D．若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集三．填空14.　对于集合M，定义函数fM(x)＝对于两个集合A，B，定义集合A△B＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A△B的结果为________． 15．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝，若M与N“相交”，则a＝________.四．解答题16．已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；(2)已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．