数学八年级上册13.3.2 等边三角形课时练习

13.3.2 等边三角形

1. 关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系,下列说法不正确的是( ).

1. 等腰三角形包括等边三角形

2. 等边三角形包括等腰三角形

3. 等边三角形是等腰三角形的特殊情况

4. 等边三角形每条边上的高、中线与此边对角平分线都能实现“三线合一”

2. 等边三角形的两条角平分线所夹的锐角的大小为( ).

A.30° B.45° C.60° D.90°

3. 
   如图,∠AOB=30°,P 是∠AOB 平分线上的点,PM⊥OB 于点 M,PN∥OB 交 OA 于点 N.若 PM=1,则PN=               .

4. 如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC=60°,BC=6,把△ADC 沿直线 AD 折叠,点 C 落在 C'处,连接 BC',则BC'的长为               .

5. 如图,在等边三角形 ABC 的 AC 边上取中点 D,在 BC 的延长线上取一点 E,使 CE=CD.

求证:BD=DE.

6. 如图,△ABC,△DEF 和△GMN 都是等边三角形,且点 E,M 在线段 AC 上,点 G 在线段 EF 上,则∠1+∠

2+∠3 等于( )

A.90° B.120° C.150° D.180°

7. 如图,D,E 分别是等边三角形 ABC 两边 BC,AC 上的点,且 AE=CD,连接 BE,AD 且交于点 P.过点 B 作

BQ⊥AD 于点 Q,请说明 BP=2PQ.

8. 如图,已知某船于上午 8 时在 A 处观测小岛 C 在北偏东 60°方向上.该船以 40 海里/时的速度向东航行到 B 处,此时测得小岛 C 在北偏东 30°方向上.船以原速度再继续向东航行 2 小时到达小岛 C 的正南方向 D 处,求船从 A 处到 D 处一共航行了多少海里.

★9.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,D,F 分别为 AB,AC 的中点,且 DE⊥AB,FG⊥AC,点 E,G 在

BC 上,BC=18 cm,求线段 EG 的长.

★10.如图,已知△BCE,△ACD 分别是以 BE,AD 为斜边的直角三角形,且 BE=AD,△CDE 是等边三角形. 求证:△ABC 是等边三角形.

答案与解析

夯基达标

1.B 2.C

3.2 因为 PN∥OB 交 OA 于点 N,所以∠ANP=30°.如图,作 PC⊥OA 于点 C,在Rt△CNP

中,PN=2PC.由角平分线的性质,得 PC=PM=1,所以 PN=2PC=2.

4.3 由于△ADC 沿直线 AD 折叠,则∠C'DA=∠ADC=60°,DC'=DC=BD,∴∠C'DB=60°,

∴△BC'D 是等边三角形,∴BC'=BD=3.

5.证明 ∵△ABC 是等边三角形,

∴∠ABC=∠ACB=60°.

∵D 为 AC 的中点,

∴BD 平分∠ABC(三线合一),∴∠DBC=30°.

∵CE=CD,∴∠E=∠CDE=1 ACB=30°.

∠

2

∴∠DBC=∠E,∴BD=DE.

培优促能

6.D ∵△ABC,△DEF 和△GMN 都是等边三角形,

∴∠GMN=∠MGN=∠DEF=60°.

∵∠1+∠GMN+∠GME=180°,∠2+∠MGN+∠EGM=180°,∠3+∠DEF+∠MEG=180°,

∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG=3×180°.

∵∠GME+∠EGM+∠MEG=180°,

∴∠1+∠2+∠3=3×180°-180°-3×60°=180°.故选D.

7.解 ∵△ABC 是等边三角形,∴AB=AC,

∠BAC=∠C=60°.

= � � ,

在△ABE 和△CAD 中, ∠� � � = ∠� ,

� �  = ,

∴△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.

又∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°,

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=60°.

又 BQ⊥AD,

∴在Rt△BPQ 中,∠QBP=30°,∴BP=2PQ.

8.解 由题意,得∠CAD=30°,∠CBD=60°.

在Rt△BCD 中,∵∠CBD=60°,

∴∠BCD=30°.∴BC=2BD.

∵船从 B 处到 D 处航行了 2 小时,船的速度为每小时 40 海里,

∴BD=80 海里.∴BC=160 海里.

∵∠CBD=60°,∴∠ABC=120°.

∵∠CAD=30°,∴∠ACB=30°.

∴AB=BC.∴AB=160 海里.

∵AD=AB+BD,

∴AD=160+80=240(海里).

因此船从 A 处到 D 处一共航行了 240 海里.

创新应用

9. 解 如图,连接 AE,AG.

∵点 D 为 AB 的中点,ED⊥AB,∴EB=EA.

∴△ABE 为等腰三角形.

∵∠BAC=120°,AB=AC,

∴∠B=∠C=∠EAB=30°.

∴∠AEG=60°.

同理可证∠AGE=60°.

∴△AEG 为等边三角形.∴AE=EG=AG.

∵AE=BE,AG=GC,∴BE=EG=GC.

又 BE+EG+GC=BC=18 cm,∴EG=6 cm.

10. 证明 ∵△CDE 是等边三角形,

∴EC=CD,∠ECD=60°.

∵BE,AD 都是斜边,∴∠BCE=∠ACD=90°. 在Rt△BCE 和Rt△ACD 中.

∵EC=DC,BE=AD,

∴Rt△BCE≌Rt△ACD(HL),∴BC=AC.

∵∠ECD+∠ACE=90°,∠ACB+∠ACE=90°,

∴∠ACB=∠ECD=60°.

∴△ABC 是等边三角形.