2020-2021学年12.3 角的平分线的性质第1课时课后作业题

12.3 角的平分线的性质

第 1 课时 角的平分线的性质

1. 已知 AD 是△ABC 的角平分线,点 E 在 AB 上,DE=DC,则下列结论一定正确的是( ).

A.△ADE≌△ADC B.∠ADE=∠ADC

C.AE=AC D.以上都不正确

2. 如图,已知 MP⊥NP 于点 P,MQ 为△NMP 的角平分线,MT=MP,连接 TQ,则下列结论不正确的是

( ).

A.TQ=PQ B.∠MQT=∠MQP C.∠QTN=90° D.∠NQT=∠MQT

3. 如图,已知 AP,CP 分别是△ABC 的外角∠DAC,∠ECA 的平分线,PM⊥BD,PN⊥BE,垂足分别为 M,N,

则 PM 与 PN 的大小关系是( ).

A.PM>PN B.PM=PN

C.PM<PN D.无法确定

4. 如图,AB∥CD,O 为∠BAC 和∠ACD 的平分线的交点,OE⊥AC 于点 E,且 OE=4,则两平行线间的距离为               .

5.D 是∠ACE 的平分线上的一点,DF⊥AC,DE⊥BC,DE 与 BC 的延长线交于 E.求证:CE=CF.

6. 如图,点 D 是等腰三角形 ABC 的边 BC 上的动点,它到两腰 AB,AC 的距离分别为 DE,DF,当点 D 在什么位置时,DE=DF?并加以证明.

7. 如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,CB=CD,点 P 是对角线 AC 上一点,PE⊥BC 于点 E,PF⊥CD 于点 F.

求证:PE=PF.

8. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D,问能否在 AB 上确定一点 E,使

△BDE 的周长等于 AB 的长?

9. 如图,AE 是∠BAC 的平分线,EB⊥AB 于 B,EC⊥AC 于 C,D 是 AE 上一点.求证:BD=CD.

10. 已知∠AOB=90°,OM 是∠AOB 的平分线,将三角尺的直角顶点 P 在射线 OM 上滑动,两直角边

PC,PD 分别与 OA,OB 相交于点 C,D,PC 和 PD 有怎样的数量关系?请说明理由.

★11.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E,点 F 在 AC 上,BD=DF.

(1) 求证:CF=EB;

(2) 请你判断 AE,AF 与 BE 的大小关系,并说明理由.

★12.感知:如图①,AD 平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°.易知:DB=DC.

探究:如图②,AD 平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°.求证:DB=DC.

1

②

答案与解析

夯基达标

1.D 2.D 3.B 4.8

5. 证明 ∵DF⊥AC,DE⊥BC,CD 平分∠ACE,∴DF=DE. 又 CD=CD,∴Rt△CED≌Rt△CFD(HL),

∴CE=CF.

6. 解 当点 D 为∠BAC 的平分线与 BC 的交点时,DE=DF. 证明:连接 AD.

因为 AD 为∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC, 所以∠BAD=∠CAD,∠AED=∠AFD=90°.

在△ADE 与△ADF 中,

∠�� = ∠�� ,

因 为 ∠� � � =

∠��� ,

� � = � � ,

所以△ADE≌△ADF. 所以 DE=DF.

� � = � � ,

7. 证明 在△ABC 和△ADC 中, � � = � � ,

�  �   =� � ,

∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠BCA=∠DCA,

∴CA 为∠BCD 的平分线.

∵PE⊥BC,PF⊥CD,P 为∠BCD 的平分线上的一点,∴PE=PF.

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8. 分析 由于题目中存在 AD 平分∠CAB,且 DC⊥AC 的条件,联想到角的平分线上的点到角的两边的距离相等,故过点 D 作 DE⊥AB,便可找到所求作的点.

解 能在 AB 上确定一点 E,使△BDE 的周长等于 AB 的长,即过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,则点 E 就是所要确定的点.

证明:∵AD 平分∠CAB,CD⊥AC,DE⊥AB,

∴DC=DE.

在Rt△ACD 与Rt△AED 中, � � = � � ,

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.

∵AC=BC,

∴△BDE 的周长为 BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB.

9. 证明 ∵AE是∠BAC 的平分线,EB⊥AB,EC⊥AC,

∴EC=EB.

∵AE=AE,∴△CAE≌△BAE.

∴AC=AB.

� � = � � ,

在△CAD 和△BAD 中, ∠� � � = ∠� � � ,

� � = � � ,

∴△CAD≌△BAD,∴BD=CD.

10. 解 PC=PD.

理由如下:过点 P 分别作 PE⊥OB 于点 E,PF⊥OA 于点 F,

∴∠CFP=∠DEP=90°.

∵OM 是∠AOB 的平分线,

∴PE=PF.

由四边形内角和定理知∠FPE=90°.

∵∠1+∠FPD=90°,∠2+∠FPD=90°,

∴∠1=∠2.

∠�� = ∠�� ,

在△CFP 和△DEP 中, � = �,

∠1 = ∠2,

∴△CFP≌△DEP(ASA).

∴PC=PD.

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11.(1)证明 ∵∠C=90°,∴DC⊥AC.

∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E,∴DC=DE,∠DEB=∠C=90°.

在Rt△DCF 与Rt△DEB 中,∵ � = � � ,

∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL).

∴CF=EB.

(2)解 AE=AF+BE.理由如下:

∵AD 平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD. 又∠C=∠DEA=90°,AD=AD,

∴△ACD≌△AED(AAS).

∴AC=AE.

由(1)知 BE=CF.

∴AC=AF+CF=AF+BE, 即 AE=AF+BE.

12.证明 过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 的延长线于点 F.

∵DA 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AF,

∴DE=DF.

∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,

∴∠B=∠FCD.

∠� = ∠�� ,

在△DFC 和△DEB 中, ∠� � � = ∠� ,

� = �,

∴△DFC≌△DEB.

∴DC=DB.