初中人教版12.3 角的平分线的性质第2课时精练

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第 2 课时 角的平分线的性质
如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,BA 和 CD 的延长线交于点 E,若点 P 使得 S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点 P(              ). 有且只有 1 个 有且只有 2 个 组成∠E 的平分线 组成∠E 的平分线所在的直线(点 E 除外) 如图,已知点 P 到 AE,AD,BC 的距离相等,则下列说法:①点 P 在∠BAC 的平分线上;②点 P 在∠CBE 的平分线上;③点 P 在∠BCD 的平分线上;④点 P 是∠BAC,∠CBE,∠BCD 的平分线的交点,其中正确的 是 ( ) .     A.①②③④ B.①②③ C.④ D.②③ 如图,三条公路两两相交,交点分别为 A,B,C.现计划修一个油库,要求到三条公路的距离相等,可供选择的地址有( ) . A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 如图,AB∥CD,点 P 到 AB,BC,CD 的距离相等,则∠P=       .
如图,已知 AO 平分∠BAC,OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为 D,E,且 OD=OE.
 求证:CO 平分∠ACB.     
如图,DE⊥AB,交 AB 的延长线于点 E,DF⊥AC 于点 F,且 BE=CF,BD=CD.求证:AD 是∠BAC 的平分线.        如图,有一名民警在值班,他位于到平行大街的两侧以及过街天桥 AB 的距离相等的点 P 处.此时,这位民警发现有一可疑人员从天桥 A 处走向 B 处,请问民警在注视可疑人员从 A 处走到 B 处时,他的视线转过了多少角度?     
★8.如图,在∠AOB 的两边 OA,OB 上分别取 OM=ON,OD=OE,DN 和 EM 相交于点 C.求证:点 C 在∠ AOB 的平分线上.
          答案与解析 夯基达标 1.D 2.A 3.D △ABC 的两个内角平分线的交点,以及三个外角两两平分线的交点都满足要求. 4.90° 证明 作 OF⊥AC,垂足为 F.
∵AO 平分∠BAC, ∴OF=OE. 又 OD=OE,∴OF=OD. ∴点 O 在∠ACB 的平分线上,即 CO 平分∠ACB. 培优促能 证明 ∵DE⊥AB,交 AB 的延长线于点 E,DF⊥AC 于点 F,∴∠BED=∠CFD=90°. 在Rt△BDE 和Rt△CDF 中, � = �,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴DE=DF. ∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴点 D 在∠BAC 的平分线上,即 AD 是∠BAC 的平分线.
解 连接 PA,PB.因为点 P 到 BE,AF,AB 的距离相等,所以 PA,PB 分别是∠FAB,∠EBA 的平分线, 即∠PBA=1              EBA,∠PAB=1              FAB.∠ ∠2 2 因为 BE∥AF,所以∠EBA+∠FAB=180°. 所以∠PBA+∠PAB=1(∠EBA+∠FAB)=90°.2 所以∠APB=180°-(∠PBA+∠PAB)=180°-90°=90°. 所以民警的视线转过的角度是 90°. 创新应用 证明 过点 C 作 CG⊥OA 于点 G,CF⊥OB 于点 F.如图,在△MOE 和△NOD 中,OM=ON,∠ MOE=∠NOD,OE=OD,
 ∴△MOE≌△NOD(SAS). ∴S△MOE=S△NOD, ∴S△MOE-S 四边形 ODCE=S△NOD-S 四边形 ODCE, 即 S△MDC=S△NEC. ∵OM=ON,OD=OE,∴MD=NE.1DM·CG=1EN·CF,2 2 ∴CG=CF. 又 CG⊥OA,CF⊥OB, ∴点 C 在∠AOB 的平分线上.