2020年天津市河东区高考数学一模试卷 （解析版）

这是一份2020年天津市河东区高考数学一模试卷 （解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年高考数学一模试卷
一、选择题
1．已知集合A＝{﹣2，﹣3，﹣4，4，5}，B＝{x||x﹣1|＜π}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣3，4}
B．{﹣2，4，5}
C．{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0，1，2，3，4，5}
D．{﹣2，4}
2．i是虚数单位，复数Z满足条件2Z+|Z|＝2i，则复数Z在复平面的坐标为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．双曲线1（a＞0）的一条渐进线与直线yx垂直，则a的值为（　　）
A．5 B．25 C． D．1
4．已知平面α、β，直线l⊂α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（　　）
A．若α∥β，m∥β，则l∥m B．若α∥β，m⊥β，则l⊥m
C．若1∥m，α∥β，则m∥β D．若l⊥m，m∥β，则α⊥β
5．对于非零向量、，“2”是“，共线”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数f（x）为定义在[﹣3，3]的奇函数，且f（2）＞f（1）＞f（3）＞0，则下列各式一定正确的是（　　）
A．f（1）﹣f（log2）＞f（0）﹣f（log9）
B．f（log9）+f（﹣1）＝f（log2）+f（0）
C．﹣f（log9）+f（﹣1）＞f（1）﹣f（log28）
D．f（log 9）+f（﹣1）＜f（log2）+f（0）
7．三角形ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，∠A，b＝3，三角形ABC的面积为，则边a的值为（　　）
A． B． C．7 D．49
8．已知实数a、b，ab＞0，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．6
9．已知函数f（x）＝sin（4x）（x∈[0，]），函数g（x）＝f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　）
A．[，] B．[，] C．[0，） D．[，）
二、填空题
10．在（）5的展开式中，xy3的系数是　 　．
11．已知抛物线的焦点为F（0，），点P（1，t）在抛物线上，则点P到F的距离　 　．
12．已知圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点D（3，4）到圆O上的点最小距离为　 　．
13．正四棱锥的高与底面边长相等且体积为，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中点的球的表面积为　 　．
14．已知圆O内接正三角形ABC边长为2，圆心为O，则•　 　，若线段BC上一点D，BDDC，　 　．

15．函数f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+3，若存在x1，x2，…，xn∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn），n∈N*，则n的最大值为　 　．
三、解答题
16．已知递增等差数列{an}，等比数列{bn}，数列{cn}，a1＝c1＝1，c4＝9，a1、a2、a5成等比数列，bn＝an+cn，n∈N*．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn．
17．“海河英才”行动计划政策实施1年半以来，截止2019年11月30日，累计引进各类人才落户23.5万人．具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金获得者等顶尖领军人才112人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查．
（1）李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随即进行采访，每天4人（4人任意顺序），周五采访学历型人才不超过2人的概率：
（2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度；
（3）若PA＝2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE，若存在，求PF的长度，若不存在，请说明理由．

19．已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），左右顶点分别为A，B，上顶点为C，∠BFC＝120°．
（1）求椭圆离心率；
（2）点F到直线BC的距离为，求椭圆方程；
（3）在（2）的条件下，点P在椭圆上且异于A，B两点，直线AP与直线x＝2交于点D，说明P运动时以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明．
20．已知函数f（x）＝x2﹣x+klnx，k＞0．
（1）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，求k的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）有两个不同极值点为x1、x2，证明|f（x1）﹣f（x2）|2k．


参考答案
一.选择题
1．已知集合A＝{﹣2，﹣3，﹣4，4，5}，B＝{x||x﹣1|＜π}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣3，4}
B．{﹣2，4，5}
C．{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0，1，2，3，4，5}
D．{﹣2，4}
【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
解：∵集合A＝{﹣2，﹣3，﹣4，4，5}，B＝{x||x﹣1|＜π}＝（﹣π+1，π+1）
∴A∩B＝{﹣2，4}，
故选：D．
2．i是虚数单位，复数Z满足条件2Z+|Z|＝2i，则复数Z在复平面的坐标为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】设Z＝x+yi，（x，y∈R）．由2Z+|Z|＝2i，可得2（x+yi）2i，可得：2x0，2y＝2，解出即可得出．
解：设Z＝x+yi，（x，y∈R）．
∵2Z+|Z|＝2i，∴2（x+yi）2i，
可得：2x0，2y＝2，
解得y＝1，x．
∴复数Z在复平面的坐标为（，1）在第二象限．
故选：B．
3．双曲线1（a＞0）的一条渐进线与直线yx垂直，则a的值为（　　）
A．5 B．25 C． D．1
【分析】首先根据题意，由双曲线的方程判断出a＞0，进而可得其渐近线的方程；再求得直线yx的斜率，根据直线垂直关系列出方程，求解即可．
解：根据题意，双曲线1（a＞0）的一条渐进线为y＝±x；
直线yx的斜率为，
双曲线1（a＞0）的一条渐进线与直线yx垂直，必有双曲线的一条渐近线的斜率为；
即 a＝5，
故选：A．
4．已知平面α、β，直线l⊂α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（　　）
A．若α∥β，m∥β，则l∥m B．若α∥β，m⊥β，则l⊥m
C．若1∥m，α∥β，则m∥β D．若l⊥m，m∥β，则α⊥β
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
解：对于A，若α∥β，m∥β，则l∥m或l与m异面，故A错误；
对于B，若α∥β，m⊥β，则m⊥α，又l⊂α，则l⊥m，故B正确；
对于C，若1∥m，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；
对于D，若l⊥m，m∥β，则α∥β或α与β相交，故D错误．
故选：B．
5．对于非零向量、，“2”是“，共线”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】对于非零向量、，“2”⇒“，共线”，反之不一定成立，可举例说明．
解：对于非零向量、，“2”⇒“，共线”，
反之不一定成立，可能：2等．
∴“2”是“，共线”的充分不必要条件．
故选：B．
6．已知函数f（x）为定义在[﹣3，3]的奇函数，且f（2）＞f（1）＞f（3）＞0，则下列各式一定正确的是（　　）
A．f（1）﹣f（log2）＞f（0）﹣f（log9）
B．f（log9）+f（﹣1）＝f（log2）+f（0）
C．﹣f（log9）+f（﹣1）＞f（1）﹣f（log28）
D．f（log 9）+f（﹣1）＜f（log2）+f（0）
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，据此结合不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．
解：根据题意，函数f（x）为定义在[﹣3，3]的奇函数，则有f（0）＝0，
据此分析选项：
对于A，f（1）﹣f（log2）＞f（0）﹣f（log9），即f（1）﹣f（﹣3）＞f（0）﹣f（﹣2），变形可得f（1）+f（3）＞f（2），不一定正确；
对于B，f（log9）+f（﹣1）＝f（log2）+f（0），即f（﹣2）+f（﹣1）＝f（﹣3）+f（0），变形可得f（2）+f（1）＝f（3），不正确；
对于C，﹣f（log9）+f（﹣1）＞f（1）﹣f（log28），即﹣f（﹣2）+f（﹣1）＞f（1）﹣f（3），变形可得f（2）﹣2f（1）+f（3）＞0，不一定正确；
对于D，f（log 9）+f（﹣1）＜f（log2）+f（0），即f（﹣2）+f（﹣1）＜f（﹣3），变形可得f（2）+f（1）＞f（3），
又由f（2）＞f（1）＞f（3）＞0，则必有f（2）+f（1）＞f（3），故D一定正确；
故选：D．
7．三角形ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，∠A，b＝3，三角形ABC的面积为，则边a的值为（　　）
A． B． C．7 D．49
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而根据余弦定理可求a的值．
解：∵∠A，b＝3，三角形ABC的面积为bcsinA，
∴解得：c＝5，
∴由余弦定理可得：a7．
故选：C．
8．已知实数a、b，ab＞0，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．6
【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果．
解：由于a2+b2≥2ab＞0，
所以，
故：，（当且仅当a＝b时，等号成立）．
故选：A．
9．已知函数f（x）＝sin（4x）（x∈[0，]），函数g（x）＝f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　）
A．[，] B．[，] C．[0，） D．[，）
【分析】根据题意画出函数f（x）的图象，函数g（x）＝f（x）+a有三个零点，等价于函数y＝f（x）与函数y＝﹣a有三个交点，利用数形结合法即可求出x1+x2+x3的取值范围．
解：根据题意画出函数f（x）的图象，如图所示：
，
函数g（x）＝f（x）+a有三个零点，等价于函数y＝f（x）与函数y＝﹣a有三个交点，
当直线l位于直线l1与直线l2之间时，符合题意，
由图象可知：，，
所以，
故选：D．
二、填空题
10．在（）5的展开式中，xy3的系数是　　．
【分析】写出二项展开式的通项，得到r值，则答案可求．
解：（）5的展开式的通项为．
取r＝3，可得（）5的展开式xy3的系数为．
故答案为：．
11．已知抛物线的焦点为F（0，），点P（1，t）在抛物线上，则点P到F的距离　1　．
【分析】先通过焦点坐标，求出p和抛物线的方程，再把点P的坐标代入，可求得t，然后利用抛物线的定义即可得解．
解：设抛物线的方程为x2＝﹣2py（p＞0），
∵抛物线的焦点为F（0，），∴p＝1，抛物线的方程为x2＝﹣2y，
把点P（1，t）代入x2＝﹣2y，得1＝﹣2t，∴t，
由抛物线的定义可知，
点P到F的距离为．
故答案为：1．
12．已知圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点D（3，4）到圆O上的点最小距离为　　．
【分析】由题意利用用待定系数法求出圆的方程，再根据点和圆的位置关系，得出结论．
解：设圆O的方程为x2+y2+dx+ey+f＝0，∵圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），
∴，求得，故圆的方程为 x2+y2+2x﹣4y＝0，
即 （x+1）2+（y﹣2）2＝5，表示圆心为（﹣1，2）、半径为的圆．
∵|DO|2，
故点D（3，4）到圆O上的点最小距离为2，
故答案为：．
13．正四棱锥的高与底面边长相等且体积为，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中点的球的表面积为　6π　．
【分析】先利用正四棱锥的体积求出底面边长，根据题意，四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为1的正方形EFGH，而球O是以正方形EFGH为底面，点O为中心的长方体的外接球，从而利用长方体的外接球即可求出球O的半径，进而求出球O的表面积．
解：设正四棱锥的底面边长为a，则高也是a，
所以正四棱锥的体积为：，
解得：a＝2，
设底面中心为点O，则O为球心，
易知四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为1的正方形EFGH，如图所示：
，
因为球O经过四棱锥四条侧棱中点，所以球O是以正方形EFGH为底面，点O为中心的长方体的外接球，
显然长方体的高为2，
所以球O的半径R，
所以球O的表面积为：4πR2＝46π，
故答案为：6π．
14．已知圆O内接正三角形ABC边长为2，圆心为O，则•　　，若线段BC上一点D，BDDC，　　．

【分析】先根据正弦定理求得半径R，进而求得第一个空，再结合向量的三角形法则求得第二个空．
解：因为△ABC是半径为R的⊙O的内接正三角形．
所以2R，解得R．
显然△OBC是等腰三角形，且OB＝OC＝R，∠BOC＝120°．
∴R2•cos120°，
∵线段BC上一点D，BDDC，
∴（）•（）（）•（）（）（﹣222×2×cos60°22）；
故答案为：，．
15．函数f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+3，若存在x1，x2，…，xn∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn），n∈N*，则n的最大值为　8　．
【分析】因为f（x1）+f（x2）+…f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn）等价于（x1﹣1）2+2+（x2﹣1）2+2+…+（xn﹣1﹣1）2+2＝（xn﹣1）2+2有解，又左边的最小值为2（n﹣1），右边的最大值为，所以2（n﹣1）且n为正整数，从而可得n的最大值为8．
解：因为f（x1）+f（x2）+…f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn）等价于（x1﹣1）2+2+（x2﹣1）2+2+…+（xn﹣1﹣1）2+2＝（xn﹣1）2+2有解，
∵，
∴（x1﹣1）2+2+（x2﹣1）2+2+…+（xn﹣1﹣1）2+2≥2（n﹣1），（xn﹣1）2+2，
根据题意得2（n﹣1）且n为正整数，
∴n，∴n的最大值为8，
故答案为：8．
三、解答题
16．已知递增等差数列{an}，等比数列{bn}，数列{cn}，a1＝c1＝1，c4＝9，a1、a2、a5成等比数列，bn＝an+cn，n∈N*．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn．
【分析】（1）设等差数列的公差为d，d＞0，由等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到an；再由b1＝a1+c1，可得{bn}的首项，结合等比数列的通项公式求得公比，进而得到bn；
（2）求得cn＝bn﹣an＝2n﹣（2n﹣1），再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
解：（1）递增等差数列{an}的公差设为d，d＞0，
a1、a2、a5成等比数列，可得a22＝a1a5，
即（a1+d）2＝a1（a1+4d），即为（1+d）2＝1+4d，解得d＝2（0舍去），
则an＝2n﹣1，n∈N*；
等比数列{bn}的公比设为q，
b1＝a1+c1＝2，bn＝2qn﹣1，
b4＝a4+c4＝16，即有q38，解得q＝2，
则bn＝2n，n∈N*；
（2）cn＝bn﹣an＝2n﹣（2n﹣1），
前n项和Sn＝c1+c2+…+cn＝（2+22+…+2n）﹣[1+3+…+（2n﹣1）]
（1+2n﹣1）n＝2n+1﹣2﹣n2．
17．“海河英才”行动计划政策实施1年半以来，截止2019年11月30日，累计引进各类人才落户23.5万人．具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金获得者等顶尖领军人才112人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查．
（1）李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随即进行采访，每天4人（4人任意顺序），周五采访学历型人才不超过2人的概率：
（2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？

【分析】（1）设事件A表示“周五采访学历型人才不超过2人”，利用古典概型概率计算公式能求出周五采访学历型人才不超过2人的概率．
（2）设创业急需型人才最少需要x元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人，各类人才的补贴数额为随机变量ξ，取值分别为400，500，600，x，分别求出相应的概率，进而求出E（ξ）＝484.6+0.018x，由484.6+0.018x≥500，能求出结果．
解：（1）设事件A表示“周五采访学历型人才不超过2人”，
则周五采访学历型人才不超过2人的概率为：
P（A）．
（2）设创业急需型人才最少需要x元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人，
各类人才的补贴数额为随机变量ξ，取值分别为400，500，600，x，
P（ξ＝400）＝25.5%＝0.255，
P（ξ＝500）＝53.6%＝0.536，
P（ξ＝600）＝19.1%＝0.191，
P（ξ＝x）＝1.8%＝0.018，
E（ξ）＝400×0.255+500×0.536+600×0.191+0.018x＝484.6+0.018x，
484.6+0.018x≥500，
解得x855.56，
∴创业急需型人才最少需要855.56元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度；
（3）若PA＝2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE，若存在，求PF的长度，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由题意，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．设PA＝a（a＞0），求出平面BDE的一个法向量为与的坐标，利用，结合PC⊄平面BDE，可得PC∥平面BDE；
（2）设平面PCD的法向量为，求出及，由已知线面角的正弦值结合两向量所成角的余弦值列式求得a值，可得PA的长度是2或4；
（3）由PA＝2，得P（2，2，0），设线段PC上存在一点F，使AF⊥平面BDE，且，得到F（2﹣2λ，2﹣2λ，2λ），再由与共线求得λ，得到的坐标，则|PF|可求．
【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，
∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．
设PA＝a（a＞0）
则A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，2），D（0，0，0），
P（a，2，0），E（）．
，
设平面BDE的一个法向量为．
，，
由，取y1＝1，得．
，
又PC⊄平面BDE，∴PC∥平面BDE；
（2）证明：设平面PCD的法向量为，
，，
由，令x2＝2，得．
，
由题意，|cos|＝||，
解得a＝2或4，
∴PA的长度是2或4；
（3）解：∵PA＝2，∴P（2，2，0），
设线段PC上存在一点F，使AF⊥平面BDE，且，
由，得F（2﹣2λ，2﹣2λ，2λ），
又，，
∴由，解得．
∴|PF|＝||．

19．已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），左右顶点分别为A，B，上顶点为C，∠BFC＝120°．
（1）求椭圆离心率；
（2）点F到直线BC的距离为，求椭圆方程；
（3）在（2）的条件下，点P在椭圆上且异于A，B两点，直线AP与直线x＝2交于点D，说明P运动时以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明．
【分析】（1）根据∠BFC＝120°可知，∠OFC＝60°，再结合锐角三角函数即可求得离心率；
（2）由（1）的结论，先导出b与c的关系，确定B和C的坐标后，写出直线BC的方程，利用点到直线的距离公式可建立a与c的等量关系，再结合a＝2c，即可求得a、b、c的值，于是得解；
（3）直线AP的斜率一定存在，设其方程为y＝k（x+2）（k≠0），点P的坐标为（xP，yP），将其与椭圆的方程联立，利用两根之积可表示出点P的坐标；把x＝2代入直线AP方程可求出点D的坐标，从而得到以BD为直径的圆的圆心E的坐标；然后分PF⊥x轴和PF不垂直x轴两个类别讨论圆E与直线PF的位置关系即可．
解：（1）∵∠BFC＝120°，∴∠OFC＝60°，即．
故椭圆的离心率为．
（2）由（1）可知，a＝2c，∴，
∵B（a，0），C（0，b），∴直线BC的方程为，
点F到直线BC的距离，即a﹣c＝1，
∴a＝2，c＝1，b，
故椭圆的方程为．
（3）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：
直线AP的斜率一定存在，设其方程为y＝k（x+2）（k≠0），点P的坐标为（xP，yP），
联立得，（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，
∴即，，
把x＝2代入y＝k（x+2）得，y＝4k，∴点D（2，4k），∴以BD为直径的圆的圆心E的坐标为（2，2k），
当PF⊥x轴，即时，点P（），直线PF方程为x＝1，圆心E（2，±1），半径为1，∴圆E与直线PF相切；
当PF不垂直x轴，即时，，直线PF方程为，
点E到直线PF的距离，为圆E的半径，∴圆E与直线PF相切．
综上所述，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．

20．已知函数f（x）＝x2﹣x+klnx，k＞0．
（1）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，求k的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）有两个不同极值点为x1、x2，证明|f（x1）﹣f（x2）|2k．
【分析】（1）直接令x＝1处的导数值为2即可；
（2）讨论导数的零点存在情况及大小情况，确定导数的在每个区间上的符号，从而确定原函数的单调性；
（3）利用极值点满足的韦达定理，将f（x1）﹣f（x2）转化为关于的函数，然后再结合要解决的问题，最终化归为一个不等式恒成立，求函数的最值的问题．
解：（1），f′（1）＝1+k＝2，∴k＝1．
（2）令f′（x）＝0得：2x2﹣x+k＝0，△＝1﹣8k．
①当时，△≤0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增；
②当时，△＞0，，，故x1，x2＞0．
，，
可知：f（x）在上递增；在上递减．
（3）证明：由（2）知，，f（x2）＞f（x1）．
所以f（x1）﹣f（x2）（x1﹣x2）（x1+x2﹣1）+kln
，令．
则，只需证明．
即证：g（t）．
又，且1﹣t2＝1﹣（1﹣8k）＝8k，
∴，g（t）在（0，1）上递增，
所以g（t）＞g（0）＝0，得证．