2021年河南省中考数学模拟试卷（三） 解析版

这是一份2021年河南省中考数学模拟试卷（三） 解析版，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
2．（3分）如图，胶带的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）“知识进乡村，技术富乡亲”，全国已有1700万高素质农民活跃在乡村振兴一线，为加快农业农村现代化提供有力人才支撑．数据“1700万”用科学记数法表示为（ ）
A．1.7×102B．1.7×103C．1.7×107D．1.7×108
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2b3）2＝﹣4b6B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2a2+a2＝3a2D．2a6÷2a2＝a3
5．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，点D在边BC上，边DE，AB交于点G．若EF∥AB，则∠CDE的度数为（ ）
A．105°B．100°C．95°D．75°
6．（3分）我们从电视上看到一些大型比赛，通常有若干个评委现场打分，在公布得分时，主持人会说：“去掉一个最高分，去掉一个最低分，×××的最后得分是…”根据你的经验，去掉一个最高分和一个最低分之后，统计量一定不会发生变化的是（ ）
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
7．（3分）不等式组的最大整数解是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
8．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥y轴，BC⊥AB于点B，交y轴于点C．若△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E．若AC＝3，BC＝4，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，1），（3，1），若正方形ABCD第1次沿x轴翻折，第2次沿y轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿x轴翻折，…则第2021次翻折后点C对应点的坐标为（ ）
A．（3，﹣3）B．（3，3）C．（﹣3，3）D．（﹣3，﹣3）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值可能是 （写出一个即可）．
13．（3分）几何图形嵌板是一种开发幼儿智力的玩具．如图，甲，乙两个小朋友分别从A，B，C，D四个嵌板中随机抓取一个，放在操作屉中，则他们抓取相同嵌板的概率为 ．
14．（3分）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，CD＝AE＝2，连接AD，BE，点F，G分别是BE，AD的中点，连接FG，则线段FG的长为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边上一动点．将△OCE沿OE翻折得到△OC'E，OC'交BC于点F，且点C'在BC下方，连接BC'．当△BEC'是直角三角形时，△BEC'的周长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：，其中．
17．（9分）4月23日是“世界读书日”，某校团委发起了“让阅读成为习惯”的读书活动，鼓励学生利用周末积极阅读课外书籍．为了解该校学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了八年级部分学生的读书时间x（单位：分钟），把读书时间分为四组：A（30≤x＜60），B（60≤x＜90），C（90≤x＜120），D（120≤x＜150）．部分数据信息如下：
a．B组和C组的所有数据：85 90 60 70 110 75 65 78 100 90 80 95 90
b．根据调查结来绘制了如下尚不完整的统计图：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）被调查的学生共有 人，并补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角是 °；
（3）若该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中周末两天读书时间不少于90分钟的人数．
18．（10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的半圆O交BC边于点D，交AC边于点E，过点D作半圆O的切线交AC于点F，DF⊥AC，连接AD，DE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝2，∠CAB＝45°．填空：
①的长为 ；
②△CDE的面积为 ．
19．（8分）中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市著名地标之一．小明和小亮利用卷尺和自制的测角仪测量福塔的高度．如图，小明站在点A处测得福塔顶端D的仰角为60°，小亮站在点B处测得福塔顶端D的仰角为72.3°．已知测角仪高度为1m，两人相距100m（点A，B，C在一条直线上）．
（1）求中原福塔CD的高度；（结果精确到0.1m．参考数据：sin72.3≈0.95，cs72.3≈0.30，tan72.3≈3.13，）
（2）“景点简介”显示，中原福塔总高388m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
20．（10分）如图，抛物线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），点P是线段AB上方的抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当线段PQ的长取得最大值时，连接OQ，BP．请判断四边形OBPQ的形状并说明理由．
21．（10分）为预防新冠病毒，某大型商场积极响应政府号召，除对进入商场人员进行体温测量、督促戴口罩外，每天还对商场全面消毒．经了解，该商场购买的是A，B两种桶装消毒液，已知2桶A种消毒液和3桶B种消毒液共需要1200元；5桶A种消毒液和1桶B种消毒液共需要1700元．
（1）求A，B两种消毒液每桶的单价；
（2）政府规定：一次购买A种消毒液30桶以上，买几桶每桶补贴几元（每桶最多补贴100元）；B种消毒液没有补贴．若该商场一次购买两种消毒液共100桶，且A种消毒液桶数不少于B种消毒液桶数的，则商场最少要花多少钱？
22．（10分）如图1，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm．点P是以AC为直径的半圆上的动点，设C，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm．根据学习函数的经验，小宇分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：
（1）根据点P在半圆上的不同位置，画出相应的图形，测量线段CP，BP，AP的长度，得到下表的几组对应值：
如图2，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y1的图象，请在同一坐标系中，描点并画出函数y2的图象；（2）结合函数图象填空：当x≈ cm时，y1＝y2；当y1＜y2时，x的取值范围是 ；（结果精确到0.1cm）
（3）当PA＝PC时，结合函数图象写出线段CP与BP的长．（结果精确到0.1cm）
23．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，将边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α．过点D作DF⊥BC于点F，过点B作BE⊥直线B′D于点E，连接EF．
【探索发现】（1）填空：当α＝60°时，∠EBB'＝ °；的值是 ；
【验证猜想】（2）当0°＜α＜360°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若，当△BDE是等腰直角三角形时，请直接写出线段EF的长．
2021年河南省中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
【分析】根据绝对值的定义直接解答即可．
【解答】解：∵﹣3的绝对值表示﹣3的点到原点的距离，
∴|﹣3|＝3，
故选：D．
2．（3分）如图，胶带的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左边看去，是一个矩形，矩形里面有两条横向的虚线．
故选：B．
3．（3分）“知识进乡村，技术富乡亲”，全国已有1700万高素质农民活跃在乡村振兴一线，为加快农业农村现代化提供有力人才支撑．数据“1700万”用科学记数法表示为（ ）
A．1.7×102B．1.7×103C．1.7×107D．1.7×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1700万＝17000000＝1.7×107．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2b3）2＝﹣4b6B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2a2+a2＝3a2D．2a6÷2a2＝a3
【分析】根据积的乘方的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的除法的运算法则解答即可．
【解答】解：A、（﹣2b3）2＝4b6，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、2a2+a2＝3a2，原计算正确，故此选项符合题意；
D、2a6÷2a2＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，点D在边BC上，边DE，AB交于点G．若EF∥AB，则∠CDE的度数为（ ）
A．105°B．100°C．95°D．75°
【分析】由平行线的性质可得∠BGD＝45°，再利用外角的性质即可求得∠CDE的度数．
【解答】解：∵EF∥AB，∠E＝45°，
∴∠BGD＝∠E＝45°，
∵∠CDE是△BDG的外角，∠B＝60°，
∴∠CDE＝∠B+∠BGD＝105°．
故选：A．
6．（3分）我们从电视上看到一些大型比赛，通常有若干个评委现场打分，在公布得分时，主持人会说：“去掉一个最高分，去掉一个最低分，×××的最后得分是…”根据你的经验，去掉一个最高分和一个最低分之后，统计量一定不会发生变化的是（ ）
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
【解答】解：统把得分按大小顺序排列后，去掉一个最高分和一个最低分，处于中间位置的数据不受影响，
所以中位数不变．而平均数、众数、方差均与所有数据有关，可能会受到影响．
故选：D．
7．（3分）不等式组的最大整数解是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最大整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥﹣3，
解不等式②，得x＜﹣1，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜﹣1，
∴不等式组的最大整数解为﹣2．
故选：B．
8．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥y轴，BC⊥AB于点B，交y轴于点C．若△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
【分析】连接OA、OB，设AB交x轴于点D，易得S△AOD+S△BOD＝S△ABC＝3，根据反比例函数系数k的几何意义得到×|﹣4|+|k|＝3，解方程可求k的值．
【解答】解：如图，连接OA、OB，设AB交x轴于点D．
∵AB∥y轴，
∴S△AOB＝S△ABC，即S△AOD+S△BOD＝S△ABC＝3，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴×|﹣4|+|k|＝3，
∴|k|＝2．
∵在第三象限，
∴k＝2，
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E．若AC＝3，BC＝4，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接DE，如图，先利用勾股定理计算出AB＝5，再利用基本作图可得到∠BAE＝∠CAE，接着证明△ADE≌△ACE得到ED＝EC，∠ADE＝∠ACE＝90°，设CE＝x，则DE＝x，BE＝4﹣x，利用勾股定理得到x2+22＝（4﹣x）2，解方程得x＝，所以BE＝，从而得到的值．
【解答】解：连接DE，如图，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
由作法得AP平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴ED＝EC，∠ADE＝∠ACE＝90°，
设CE＝x，则DE＝x，BE＝4﹣x，
在Rt△BCE中，x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，
∴BE＝4﹣＝，
∴＝＝．
故选：B．
10．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，1），（3，1），若正方形ABCD第1次沿x轴翻折，第2次沿y轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿x轴翻折，…则第2021次翻折后点C对应点的坐标为（ ）
A．（3，﹣3）B．（3，3）C．（﹣3，3）D．（﹣3，﹣3）
【分析】由A，B的坐标分别为（1，1），（3，1），四边形ABCD是正方形，可得C（3，3），经过第1次翻折后点C对应点的坐标为（3，﹣3），第2次翻折后点C对应点的坐标为（﹣3，﹣3），第3次翻折后点C对应点的坐标为（﹣3，3），第4次翻折后点C对应点的坐标为（3，3），根据规律即可得经过第2021次翻折后点C对应点的坐标为（3，﹣3）．
【解答】解：∵A，B的坐标分别为（1，1），（3，1），
∴AB＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，
∴C（3，3），
∴第1次翻折后点C对应点的坐标为（3，﹣3），第2次翻折后点C对应点的坐标为（﹣3，﹣3），第3次翻折后点C对应点的坐标为（﹣3，3），第4次翻折后点C对应点的坐标为（3，3），
而2021＝505×4+1，
∴经过第2021次翻折后点C对应点的坐标为（3，﹣3），
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ﹣1 ．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值可能是 ﹣4 （写出一个即可）．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的任意一值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝02﹣4m＞0，
∴m＜0．
故答案可为：﹣4．
13．（3分）几何图形嵌板是一种开发幼儿智力的玩具．如图，甲，乙两个小朋友分别从A，B，C，D四个嵌板中随机抓取一个，放在操作屉中，则他们抓取相同嵌板的概率为 ．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出他们抓取相同嵌板的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题画图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中抓取相同嵌板的结果有4种，
则他们抓取相同嵌板的概率为＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，CD＝AE＝2，连接AD，BE，点F，G分别是BE，AD的中点，连接FG，则线段FG的长为 ．
【分析】取AB的中点H，连接FH，GH，过点F作FM⊥HG于点M．由直角三角形的性质求出HM，MF的长，由勾股定理可求出GF的长．
【解答】解：如图，取AB的中点H，连接FH，GH，过点F作FM⊥HG于点M．
在△ABD中，G，H分别是AD，AB的中点．且BD＝6﹣2＝4，
∴GH＝BD＝2，GH∥BD，
同理HF＝AE＝1，
∴HF∥AE．
∵△ACB是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠AHG＝∠BHF＝60°，
∴∠FHG＝60°，
∴HM＝HF•cs60°＝，MF＝HF•sin60°＝，
∴MG＝，
∴FG＝＝．
故答案为．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边上一动点．将△OCE沿OE翻折得到△OC'E，OC'交BC于点F，且点C'在BC下方，连接BC'．当△BEC'是直角三角形时，△BEC'的周长为 +4或6 ．
【分析】由矩形的性质可得∠OBC＝∠OCB，再根据翻折性质得∠BC′O＝∠BEO，然后分两种情况：①当∠BEC′＝90°时；②当∠BC′E＝90°时，根据勾股定理可得答案．
【解答】解；在矩形ABCD中，BD＝AC＝＝2．
∴OB＝OC＝．
∴∠OBC＝∠OCB．
∵△OCE没OE翻折得到△OC′E，
∴∠OCE＝∠OC′E＝∠OBC，∠COE＝∠C′OE，OC′＝OC＝OB，C′E＝CE．
∴∠OBC′＝∠OC′B，BE+C′E＝BC＝4．
∵∠BOC′+2∠OCE+2∠COE＝180°，
∴∠BOC′+2（∠OCE+∠COE）＝180°，
∵∠BOC′+2∠OC′B＝180°，
∴∠OBC′＝∠BC′O＝∠BEO．
∴∠C′BF＝∠C′OE，
分再种情况：
①如图1，当∠BEC′＝90°时，∠BOC′＝180°﹣（∠OBC+∠C′BE+∠BC′O）＝180°﹣（∠OC′E+∠C′BE+∠BC′O）＝180°﹣（∠BC′E+∠C′BE）＝90°．
∴BC′＝＝．
∴△BEC′的周长为BC′+BE+C′E＝+4．
②如图2，当∠BC′E＝90°时，∠BC′F+∠EC′F＝90°．
∴∠BEO+∠OBC＝90°，
∴∠BOE＝90°．
∵cs∠OBE＝，即，
∴BE＝，
∴C′E＝CE＝4﹣＝，
∴BC′＝＝2．
∴△BEC′的周长为BC′+BE+C′E＝6．
综上所述，△BEC的周长为+4或6．
故答案为：+4或6．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先计算括号内分式的减法，将除式分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝﹣3时，
原式＝
＝
＝1﹣．
17．（9分）4月23日是“世界读书日”，某校团委发起了“让阅读成为习惯”的读书活动，鼓励学生利用周末积极阅读课外书籍．为了解该校学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了八年级部分学生的读书时间x（单位：分钟），把读书时间分为四组：A（30≤x＜60），B（60≤x＜90），C（90≤x＜120），D（120≤x＜150）．部分数据信息如下：
a．B组和C组的所有数据：85 90 60 70 110 75 65 78 100 90 80 95 90
b．根据调查结来绘制了如下尚不完整的统计图：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）被调查的学生共有 20 人，并补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角是 108 °；
（3）若该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中周末两天读书时间不少于90分钟的人数．
【分析】（1）根据频率＝可求出答案；求出D组频数，再求出B组频数即可补全频数分布直方图；
（2）求出C组所占整体的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）求出八年级学生中周末两天读书时间不少于90分钟的人所占的百分比，即可求出相应的人数．
【解答】解：（1）4÷20%＝20（人），
B组的人数为：13﹣6＝7（人），
D组的人数为：20﹣4﹣6﹣7＝3（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）400×＝180（人），
答：八年级学生中周末两天读书时间不少于90分钟的大约有180人．
18．（10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的半圆O交BC边于点D，交AC边于点E，过点D作半圆O的切线交AC于点F，DF⊥AC，连接AD，DE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝2，∠CAB＝45°．填空：
①的长为 ；
②△CDE的面积为 ．
【分析】（1）连接OD，则OD⊥DF，结合DF⊥AC得到OD∥AC，根据平行线的性质及等角对等边得出∠OBD＝∠C，再根据等角对等边即可得解；
（2）①根据平行线的性质及等腰三角形的性质得出∠ODA＝∠OAD＝22.5°，根据三角形的外角性质得出∠BOD＝45°，再根据弧长公式求解即可；
②连接BE，解直角三角形得出AE＝BE＝AB•cs∠CAB＝2×＝，则CE＝AC﹣AE＝2﹣，根据圆周角、弦的关系得出BD＝CD＝DE，根据三角形中位线定理得出DF＝BE＝，最后根据三角形的面积公式即可得解．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵DF是半圆O的切线，
∴OD⊥DF，
∵DF⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠C＝∠ODB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：①∵OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠CAD，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAD＝∠OAD＝22.5°，
∴∠ODA＝22.5°，
∴∠BOD＝∠OAD+∠ODA＝45°，
∵AB＝2，
∴OB＝1，
∴＝＝，
故答案为：；
②如图，连接BE，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠CAB＝45°，AB＝2，
∴AE＝BE＝AB•cs∠CAB＝2×＝，
∵AB＝AC，∠CAD＝∠BAD，
∴BD＝CD＝DE，
∵DF⊥AC，
∴CF＝EF，
∴DF＝BE＝，
∴CE＝AC﹣AE＝2﹣，
∴S△CDE＝CE•DF＝×（2﹣）×＝，
故答案为：．
19．（8分）中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市著名地标之一．小明和小亮利用卷尺和自制的测角仪测量福塔的高度．如图，小明站在点A处测得福塔顶端D的仰角为60°，小亮站在点B处测得福塔顶端D的仰角为72.3°．已知测角仪高度为1m，两人相距100m（点A，B，C在一条直线上）．
（1）求中原福塔CD的高度；（结果精确到0.1m．参考数据：sin72.3≈0.95，cs72.3≈0.30，tan72.3≈3.13，）
（2）“景点简介”显示，中原福塔总高388m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【分析】（1）延长EF交CD于点G．可得四边形ABFE和四边形BCGF均为矩形．根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值列式计算即可；
（2）根据中原福塔总高388m．与（1）中结果进行比较即可计算本次测量结果的误差．
【解答】解：（1）如图，延长EF交CD于点G．
由题意知，四边形ABFE和四边形BCGF均为矩形．
∴EF＝AB＝100m，BC＝FG，AE＝BF＝CG＝1m，
设BC＝FG＝xm，则EG＝（100+x） m．
在Rt△DEG中，
∵∠DEG＝60°，
∴DG＝EG•tan60°＝（100+x）≈1.73（100+x） m．
在Rt△DFG中，
∵∠DFG＝72.3°，
∴DG＝FG•tan72.3°≈3.13x（m），
∴1.73（100+x）＝3.13x，
解得x＝123.57．
∴CD＝DG+CG≈3.13×123.57+1≈387.8（m）．
答：中原福塔CD的高度约为387.8m．（注：解法不同，答案会有误差，合理即可）．
（2）误差为388﹣387.8＝0.2（m）．
减小误差可多次测量，去测量数据的平均值（答案不唯一，合理即可）．
20．（10分）如图，抛物线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），点P是线段AB上方的抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当线段PQ的长取得最大值时，连接OQ，BP．请判断四边形OBPQ的形状并说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）设点P的横坐标为m，根据待定系数法求得线段AB的解析式，从而得出PQ＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣2）2+3．即可得到线段PQ长的最大值为3，即可得到OB＝PQ，由OB∥PQ得到四边形OBPQ为平行四边形．
【解答】解：（1）根据题意，得，
解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3．
（2）四边形OBPQ是平行四边形．
理由如下：设点P的横坐标为m，线段AB的解析式为y＝kx+t，
根据题意，得，
解得，
∴线段AB的解析式为y＝﹣x+3，
∴PQ＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣2）2+3．
∴线段PQ长的最大值为3，
∵OB＝3，
∴OB＝PQ，
∵OB∥PQ，
∴四边形OBPQ为平行四边形．
21．（10分）为预防新冠病毒，某大型商场积极响应政府号召，除对进入商场人员进行体温测量、督促戴口罩外，每天还对商场全面消毒．经了解，该商场购买的是A，B两种桶装消毒液，已知2桶A种消毒液和3桶B种消毒液共需要1200元；5桶A种消毒液和1桶B种消毒液共需要1700元．
（1）求A，B两种消毒液每桶的单价；
（2）政府规定：一次购买A种消毒液30桶以上，买几桶每桶补贴几元（每桶最多补贴100元）；B种消毒液没有补贴．若该商场一次购买两种消毒液共100桶，且A种消毒液桶数不少于B种消毒液桶数的，则商场最少要花多少钱？
【分析】（1）设A种消毒液的单价是每桶x元，B种消毒液的单价是每桶y元．由题意：2桶A种消毒液和3桶B种消毒液共需要1200元；5桶A种消毒液和1桶B种消毒液共需要1700元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设商场购买A种消毒液m桶，总费用为w元．先求出m≥40，再由w＝（300﹣m）m+200（100﹣m）＝﹣（m﹣50）2+22500，即可求解．
【解答】解：（1）设A种消毒液的单价是每桶x元，B种消毒液的单价是每桶y元．
根据题意，得：
解得：
答：A种消毒液的单价是每桶300元，B种消毒液的单价是每桶200元．
（2）设商场购买A种消毒液m桶，总费用为w元．
∵，
∴m≥40，
∴w＝（300﹣m）m+200（100﹣m）＝﹣m2+100m+20000＝﹣（m﹣50）2+22500，
当m＝100时，w有最小值，为20000．
答：该商场最少要花20000元．
22．（10分）如图1，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm．点P是以AC为直径的半圆上的动点，设C，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm．根据学习函数的经验，小宇分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：
（1）根据点P在半圆上的不同位置，画出相应的图形，测量线段CP，BP，AP的长度，得到下表的几组对应值：
如图2，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y1的图象，请在同一坐标系中，描点并画出函数y2的图象；（2）结合函数图象填空：当x≈ 1.2 cm时，y1＝y2；当y1＜y2时，x的取值范围是 0≤x＜1.2 ；（结果精确到0.1cm）
（3）当PA＝PC时，结合函数图象写出线段CP与BP的长．（结果精确到0.1cm）
【分析】（1）先确定要描的点的坐标，在网格中描点，用平滑的曲线连接即可；
（2）根据函数值相等，利用函数的性质和平均变化，在1＜x＜2之间，y1由1增加到3.8，平均变化0.8，而y2由3.3减到2.8，平均变化﹣0.5，建立方程3+0.8（x﹣1）＝3.3﹣0.5（x﹣1），求解方程，利用函数图象位置比较大小，y2的图象在y1图象的上方，在两函数图象交点的左侧，y轴右侧即可；
（3）取点（1，1），（3，3）描点，画直线即得直线y＝x的图象，结合图象，当PA＝PC时，取AC的中点O，连接OP，PB交AC于D，延长BC，过P作PF⊥BC交延长线于点F，可证PO⊥AC，由三角函数AC＝AB•cs30°＝2cm，OA＝OC＝OP＝cm，由勾股定理AP＝cm≈2.4cm，可证四边形FPOC为正方形，CF＝FE＝OC＝cm，可求BF＝（2+）cm，由勾股定理PB＝≈4.1cm即可．
【解答】解：（1）如图所示，根据表中自变量与函数值的对应关系，确定点如下：（0，3.5），（1，3.3），（2，2.8），（3，1.7），（3.5，），在平面直角坐标网格中描出以上各点，用平滑的曲线连接；
（2）在0～3之间y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，
从图中可发现，y1＝y2，在1＜x＜2之间，y1由1增加到3.8，平均变化0.8，而y2由3.3减到2.8，平均变化﹣0.5，
∴3+0.8（x﹣1）＝3.3﹣0.5（x﹣1），
解得：x≈1.2，
当y1＜y2时，从图中可发现，y2的图象在y1图象的上方，在两函数图象交点的左侧，y轴右侧满足条件，
∴当y1＜y2时，0≤x＜1.2，
故答案为：1.2，0≤x＜1.2；
（3）取点（1，1），（3，3）描点，画直线即得直线y＝x的图象，结合图象，当PA＝PC时，取AC的中点O，连接OP，PB交AC于D，延长BC，过P作PF⊥BC交延长线于点F，
∵OA＝OC，PC＝PA，
∴PO⊥AC，
∵AC＝AB•cs30°＝2cm，
∴OA＝OC＝OP＝cm，
在Rt△POA中，AP＝＝＝≈2.4（cm），
∴CP≈2.4（cm），
∵AC⊥BC，PF⊥BC，OP⊥AC，
∴∠F＝∠FCO＝∠POC＝90°，
∴四边形FPOC为矩形，
∵OP＝OC，
∴四边形FPOC为正方形，
∴CF＝PF＝OC＝cm，CB＝ABsin30°＝2，
∴BF＝BC+CF＝（2+）cm，
在Rt△POA中，BP＝＝＝≈4.1cm，
∴线段CP的长约为2.4cm，线段BP的长约为4.1cm．
23．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，将边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α．过点D作DF⊥BC于点F，过点B作BE⊥直线B′D于点E，连接EF．
【探索发现】（1）填空：当α＝60°时，∠EBB'＝ 30 °；的值是 ；
【验证猜想】（2）当0°＜α＜360°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若，当△BDE是等腰直角三角形时，请直接写出线段EF的长．
【分析】（1）当α＝60°时，点B'与点C重合，根据菱形的性质可得∠FDC＝∠EBC＝30°，再证明EF＝DF，利用cs，即可得出答案；
（2）连接BD，由AB＝AD＝AB'，根据三角形内角和定理表示∠ABB'，∠AB'D的度数，从而求出∠EBB'，再证明△DBB'∽△FBE，得即可；
（3）连接AC，BD交于点O，分点E在线段DB'上或点E在DB'的延长线上时，分别画出图形，由（2）可知∠EBB'＝30°，根据菱形的性质可得EB'＝BE•tan∠EBB'＝2，利用△B'BD∽△EBF，得，从而解决问题．
【解答】解：（1）当α＝60°时，点B'与点C重合，
∵BE⊥CD，四边形ABCD为菱形，CD∥AB，
∴BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∵∠BAD＝120°，AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∵DF⊥BC，DC∥AB，
∴DF⊥AD，∠CDA＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴∠FDC＝90°﹣∠CDA＝30°，∠FCD＝90°﹣∠FDC＝60°，
∴∠FDC＝∠EBC＝30°，
∴sin∠FDC＝sin∠EBC＝，
∵DC＝BC，
∴CF＝CE，
∴∠CFE＝∠FDC＝30°，
∴DF＝FE，
∵cs，
∴，
故答案为：30；；
（2）当0°＜α＜360°时，（1）中的结论仍然成立．
证明：如图，连接BD．
∵AB＝AD＝AB'，
∴∠ABB'＝，．
∴∠EB'B＝180°﹣∠AB'D﹣∠AB'B＝180，
∴∠EBB'＝30°，
∠CBD＝，
∴∠EBB'＝∠CBD，
∴∠EBB'+∠FBB'＝∠CBD+∠FBB'，即∠EBB'＝∠EBF，
∴cs∠DBF＝，cs，
∴
∴△DBB'∽△FBE，
∴，
（3）连接AC，BD交于点O，
∵AC⊥BD，，
∴OB＝AB，
∴BD＝2，
∴DE＝BE＝BD．
由（2）可知∠EBB'＝30°，
∴EB'＝BE•tan∠EBB'＝2，分两种情况：
①如图，当点E在线段DB'上时，
∵B'D＝DE+B'E＝2，∠B'BE＝∠DBF＝30°，
∴cs，
又∵∠B'BE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，
∴∠B'BD＝∠EBF，
∴△B'BD∽△EBF，
∴，
∴EF＝＝3+，
②如图，当点E在DB'的延长线上时，
∵B'D＝DE﹣B'E＝2，∠B'BE＝∠DBF＝30°，
∴cs，
又∵∠B'BE﹣∠FBB'＝∠DBF﹣∠FBB'，
∴∠B'BD＝∠EBF，
∴△B'BD∽△EBF，
∴∴，
∴EF＝＝＝3﹣．
x/cm
0
1
2
3
3.5
y1/cm
2
3
3.8
4.4
4
y2/cm
3.5
3.3
2.8
1.7
0
x/cm
0
1
2
3
3.5
y1/cm
2
3
3.8
4.4
4
y2/cm
3.5
3.3
2.8
1.7
0