高中物理3 匀变速直线运动的位移与时间的关系学案及答案

4．匀变速直线运动的速度与位移的关系

知识纲要导引

核心素养目标

(1)通过对公式推导过程的学习，掌握速度与位移关系公式．

(2)会应用速度与位移关系式v2－v＝2ax分析解决有关问题．

(3)培养学生运用数学知识合理选择公式建立方程或方程组的能力.

知识点一　匀速直线运动的速度与位移的关系

1．公式的推导：

公式v2－v＝2ax叫作速度－位移关系式．

2．对公式v2－v＝2ax的理解：

(1)适用范围：仅适用于匀变速直线运动．

(2)矢量性：公式中的v0、v、a、x四个物理量都是矢量，计算时要统一正方向．

(3)常用情况：分析和解决不涉及时间的问题时，使用v2－v＝2ax往往会使问题变得简单．

(4)特殊情况：当v0＝0时，公式简化为v2＝2ax.

运动学里五个物理量：v0、v、a、x、t，如果缺t，用公式v2－v＝2ax解题会比较简便 .

思考

    在某城市的一条道路上，规定车辆行驶速度不得超过30 km/h.在一次交通事故中，肇事车是一辆客车，量得这辆车紧急刹车(车轮被抱死)时留下的刹车痕迹长为7.6 m(如图)，已知该客车刹车时的加速度大小为7 m/s2.请判断该车是否超速？

提示：规定v0的方向为正方向，则刹车时位移x＝7.6 m；

刹车时加速度a＝－7 m/s2，客车的末速度v＝0.

由匀变速直线运动位移与速度的关系v2－v＝2ax得：

0－v＝2×(－7)×7.6 m2/s2

解得：v0＝10.3 m/s≈37.1 km/h>30 km/h，所以该客车超速．

知识点二　位移中点的瞬时速度公式

1．公式：做匀变速直线运动的物体，在某段位移中点位置的瞬时速度与这段位移的始、末位置瞬时速度的关系为vx中＝.

2．推导：设匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，末速度为v，位移为x，设物体经过这段位移的中点时的速度为vx中，

则对于前半段位移，有v－v＝2a·；

对于后半段位移，有v2－v＝2a·，联立解得vx中＝.

核心一　速度位移公式v2－v＝2ax的理解及应用

例1　国家对某型号汽车运行的安全技术标准如下：

汽车载重标准为4.5 t≤质量≤12 t

空载检测的制动距离(车速20 km/h)≤3.8 m

满载检测的制动距离(车速30 km/h)≤8.0 m

该型号的汽车空载和满载时的制动加速度应该满足什么要求？

【解析】　空载时，v0＝20 km/h＝ m/s，vt＝0，x≤3.8 m

令x＝3.8 m，又知减速时a1<0，则0－2＝2×a1×3.8

解得a1≈－4.1 m/s2

由题意知，x≤3.8 m，故加速度大小a≥4.1 m/s2，

满载时，v′0＝30 km/h＝ m/s，v′t＝0，x′≤8.0 m

同理可求得a′≥4.3 m/s2.

即两种情况下，汽车的加速度分别应大于或等于4.1 m/s2和4.3 m/s2.

【答案】　空载时，a≥4.1 m/s2；满载时，a≥4.3 m/s2

[拓展]　若符合国家安全技术标准的汽车满载时以50 km/h的速度行驶，制动距离为多少？该汽车刹车后3 s的速度和位移分别是多少？刹车后6 s的速度和位移呢？

【解析】　由v－v＝2ax得，

当v0＝50 km/h时，x＝ m≈22.4 m.

汽车刹车后到停止所用的时间t刹＝＝ s≈3.2 s，故刹车3 s末汽车的速度v3＝v0＋at≈1.0 m/s.

刹车的位移

x3＝v0t＋at2＝ m≈22.3 m.

刹车后6 s汽车已停止，故速度v＝0，刹车的位移为22.4 m.

【答案】　22.4 m　1.0 m/s　22.4 m

解决STSE问题的方法

(1)根据所描述的情景与匀变速直线运动相结合分析，找出运动过程．

(2)明确每个运动过程的运动情况，分析出各阶段的物理量．

(3)选取合适的匀变速直线运动规律求解．

训练1　某航母跑道长200 m．飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为(　　)

A．5 m/s　　　　　　　　　　　B．10 m/s

C．15 m/s  D．20 m/s

解析：对飞机的起飞过程，由运动学公式v2－v＝2ax，得v0＝10 m/s，B正确．

答案：B

核心二　匀变速直线运动规律的应用　匀变速直线运动四个公式的比较

运动学公式较多，运动学问题一般均有多种解法，熟练掌握各公式的特点，是选择最佳解题途径的基础．小轿车运动草图

例2　小轿车以20 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，司机突然发现正前方有一个收费站，经10 s后司机才刹车，使车匀减速运动10 s恰停在缴费窗口，缴费后匀加速到20 m/s后继续匀速前行．已知小轿车刹车时的加速度大小为2 m/s2，停车缴费所用时间为30 s，启动时加速度大小为1 m/s2.

(1)司机是在离缴费窗口多远处发现收费站的？

(2)因国庆放假期间，全国高速路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求轿车通过缴费窗口前9 m区间速度不超过6 m/s，则国庆期间该小轿车应离缴费窗口至少多远处开始刹车？因不停车通过可以节约多少时间？

【解析】　(1)匀速阶段：x1＝v0t1，匀减速阶段：x2＝t1

离缴费窗口的距离x＝x1＋x2＝300 m.

(2)当到窗口前x0＝9 m处速度刚好为v1＝6 m/s

由v－v＝2a1x3得x3＝91 m

离缴费窗口的距离x4＝x3＋x0＝100 m

停车缴费的情况：停车缴费后加速到20 m/s的过程，由v2＝a2t2得t2＝20 s

从开始刹车到恢复20 m/s匀速运动的总时间t＝t1＋t0＋t2＝60 s

不停车缴费的情况：在x3距离内，由x3＝t3得t3＝7 s

在x0距离内，由x0＝v1t4得t4＝1.5 s

又加速到20 m/s的过程：v2＝v1＋a2t5

由x5－t5＝v2t6得t5＝14 s，t6＝0.9 s

总时间t′＝t3＋t4＋t5＋t6＝23.4 s

所以Δt＝t－t′＝36.6 s.

【答案】　(1)300 m　(2)36.6 s

方法技巧

用匀变速直线运动规律解题的步骤

(1)认真审题，弄清题意和物体的运动过程，必要的时候画出物体的运动过程示意图．

(2)明确已知物理量和要求的物理量．

(3)规定正方向(一般取初速度的方向为正方向)，从而确定已知量和未知量的正、负号，对于无法确定方向的未知量，可以先假设此量方向为正方向．

(4)选择恰当的公式求解．

训练2　一辆卡车，它急刹车时的加速度大小是5 m/s2，如果要求它在急刹车后22.5 m内必须停下，假设卡车刹车过程做的是匀减速直线运动．求：

(1)它的行驶速度不能超过多少？

(2)此刹车过程所用的时间是多少？

(3)在此过程中卡车的平均速度是多少？

解题指导：

解析：(1)根据运动学公式v2－v＝2ax得

v0＝＝ m/s＝15 m/s.

(2)根据速度公式v＝v0＋at得刹车所用时间

t＝＝ s＝3 s.

(3)卡车在刹车过程中的平均速度

＝＝ m/s＝7.5 m/s或＝＝ m/s＝7.5 m/s.

答案：(1)15 m/s　(2)3 s　(3)7.5 m/s

灵活选用运动学公式，可以一题多解

核心三　追及和相遇问题

1．什么是追及相遇问题？

当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距离越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．需要注意只要后面物体的速度有可能大于前面物体的速度都可以谈追及问题．

2．追及相遇问题情况概述

(1)追及问题

①若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度．

②若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近．

(2)相遇问题

①同向运动的两物体追及即相遇．

②相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇．

分析“追及”“相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”：

(1)“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小、恰好追上或恰好追不上等．

(2)“两个关系”是时间关系和位移关系．其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口．

例3　汽车正以10 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？

【解题指导】　(1)读题——画运动示意图

(2)“汽车恰好不碰上自行车”―→知速度相等时，两车恰好不碰上求出速度相等时所经历的时间和汽车的位移―→根据时间求出自行车的位移，从而求出关闭油门时汽车离自行车的距离．

【解析】　解法一　在汽车做减速运动的过程中，自行车仍在做匀速运动．当汽车的速度大于自行车速度时，两车间距离在减小；当两车速度相等时，距离不变，当汽车速度小于自行车速度时，距离增大．因此，当汽车速度减小到与自行车速度相等没有碰撞时，便不会碰撞．因而开始时两车间距离等于汽车与自行车位移之差．汽车减速到4 m/s时，发生的位移和运动的时间分别为：x汽＝ m＝7 m，t＝＝ s＝1 s，

这段时间内自行车发生的位移为：x自＝v自t＝4×1 m＝4 m，

汽车关闭油门时离自行车的距离为：x＝x汽－x自＝(7－4) m＝3 m.

解法二　利用v ­ t图象进行求解，如图所示，直线Ⅰ、Ⅱ分别是汽车与自行车的运动图线，其中斜线部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多发生的位移，即为汽车关闭油门时离自行车的距离x.图线Ⅰ的斜率即为汽车减速运动的加速度，所以应有

x＝＝×＝ m＝3 m.

【答案】　关闭油门时汽车离自行车3 m远．

追及相遇问题的解题思路

训练3　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶．恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来．从后边超过汽车．试求：

(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远，此时距离是多少？

(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？

解题指导：汽车的速度小于自行车的速度时，两车的距离将越来越大，汽车的速度超过自行车的速度时，两车的距离将缩小．两车速度相等时相距最远，运动草图如图所示．

解析：(1)设经时间t两车相距最远，v汽＝at＝v自，所以t＝＝ s＝2 s，Δx＝v自t－＝6×2 m－ m＝6 m.

(2)汽车追上自行车时，两车的位移相等，则vt′＝，即6t′＝，解得t′＝4 s.

故v′＝at′＝3×4 m/s＝12 m/s.

答案：(1)2 s　6 m　(2)12 m/s

1．关于公式x＝，下列说法正确的是(　　)

A．此公式只适用于匀加速直线运动

B．此公式适用于匀变速直线运动

C．此公式只适用于位移为正的情况

D．此公式不可能出现a、x同时为负值的情况

解析：公式x＝既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误．当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、x就会同时为负值，选项D错误．

答案：B

2．如图所示，一辆正以8 m/s速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为(　　)

A．8 m/s　　　　　　　B．12 m/s

C．10 m/s  D．14 m/s

解析：由v2－v＝2ax得：v＝＝ m/s＝10 m/s，故选C.

答案：C

3．如图所示，假设列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x1，则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是(　　)

A.x1  B.x1

C．2x1  D．3x1

解析：由公式＝x得＝＝，所以B选项正确．

答案：B

4．滑板爱好者由静止开始沿一斜坡匀加速下滑，经过斜坡中点时的速度为v，则到达斜坡底端时的速度为(　　)

A.v  B.v

C．2v  D.v

解析：由匀变速直线运动的中间位置的速度公式v＝，有v＝，得v底＝v，所以只有A项正确．

答案：A

5．汽车以5 m/s的速度在水平路面上匀速前进，紧急制动时以－2 m/s2的加速度在粗糙水平面上滑行，则在4 s内汽车通过的路程为(　　)

A．4 m  B．36 m

C．6.25 m  D．以上选项都不对

解析：根据公式v＝v0＋at得t＝－＝ s＝2.5 s，即汽车经2.5 s就停下来，则4 s内通过的路程为x＝－＝ m＝6.25 m.

答案：C

6．如图所示，我国的“辽宁号”航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统．已知“歼—15”型战斗机在跑道上加速时可产生的最大加速度为5.0 m/s2，起飞速度为50 m/s.若要该飞机滑行100 m后起飞，则弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？实际上航空母舰没有装弹射系统，但要求该飞机能在它上面正常起飞，则该舰身长至少应为多少？(可保留根号)

解析：由公式v2－v＝2ax得

v0＝＝ m/s＝10 m/s；

若不用弹射系统，则需L＝＝ m＝250 m.

答案：10 m/s　250 m