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人教版 (2019)必修 第一册第三章 相互作用——力综合与测试导学案
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2020-2021学年高一物理同步讲义（新教材人教A版必修第一册）
第三章 相互作用--力
第三章 章末优化整合及训练
一、高频考点专题突破
专题一 对杆、绳弹力的进一步分析
1．杆的弹力
自由转动的杆：弹力一定沿杆方向，可提供拉力，也可提供推力．
固定不动的杆：弹力不一定沿杆方向，由物体所处的状态决定．
2．绳的弹力
(1)“死结”绳：可理解为把绳子分成两段，结点不可沿绳滑动，两侧看成两根独立的绳子，弹力大小不一定相等．
(2)“活结”绳：一般是由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩，实际上是同一根绳子．结点可沿绳滑动，两侧绳上的弹力大小相等．
【例1】如图甲所示，轻绳AD跨过固定的水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)轻绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力．
【答案】(1) (2)M1g 方向和水平方向成30°指向右上方 (3)M2g 方向水平向右
【解析】题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图1和2所示，根据平衡规律可求解．
(1)图1中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，轻绳AC段的拉力
FTAC＝FTCD＝M1g，
图2中由FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g.
所以＝.
(2)图1中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，方向和水平方向成30°，指向右上方．
(3)图2中，根据平衡方程有FTEGsin 30°＝M2g，
FTEGcos 30°＝FNG，
所以FNG＝＝M2g，方向水平向右．
【方法总结】(1)绳杆支架问题中一定先判断绳是“死结”还是“活结”，杆是“自由杆”还是“固定杆”，一般选结点为研究对象受力分析．
(2)杆的弹力与绳的弹力不同，绳的弹力始终沿绳指向绳收缩的方向，但杆的弹力方向不一定沿杆的方向，其大小和方向的判断要根据物体的运动状态来确定，可以理解为“按需提供”，即为了维持物体的状态，由受力平衡求解得到所需弹力的大小和方向．
【变式】如图所示，水平轻杆的一端固定在墙上，轻绳与竖直方向的夹角为37°，小球的重力为12 N，轻绳的拉力为10 N，水平轻弹簧的弹力为9 N，求轻杆对小球的作用力．
【答案】：见解析
【解析】：(1)弹簧向左拉小球时，设杆的弹力大小为F，与水平方向的夹角为α，小球受力如图甲所示．
甲
由平衡条件知：
代入数据解得：F≈5 N，α＝53°
即杆对小球的作用力大小约为5 N，方向与水平方向成53°角斜向右上方．
(2)弹簧向右推小球时，小球受力如图乙所示，
乙
由平衡条件知：代入数据解得：F≈15.5 N，α＝π－arctan.
即杆对小球的作用力大小约为15.5 N，方向与水平方向成arctan斜向左上方．
专题二 摩擦力的“突变”问题
摩擦力突变的常见情况
分类
说明
案例图示
静—静“突变”
物体在摩擦力和其他力作用下处于平衡状态，当作用在物体上的其他力发生突变时，如果物体仍能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力的大小或方向将会发生“突变”
在水平力F作用下物体静止于斜面，F突然增大时物体仍静止，则所受静摩擦力大小或方向将“突变”
静—动“突变”
物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”为滑动摩擦力
放在粗糙水平面上的物体，水平作用力F从零逐渐增大，物体开始滑动时，物体受到地面的摩擦力由静摩擦力“突变”为滑动摩擦力
动—静“突变”
在摩擦力和其他力作用下，做减速运动的物体突然停止滑行时，物体将不受摩擦力作用，或滑动摩擦力“突变”为静摩擦力
滑块以v0冲上斜面做减速运动，当到达某位置静止时，滑动摩擦力“突变”为静摩擦力
动—动“突变”
某物体相对于另一物体滑动的过程中，若突然相对运动方向变了，则滑动摩擦力方向发生“突变”
水平传送带的速度v1大于滑块的速度v2，滑块受到的滑动摩擦力方向向右，当传送带突然被卡住时滑块受到的滑动摩擦力方向“突变”为向左
【例2】把一重为G的物体，用一个水平的推力F＝kt(k为恒量，t为时间)压在竖直的足够高的平整的墙面上，如图所示，从t＝0开始物体所受的摩擦力Ff随t的变化关系是图中的哪一个( )
【答案】B
【解析】由于物体受的水平推力为F＝kt，由二力平衡得，墙与物体间的压力FN＝kt.当F比较小时，物体受到的摩擦力Ff小于物体的重力G，物体将沿墙壁下滑，此时物体受到的摩擦力为滑动摩擦力．由Ff＝μFN得，滑动摩擦力Ff＝μkt，当摩擦力Ff大小等于重力G时，由于惯性作用，物体不能立即停止运动，物体受到的摩擦力仍然是滑动摩擦力．随着摩擦力的增大，摩擦力将大于重力，物体做减速运动直至静止，摩擦力将变为静摩擦力，静摩擦力与正压力无关，跟重力始终平衡．
【方法总结】物体受到的外力发生变化时，物体受到的摩擦力就有可能发生突变．解决这类问题的关键：正确对物体进行受力分析和运动状态分析，从而找到物体摩擦力的突变“临界点”．
【变式】如图甲所示，A物体放在水平面上，动摩擦因数为0.2，物体A重10 N，设物体A与水平面间的最大静摩擦力为2.5 N，若对A施加一个由零均匀增大到6 N的水平推力F，请在图乙中画出A所受的摩擦力FA随水平推力F变化的图线．
【答案】：见解析图
【解析】：水平推力F≤2.5 N之前，物体未动，物体受静摩擦力FA＝F.当F>2.5 N后，FA发生突变，变成滑动摩擦力，其大小为FA滑＝μFN＝μG＝0.2×10 N＝2 N．作出图象如图所示．
专题三 物体平衡中的临界和极值问题
1．临界问题
(1)临界状态：物体的平衡状态将要发生变化的状态．
(2)当某物理量发生变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，这类问题的描述中经常出现“刚好”“恰好”等词语．
(3)处理这类问题的最有效方法是假设推理法，也就是先假设，再根据平衡条件及有关知识列平衡方程，最后求解．
(4)常见的临界状态
状态
临界条件
两接触物体脱离与不脱离
相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)
绳子断与不断
绳中张力达到最大值
绳子绷紧与松弛
绳中张力为0
存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止
静摩擦力达到最大
2.极值问题：也就是指平衡问题中，力在变化过程中的最大值和最小值问题．解决这类问题常用以下三种方法：
解析法
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值
图解法
根据物体的平衡条件作出物体的受力分析图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值
极限法
极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”“极小”“极右”“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解
【例3】如图所示，物体的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围(g取10 m/s2)．
【答案】 N≤F≤ N
【解析】设绳AB弹力为F1，绳AC弹力为F2，A的受力情况如图
由平衡条件得
Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0
Fcos θ－F2－F1cos θ＝0
由上述两式得F＝－F1
F＝＋
令F1＝0，得F最大值
Fmax＝＝ N
令F2＝0，得F最小值Fmin＝＝ N
综合得F的取值范围为 N≤F≤ N.
【总结提升】解决临界极值问题时应注意的问题
(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点．
(2)临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论．
【变式】一个人最多能提起质量m0＝20 kg的重物．如图所示，在倾角θ＝15°的固定斜面上放置一物体(可视为质点)，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，图中F是人拖重物的力，求人能够向上拖动该重物质量的最大值m.已知sin 15°＝，cos 15°＝.
【答案】：20 kg
【解析】：设F与斜面的夹角为α时，人能拖动重物的最大质量为m，由平衡条件可得
Fcos α－mgsin 15°－μFN＝0①
FN＋Fsin α－mgcos 15°＝0②
由已知可得F＝m0g③
联立①②③式得m＝
其中μ为定值，代入μ＝
得重物质量的最大值为20 kg.
二、专题优化训练
一、选择题
1．如图所示，一个大人拉着载有两个小孩的小车(其拉杆可自由转动)沿水平地面匀速直线前进，则下列说法正确的是( )
A．拉力的水平分力等于小孩和车所受的合力 B．拉力与摩擦力的合力大小等于重力大小
C．拉力与摩擦力的合力方向竖直向上 D．小孩和车所受的合力方向向前
【答案】C
【解析】小孩和车整体受重力、支持力、拉力和摩擦力，利用正交分解法分析可知，拉力的水平分力等于小孩和车所受的摩擦力，故选项A错误；根据力的合成和二力平衡可知，拉力、摩擦力的合力与重力、支持力的合力平衡，重力、支持力的合力方向竖直向下，故拉力与摩擦力的合力方向竖直向上，大小等于重力大小减支持力的大小，故选项B错误，C正确；小孩和车做匀速直线运动，所受的合力为零，故选项D错误．
2．(2019-2020学年·从江高一期末)在中学秋季田径运动会上，高一2班李好同学奋力拼搏，勇夺男子100 m冠军，下图为该同学奔跑途中的两个瞬间，用Ff1、Ff2分别表示该同学在图甲、乙两瞬间所受到的摩擦力，则关于Ff1、Ff2的方向，以下说法正确的是( )
A．Ff1向后，Ff2向后 B．Ff1向前，Ff2向前
C．Ff1向前，Ff2向后 D．Ff1向后，Ff2向前
【答案】C.
【解析】：该同学奔跑途中，后脚用力向后蹬，人才向前运动，正是由于地面给后脚有个向前的静摩擦力，即Ff1向前，使运动员能向前运动；而当前脚向前跨时，正是由于地面给前脚有个向后的静摩擦力，否则运动员会向前滑动，所以前脚受到地面向后的静摩擦力，即Ff2向后，故C正确，A、B、D错误．
3.如图所示，固定斜面上有一光滑小球，分别与一竖直轻弹簧P和一平行于斜面的轻弹簧Q连接着，小球处于静止状态，则小球所受力的个数不可能是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】设斜面倾角为θ，小球质量为m，假设轻弹簧P对小球的拉力大小恰好等于mg，则小球只受2个力的作用，二力平衡；假设轻弹簧Q对小球的拉力等于mgsin θ，小球受到重力、弹簧Q的拉力和斜面的支持力作用，三力平衡；如果两个弹簧对小球都施加了拉力，那么除了重力，小球只有再受到斜面的支持力才能保证小球受力平衡，即小球可能受到4个力的作用；若小球只受1个力的作用，合力不可能为零，小球不可能处于静止状态．
4.(2019-2020学年·未央高一校级期末)如图所示，两块相同的木块被竖直的木板夹住保持静止状态，设每一木块的质量为m，则两木块间的摩擦力大小为( )
A．0 B．0.5mg
C．mg D．2mg
【答案】A.
【解析】：设每一块木块的重力为mg，一侧木板对木块的摩擦力大小为f1，两块木块之间的摩擦力大小为f2，根据平衡条件得：对整体，有：2f1＝2mg，得f1＝mg；对A，有：f1＋f2＝mg.解得f2＝0.即两木块间摩擦力为零，故A正确，B、C、D错误．
5.(2019-2020学年·武汉市期末)如图所示，A、B两球用轻杆相连，用两根细线l1、l2将它们悬挂在水平天花板上的O点．现有一水平力F作用于小球B上，使A、B两球和轻杆组成的系统保持静止状态且A、B两球在同一水平线上，细线l1垂直于轻杆．已知两球的重力均为G，轻杆与细线l1的长度均为L.则( )
A．细线l2的拉力的大小为2G B．细线l2的拉力的大小为G
C．水平力F的大小为2G D．水平力F的大小为G
【答案】D
【解析】因为A球受到细线l1的拉力与其重力是一对平衡力，所以轻杆对A球的作用力为零，轻杆对B球的作用力也为零，故B球只受到重力G、细线l2的拉力F′和水平拉力F的作用，根据力的正交分解知识和力的平衡条件有F＝G，F′＝G，所以D正确．
6.(2019-2020学年·北京高一学业考试)利用弹簧可以测量物体的重力．将劲度系数为k的弹簧上端固定在铁架台的横梁上．弹簧下端不挂物体时，测得弹簧的长度为x0.将待测物体挂在弹簧下端，如图所示．待物体静止时测得弹簧的长度为x1，测量中弹簧始终在弹性限度内，则待测物体的重力大小为( )
A．kx0 B．kx1
C．k(x1－x0) D．k(x1＋x0)
【答案】C.
【解析】：根据胡克定律可知，弹簧的弹力F＝k(x1－x0)；根据平衡条件可知，弹簧的弹力等于物体的重力，故C正确，A、B、D错误．
7.(2019-2020学年·重庆市部分区县高一第一学期期末)如图所示，一个重力为10 N的物体，用细线悬挂在O点，现在用力F拉物体，悬线与竖直方向夹角为θ＝37°，处于静止状态，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则此时拉力F的最小值为( )
A．5 N B．6 N C．8 N D．10 N
【答案】B
【解析】以物体为研究对象进行受力分析，如图所示，根据三角形定则，对物体施加的力F与细线垂直时，所用的力最小，所以F的最小值为Fmin＝Gsin 37°＝0.6G＝6 N，所以B正确．
8.(2019-2020学年·河北师大附中期中)一跨过光滑动滑轮的轻绳AB与杆的两端连接，滑轮下端连接一物体，现将轻杆从如图所示的位置开始，绕过其中点的水平轴O在竖直平面内转动一个小角度，当再次平衡后下列说法正确的是( )
A．若将杆逆时针转动，绳AB上拉力不变 B．若将杆逆时针转动，绳AB上拉力变大
C．若将杆顺时针转动，绳AB上拉力不变 D．若将杆顺时针转动，绳AB上拉力变大
【答案】B
【解析】滑轮左侧绳与右侧绳为同一根绳的两部分，绳上的拉力大小相等
设两侧绳的夹角为θ，两绳的拉力大小均为F
则有：2Fcos ＝mg
即F＝
当杆逆时针转过一个较小的角度时，滑轮向中间移动，两侧绳的夹角变大，故F变大；同理可知，杆顺时针转动时，F变小．
9.（多选）如图所示，A、B两物体均静止，关于B物体的受力情况，下列叙述正确的是( )
A．可能受到三个力，也可能受到四个力 B．一定受到四个力的作用
C．必受到地面的静摩擦力作用 D．必受到地面的支持力作用
【答案】BCD.
【解析】：B受到重力、绳的拉力、水平向右的静摩擦力和地面支持力四个力的作用．由于B受到向右的静摩擦力则必受到地面的支持力的作用．
10．（多选）小船被绳索拉向岸边，如图所示，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是( )
A．绳子的拉力FT不断增大 B．绳子的拉力FT不变
C．船受的浮力减小 D．船受的浮力增大
【答案】AC
【解析】小船的受力情况如图所示．
据平衡条件知
F＋FTsin θ＝G
FTcos θ＝Ff
则拉力FT＝.小船向岸边运动时，水的阻力Ff大小不变，角θ增大，cos θ减小，所以FT增大，A对，B错．浮力F＝G－FTsin θ，因为FT增大，sin θ增大，所以浮力F减小，C对，D错．
11.如图所示，C是水平地面，A、B是两块长方形物块，F是作用在物块B上沿水平方向的力，物块A和B以相同的速度做匀速直线运动．由此可知，A、B间的动摩擦因数μ1和B、C间的动摩擦因数μ2有可能是( )
A．μ1＝0，μ2＝0 B．μ1＝0，μ2≠0
C．μ1≠0，μ2＝0 D．μ1≠0，μ2≠0
【答案】BD.
【解析】：先以A为研究对象，A不受摩擦力，否则它不可能做匀速直线运动，则A、B间的动摩擦因数μ1可能为零，也可能不为零；再以整体为研究对象，由平衡条件分析可知，地面对B一定有摩擦力，则B与地面之间的动摩擦因数μ2一定不为零，故选项B、D正确．
12.(2019-2020学年·定远育才学校高一第一学期期末)如图所示，质量均为m＝1 kg的两滑块A、B放在光滑的水平地面上，中间用一结实的轻质细线相连，轻杆OA、OB放在滑块上，且可绕铰链O自由转动，两杆长度相等，夹角θ＝60°，g取10 m/s2，当竖直向下的力F＝150 N作用在铰链上时( )
A．A滑块对地面的压力为85 N B．A滑块对地面的压力为75 N
C．A、B滑块间细线的张力为25 N D．A、B滑块间细线的张力为50 N
【答案】AC
【解析】对O点受力分析，如图所示：
对两个细杆的作用力进行合成，有FA＝FB＝，地面对A的支持力FN＝mg＋FAcos ＝85 N，因此A滑块对地面的压力为85 N，滑块间细线的张力F′＝FAsin＝25 N，故A、C正确．
二、非选择题
13.某同学利用如图甲所示的装置做“探究弹簧弹力大小与弹簧伸长量的关系”的实验．
(1)在安装刻度尺时，必须使刻度尺保持________状态．
(2)他通过实验得到如图乙所示的弹力大小F与弹簧长度x的关系图线，由此图线可得该弹簧的原长x0＝________ cm，劲度系数k＝________ N/m.
(3)他又利用本实验原理把该弹簧做成一个弹簧测力计，当弹簧测力计上的示数如图丙所示时，该弹簧的长度x＝________ cm.
【答案】(1)竖直(1分) (2)4(1分) 50(2分) (3)10(2分)
【解析】(1)弹簧是竖直的，为减小误差，刻度尺必须与弹簧平行，故必须使刻度尺保持竖直状态．
(2)弹簧处于原长时，弹力为零，故原长为4 cm，弹簧弹力为2 N时，弹簧的长度为8 cm，伸长量为4 cm，根据胡克定律F＝kΔx，有k＝＝ N/m＝50 N/m.
(3)由题图丙得到弹簧的弹力为3.0 N，根据题图乙得到弹簧的长度为10 cm.
14．在“探究求合力的方法”实验中，现有木板、白纸、图钉、橡皮筋、细绳套和一个弹簧测力计．
(1)为完成实验，某同学另找来一根弹簧，先测量其劲度系数，得到的实验数据如表：
弹力F/N
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
伸长量x/ (×10－2 m)
0.74
1.80
2.80
3.72
4.60
5.58
6.42
用作图法求得该弹簧的劲度系数k＝________N/m.
(2)某次实验中，弹簧测力计的指针位置如图甲所示，其读数为________N；同时利用(1)中结果获得弹簧上的弹力为2.50 N，请在图乙中画出这两个共点力的合力F合．
甲 乙
(3)由图得到F合＝________N.
【答案】：(1)55(±2内均可)(2)2.10(说明：有效数字位数正确，±0.02内均可)见解析图(3)3.3(说明：±0.2内均可)
【解析】：(1)根据表格数据描点，然后连成一条过原点的直线，如图所示，直线的斜率等于弹簧的劲度系数，k＝ N/m≈55 N/m.
(2)读出弹簧测力计的读数为2.10 N(保留三位有效数字)；以O为顶点，画出两弹簧的绳套方向就是两拉力方向，再确定并画好力的标度，画出两拉力的图示，以两拉力为邻边作出平行四边形，画出平行四边形的对角线，即合力F合．
(3)用刻度尺量出合力的长度，根据确定的标度算出合力的大小．
14.如图所示，质量均为1 kg的小球a、b在轻弹簧A、B及拉力F的作用下处于平衡状态，其中A、B两个弹簧的劲度系数均为5 N/cm，B弹簧上端与天花板固定连接，弹簧轴线与竖直方向的夹角为60°，A弹簧竖直，g取10 m/s2.求两弹簧的伸长量和拉力F的大小．
【答案】2 cm 8 cm 20 N
【解析】由b球处于静止得
FA＝mbg＝10 N(1分)
由F＝kx得xA＝＝2 cm，
a、b作为一个整体，受力如图，
由平衡条件得
FB＝＝40 N，
xB＝＝8 cm
F＝2mg·tan 60°＝20 N．
15.如图，某同学用大小为100 N的拉力拉动一个26 kg的行李箱沿水平地面匀速前进，拉力与水平方向的夹角为37°.已知sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)行李箱受到的摩擦力大小；
(2)行李箱对地面的压力大小；
(3)行李箱与地面间的动摩擦因数．
【答案】：(1)80 N (2)200 N (3)0.4
【解析】：(1)对行李箱进行受力分析．
Fsin 37°＋N＝mg，f＝Fcos 37°，f＝μN，f＝100 N×0.8＝80 N.
(2)N＝mg－Fsin 37°＝(260－100×0.6) N＝200 N．根据牛顿第三定律可知，N′＝N＝200 N，方向竖直向下．
(3)μ＝＝＝0.4.
16.一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C(劲度系数为k)、锁舌D(倾斜角θ＝45°)、锁槽E，以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示．设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm＝μN(N为正压力)求得．有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上(这种现象称为自锁)，此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x.
(1)求自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向；
(2)求此时(自锁时)锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小；
(3)无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少要多大？
【答案】：(1)向右 (2) (3)0.41
【解析】：(1)设锁舌D下表面受到的最大静摩擦力为f1，则其方向向右．
(2)设锁舌D受锁槽E的最大静摩擦力为f2，正压力为N，下表面的正压力为F，弹力为kx，如图所示
由力的平衡条件可知：
kx＋f1＋f2cos 45°－Nsin 45°＝0①
F－Ncos 45°－f2sin 45°＝0②
f1＝μF③
f2＝μN④
联立①②③④式解得正压力大小N＝.⑤
(3)令N趋近于∞，则有1－2μ－μ2＝0⑥
解得μ≈－1≈0.41.
17.如图所示，放在粗糙斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻质弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点．轻质弹簧中轴线沿水平方向，轻绳的OC段与竖直方向的夹角θ＝60°，斜面倾角α＝30°，物块A和B的质量分别为mA＝5 kg，mB＝1.5 kg，弹簧的劲度系数为k＝500 N/m，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)弹簧的伸长量x；
(2)物块A受到的摩擦力Ff的大小和方向．
【答案】 (1)3 cm (2)5 N 方向沿斜面向下
【解析】 (1)以结点O为研究对象，受力分析并正交分解，如图甲：
据平衡条件有
kx－Fsin 60°＝0①
Fcos 60°－mBg＝0②
由②解得F＝＝30 N，
代入①解得x＝＝ m＝3 cm.
(2)以物块A为研究对象，若摩擦力Ff方向沿斜面向下，对A受力分析并正交分解，如图乙：
据平衡条件有
F－mAgsin 30°－Ff＝0
解得Ff＝F－mAgsin 30°＝(30－5×10×) N＝5 N
方向沿斜面向下．
2020-2021学年高一物理同步讲义（新教材人教A版必修第一册）
第三章 相互作用--力
第三章 章末优化整合及训练
一、高频考点专题突破
专题一 对杆、绳弹力的进一步分析
1．杆的弹力
自由转动的杆：弹力一定沿杆方向，可提供拉力，也可提供推力．
固定不动的杆：弹力不一定沿杆方向，由物体所处的状态决定．
2．绳的弹力
(1)“死结”绳：可理解为把绳子分成两段，结点不可沿绳滑动，两侧看成两根独立的绳子，弹力大小不一定相等．
(2)“活结”绳：一般是由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩，实际上是同一根绳子．结点可沿绳滑动，两侧绳上的弹力大小相等．
【例1】如图甲所示，轻绳AD跨过固定的水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)轻绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力．
【答案】(1) (2)M1g 方向和水平方向成30°指向右上方 (3)M2g 方向水平向右
【解析】题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图1和2所示，根据平衡规律可求解．
(1)图1中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，轻绳AC段的拉力
FTAC＝FTCD＝M1g，
图2中由FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g.
所以＝.
(2)图1中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，方向和水平方向成30°，指向右上方．
(3)图2中，根据平衡方程有FTEGsin 30°＝M2g，
FTEGcos 30°＝FNG，
所以FNG＝＝M2g，方向水平向右．
【方法总结】(1)绳杆支架问题中一定先判断绳是“死结”还是“活结”，杆是“自由杆”还是“固定杆”，一般选结点为研究对象受力分析．
(2)杆的弹力与绳的弹力不同，绳的弹力始终沿绳指向绳收缩的方向，但杆的弹力方向不一定沿杆的方向，其大小和方向的判断要根据物体的运动状态来确定，可以理解为“按需提供”，即为了维持物体的状态，由受力平衡求解得到所需弹力的大小和方向．
【变式】如图所示，水平轻杆的一端固定在墙上，轻绳与竖直方向的夹角为37°，小球的重力为12 N，轻绳的拉力为10 N，水平轻弹簧的弹力为9 N，求轻杆对小球的作用力．
【答案】：见解析
【解析】：(1)弹簧向左拉小球时，设杆的弹力大小为F，与水平方向的夹角为α，小球受力如图甲所示．
甲
由平衡条件知：
代入数据解得：F≈5 N，α＝53°
即杆对小球的作用力大小约为5 N，方向与水平方向成53°角斜向右上方．
(2)弹簧向右推小球时，小球受力如图乙所示，
乙
由平衡条件知：代入数据解得：F≈15.5 N，α＝π－arctan.
即杆对小球的作用力大小约为15.5 N，方向与水平方向成arctan斜向左上方．
专题二 摩擦力的“突变”问题
摩擦力突变的常见情况
分类
说明
案例图示
静—静“突变”
物体在摩擦力和其他力作用下处于平衡状态，当作用在物体上的其他力发生突变时，如果物体仍能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力的大小或方向将会发生“突变”
在水平力F作用下物体静止于斜面，F突然增大时物体仍静止，则所受静摩擦力大小或方向将“突变”
静—动“突变”
物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”为滑动摩擦力
放在粗糙水平面上的物体，水平作用力F从零逐渐增大，物体开始滑动时，物体受到地面的摩擦力由静摩擦力“突变”为滑动摩擦力
动—静“突变”
在摩擦力和其他力作用下，做减速运动的物体突然停止滑行时，物体将不受摩擦力作用，或滑动摩擦力“突变”为静摩擦力
滑块以v0冲上斜面做减速运动，当到达某位置静止时，滑动摩擦力“突变”为静摩擦力
动—动“突变”
某物体相对于另一物体滑动的过程中，若突然相对运动方向变了，则滑动摩擦力方向发生“突变”
水平传送带的速度v1大于滑块的速度v2，滑块受到的滑动摩擦力方向向右，当传送带突然被卡住时滑块受到的滑动摩擦力方向“突变”为向左
【例2】把一重为G的物体，用一个水平的推力F＝kt(k为恒量，t为时间)压在竖直的足够高的平整的墙面上，如图所示，从t＝0开始物体所受的摩擦力Ff随t的变化关系是图中的哪一个( )
【答案】B
【解析】由于物体受的水平推力为F＝kt，由二力平衡得，墙与物体间的压力FN＝kt.当F比较小时，物体受到的摩擦力Ff小于物体的重力G，物体将沿墙壁下滑，此时物体受到的摩擦力为滑动摩擦力．由Ff＝μFN得，滑动摩擦力Ff＝μkt，当摩擦力Ff大小等于重力G时，由于惯性作用，物体不能立即停止运动，物体受到的摩擦力仍然是滑动摩擦力．随着摩擦力的增大，摩擦力将大于重力，物体做减速运动直至静止，摩擦力将变为静摩擦力，静摩擦力与正压力无关，跟重力始终平衡．
【方法总结】物体受到的外力发生变化时，物体受到的摩擦力就有可能发生突变．解决这类问题的关键：正确对物体进行受力分析和运动状态分析，从而找到物体摩擦力的突变“临界点”．
【变式】如图甲所示，A物体放在水平面上，动摩擦因数为0.2，物体A重10 N，设物体A与水平面间的最大静摩擦力为2.5 N，若对A施加一个由零均匀增大到6 N的水平推力F，请在图乙中画出A所受的摩擦力FA随水平推力F变化的图线．
【答案】：见解析图
【解析】：水平推力F≤2.5 N之前，物体未动，物体受静摩擦力FA＝F.当F>2.5 N后，FA发生突变，变成滑动摩擦力，其大小为FA滑＝μFN＝μG＝0.2×10 N＝2 N．作出图象如图所示．
专题三 物体平衡中的临界和极值问题
1．临界问题
(1)临界状态：物体的平衡状态将要发生变化的状态．
(2)当某物理量发生变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，这类问题的描述中经常出现“刚好”“恰好”等词语．
(3)处理这类问题的最有效方法是假设推理法，也就是先假设，再根据平衡条件及有关知识列平衡方程，最后求解．
(4)常见的临界状态
状态
临界条件
两接触物体脱离与不脱离
相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)
绳子断与不断
绳中张力达到最大值
绳子绷紧与松弛
绳中张力为0
存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止
静摩擦力达到最大
2.极值问题：也就是指平衡问题中，力在变化过程中的最大值和最小值问题．解决这类问题常用以下三种方法：
解析法
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值
图解法
根据物体的平衡条件作出物体的受力分析图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值
极限法
极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”“极小”“极右”“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解
【例3】如图所示，物体的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围(g取10 m/s2)．
【答案】 N≤F≤ N
【解析】设绳AB弹力为F1，绳AC弹力为F2，A的受力情况如图
由平衡条件得
Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0
Fcos θ－F2－F1cos θ＝0
由上述两式得F＝－F1
F＝＋
令F1＝0，得F最大值
Fmax＝＝ N
令F2＝0，得F最小值Fmin＝＝ N
综合得F的取值范围为 N≤F≤ N.
【总结提升】解决临界极值问题时应注意的问题
(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点．
(2)临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论．
【变式】一个人最多能提起质量m0＝20 kg的重物．如图所示，在倾角θ＝15°的固定斜面上放置一物体(可视为质点)，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，图中F是人拖重物的力，求人能够向上拖动该重物质量的最大值m.已知sin 15°＝，cos 15°＝.
【答案】：20 kg
【解析】：设F与斜面的夹角为α时，人能拖动重物的最大质量为m，由平衡条件可得
Fcos α－mgsin 15°－μFN＝0①
FN＋Fsin α－mgcos 15°＝0②
由已知可得F＝m0g③
联立①②③式得m＝
其中μ为定值，代入μ＝
得重物质量的最大值为20 kg.
二、专题优化训练
一、选择题
1．如图所示，一个大人拉着载有两个小孩的小车(其拉杆可自由转动)沿水平地面匀速直线前进，则下列说法正确的是( )
A．拉力的水平分力等于小孩和车所受的合力 B．拉力与摩擦力的合力大小等于重力大小
C．拉力与摩擦力的合力方向竖直向上 D．小孩和车所受的合力方向向前
【答案】C
【解析】小孩和车整体受重力、支持力、拉力和摩擦力，利用正交分解法分析可知，拉力的水平分力等于小孩和车所受的摩擦力，故选项A错误；根据力的合成和二力平衡可知，拉力、摩擦力的合力与重力、支持力的合力平衡，重力、支持力的合力方向竖直向下，故拉力与摩擦力的合力方向竖直向上，大小等于重力大小减支持力的大小，故选项B错误，C正确；小孩和车做匀速直线运动，所受的合力为零，故选项D错误．
2．(2019-2020学年·从江高一期末)在中学秋季田径运动会上，高一2班李好同学奋力拼搏，勇夺男子100 m冠军，下图为该同学奔跑途中的两个瞬间，用Ff1、Ff2分别表示该同学在图甲、乙两瞬间所受到的摩擦力，则关于Ff1、Ff2的方向，以下说法正确的是( )
A．Ff1向后，Ff2向后 B．Ff1向前，Ff2向前
C．Ff1向前，Ff2向后 D．Ff1向后，Ff2向前
【答案】C.
【解析】：该同学奔跑途中，后脚用力向后蹬，人才向前运动，正是由于地面给后脚有个向前的静摩擦力，即Ff1向前，使运动员能向前运动；而当前脚向前跨时，正是由于地面给前脚有个向后的静摩擦力，否则运动员会向前滑动，所以前脚受到地面向后的静摩擦力，即Ff2向后，故C正确，A、B、D错误．
3.如图所示，固定斜面上有一光滑小球，分别与一竖直轻弹簧P和一平行于斜面的轻弹簧Q连接着，小球处于静止状态，则小球所受力的个数不可能是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】设斜面倾角为θ，小球质量为m，假设轻弹簧P对小球的拉力大小恰好等于mg，则小球只受2个力的作用，二力平衡；假设轻弹簧Q对小球的拉力等于mgsin θ，小球受到重力、弹簧Q的拉力和斜面的支持力作用，三力平衡；如果两个弹簧对小球都施加了拉力，那么除了重力，小球只有再受到斜面的支持力才能保证小球受力平衡，即小球可能受到4个力的作用；若小球只受1个力的作用，合力不可能为零，小球不可能处于静止状态．
4.(2019-2020学年·未央高一校级期末)如图所示，两块相同的木块被竖直的木板夹住保持静止状态，设每一木块的质量为m，则两木块间的摩擦力大小为( )
A．0 B．0.5mg
C．mg D．2mg
【答案】A.
【解析】：设每一块木块的重力为mg，一侧木板对木块的摩擦力大小为f1，两块木块之间的摩擦力大小为f2，根据平衡条件得：对整体，有：2f1＝2mg，得f1＝mg；对A，有：f1＋f2＝mg.解得f2＝0.即两木块间摩擦力为零，故A正确，B、C、D错误．
5.(2019-2020学年·武汉市期末)如图所示，A、B两球用轻杆相连，用两根细线l1、l2将它们悬挂在水平天花板上的O点．现有一水平力F作用于小球B上，使A、B两球和轻杆组成的系统保持静止状态且A、B两球在同一水平线上，细线l1垂直于轻杆．已知两球的重力均为G，轻杆与细线l1的长度均为L.则( )
A．细线l2的拉力的大小为2G B．细线l2的拉力的大小为G
C．水平力F的大小为2G D．水平力F的大小为G
【答案】D
【解析】因为A球受到细线l1的拉力与其重力是一对平衡力，所以轻杆对A球的作用力为零，轻杆对B球的作用力也为零，故B球只受到重力G、细线l2的拉力F′和水平拉力F的作用，根据力的正交分解知识和力的平衡条件有F＝G，F′＝G，所以D正确．
6.(2019-2020学年·北京高一学业考试)利用弹簧可以测量物体的重力．将劲度系数为k的弹簧上端固定在铁架台的横梁上．弹簧下端不挂物体时，测得弹簧的长度为x0.将待测物体挂在弹簧下端，如图所示．待物体静止时测得弹簧的长度为x1，测量中弹簧始终在弹性限度内，则待测物体的重力大小为( )
A．kx0 B．kx1
C．k(x1－x0) D．k(x1＋x0)
【答案】C.
【解析】：根据胡克定律可知，弹簧的弹力F＝k(x1－x0)；根据平衡条件可知，弹簧的弹力等于物体的重力，故C正确，A、B、D错误．
7.(2019-2020学年·重庆市部分区县高一第一学期期末)如图所示，一个重力为10 N的物体，用细线悬挂在O点，现在用力F拉物体，悬线与竖直方向夹角为θ＝37°，处于静止状态，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则此时拉力F的最小值为( )
A．5 N B．6 N C．8 N D．10 N
【答案】B
【解析】以物体为研究对象进行受力分析，如图所示，根据三角形定则，对物体施加的力F与细线垂直时，所用的力最小，所以F的最小值为Fmin＝Gsin 37°＝0.6G＝6 N，所以B正确．
8.(2019-2020学年·河北师大附中期中)一跨过光滑动滑轮的轻绳AB与杆的两端连接，滑轮下端连接一物体，现将轻杆从如图所示的位置开始，绕过其中点的水平轴O在竖直平面内转动一个小角度，当再次平衡后下列说法正确的是( )
A．若将杆逆时针转动，绳AB上拉力不变 B．若将杆逆时针转动，绳AB上拉力变大
C．若将杆顺时针转动，绳AB上拉力不变 D．若将杆顺时针转动，绳AB上拉力变大
【答案】B
【解析】滑轮左侧绳与右侧绳为同一根绳的两部分，绳上的拉力大小相等
设两侧绳的夹角为θ，两绳的拉力大小均为F
则有：2Fcos ＝mg
即F＝
当杆逆时针转过一个较小的角度时，滑轮向中间移动，两侧绳的夹角变大，故F变大；同理可知，杆顺时针转动时，F变小．
9.（多选）如图所示，A、B两物体均静止，关于B物体的受力情况，下列叙述正确的是( )
A．可能受到三个力，也可能受到四个力 B．一定受到四个力的作用
C．必受到地面的静摩擦力作用 D．必受到地面的支持力作用
【答案】BCD.
【解析】：B受到重力、绳的拉力、水平向右的静摩擦力和地面支持力四个力的作用．由于B受到向右的静摩擦力则必受到地面的支持力的作用．
10．（多选）小船被绳索拉向岸边，如图所示，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是( )
A．绳子的拉力FT不断增大 B．绳子的拉力FT不变
C．船受的浮力减小 D．船受的浮力增大
【答案】AC
【解析】小船的受力情况如图所示．
据平衡条件知
F＋FTsin θ＝G
FTcos θ＝Ff
则拉力FT＝.小船向岸边运动时，水的阻力Ff大小不变，角θ增大，cos θ减小，所以FT增大，A对，B错．浮力F＝G－FTsin θ，因为FT增大，sin θ增大，所以浮力F减小，C对，D错．
11.如图所示，C是水平地面，A、B是两块长方形物块，F是作用在物块B上沿水平方向的力，物块A和B以相同的速度做匀速直线运动．由此可知，A、B间的动摩擦因数μ1和B、C间的动摩擦因数μ2有可能是( )
A．μ1＝0，μ2＝0 B．μ1＝0，μ2≠0
C．μ1≠0，μ2＝0 D．μ1≠0，μ2≠0
【答案】BD.
【解析】：先以A为研究对象，A不受摩擦力，否则它不可能做匀速直线运动，则A、B间的动摩擦因数μ1可能为零，也可能不为零；再以整体为研究对象，由平衡条件分析可知，地面对B一定有摩擦力，则B与地面之间的动摩擦因数μ2一定不为零，故选项B、D正确．
12.(2019-2020学年·定远育才学校高一第一学期期末)如图所示，质量均为m＝1 kg的两滑块A、B放在光滑的水平地面上，中间用一结实的轻质细线相连，轻杆OA、OB放在滑块上，且可绕铰链O自由转动，两杆长度相等，夹角θ＝60°，g取10 m/s2，当竖直向下的力F＝150 N作用在铰链上时( )
A．A滑块对地面的压力为85 N B．A滑块对地面的压力为75 N
C．A、B滑块间细线的张力为25 N D．A、B滑块间细线的张力为50 N
【答案】AC
【解析】对O点受力分析，如图所示：
对两个细杆的作用力进行合成，有FA＝FB＝，地面对A的支持力FN＝mg＋FAcos ＝85 N，因此A滑块对地面的压力为85 N，滑块间细线的张力F′＝FAsin＝25 N，故A、C正确．
二、非选择题
13.某同学利用如图甲所示的装置做“探究弹簧弹力大小与弹簧伸长量的关系”的实验．
(1)在安装刻度尺时，必须使刻度尺保持________状态．
(2)他通过实验得到如图乙所示的弹力大小F与弹簧长度x的关系图线，由此图线可得该弹簧的原长x0＝________ cm，劲度系数k＝________ N/m.
(3)他又利用本实验原理把该弹簧做成一个弹簧测力计，当弹簧测力计上的示数如图丙所示时，该弹簧的长度x＝________ cm.
【答案】(1)竖直(1分) (2)4(1分) 50(2分) (3)10(2分)
【解析】(1)弹簧是竖直的，为减小误差，刻度尺必须与弹簧平行，故必须使刻度尺保持竖直状态．
(2)弹簧处于原长时，弹力为零，故原长为4 cm，弹簧弹力为2 N时，弹簧的长度为8 cm，伸长量为4 cm，根据胡克定律F＝kΔx，有k＝＝ N/m＝50 N/m.
(3)由题图丙得到弹簧的弹力为3.0 N，根据题图乙得到弹簧的长度为10 cm.
14．在“探究求合力的方法”实验中，现有木板、白纸、图钉、橡皮筋、细绳套和一个弹簧测力计．
(1)为完成实验，某同学另找来一根弹簧，先测量其劲度系数，得到的实验数据如表：
弹力F/N
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
伸长量x/ (×10－2 m)
0.74
1.80
2.80
3.72
4.60
5.58
6.42
用作图法求得该弹簧的劲度系数k＝________N/m.
(2)某次实验中，弹簧测力计的指针位置如图甲所示，其读数为________N；同时利用(1)中结果获得弹簧上的弹力为2.50 N，请在图乙中画出这两个共点力的合力F合．
甲 乙
(3)由图得到F合＝________N.
【答案】：(1)55(±2内均可)(2)2.10(说明：有效数字位数正确，±0.02内均可)见解析图(3)3.3(说明：±0.2内均可)
【解析】：(1)根据表格数据描点，然后连成一条过原点的直线，如图所示，直线的斜率等于弹簧的劲度系数，k＝ N/m≈55 N/m.
(2)读出弹簧测力计的读数为2.10 N(保留三位有效数字)；以O为顶点，画出两弹簧的绳套方向就是两拉力方向，再确定并画好力的标度，画出两拉力的图示，以两拉力为邻边作出平行四边形，画出平行四边形的对角线，即合力F合．
(3)用刻度尺量出合力的长度，根据确定的标度算出合力的大小．
14.如图所示，质量均为1 kg的小球a、b在轻弹簧A、B及拉力F的作用下处于平衡状态，其中A、B两个弹簧的劲度系数均为5 N/cm，B弹簧上端与天花板固定连接，弹簧轴线与竖直方向的夹角为60°，A弹簧竖直，g取10 m/s2.求两弹簧的伸长量和拉力F的大小．
【答案】2 cm 8 cm 20 N
【解析】由b球处于静止得
FA＝mbg＝10 N(1分)
由F＝kx得xA＝＝2 cm，
a、b作为一个整体，受力如图，
由平衡条件得
FB＝＝40 N，
xB＝＝8 cm
F＝2mg·tan 60°＝20 N．
15.如图，某同学用大小为100 N的拉力拉动一个26 kg的行李箱沿水平地面匀速前进，拉力与水平方向的夹角为37°.已知sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)行李箱受到的摩擦力大小；
(2)行李箱对地面的压力大小；
(3)行李箱与地面间的动摩擦因数．
【答案】：(1)80 N (2)200 N (3)0.4
【解析】：(1)对行李箱进行受力分析．
Fsin 37°＋N＝mg，f＝Fcos 37°，f＝μN，f＝100 N×0.8＝80 N.
(2)N＝mg－Fsin 37°＝(260－100×0.6) N＝200 N．根据牛顿第三定律可知，N′＝N＝200 N，方向竖直向下．
(3)μ＝＝＝0.4.
16.一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C(劲度系数为k)、锁舌D(倾斜角θ＝45°)、锁槽E，以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示．设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm＝μN(N为正压力)求得．有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上(这种现象称为自锁)，此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x.
(1)求自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向；
(2)求此时(自锁时)锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小；
(3)无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少要多大？
【答案】：(1)向右 (2) (3)0.41
【解析】：(1)设锁舌D下表面受到的最大静摩擦力为f1，则其方向向右．
(2)设锁舌D受锁槽E的最大静摩擦力为f2，正压力为N，下表面的正压力为F，弹力为kx，如图所示
由力的平衡条件可知：
kx＋f1＋f2cos 45°－Nsin 45°＝0①
F－Ncos 45°－f2sin 45°＝0②
f1＝μF③
f2＝μN④
联立①②③④式解得正压力大小N＝.⑤
(3)令N趋近于∞，则有1－2μ－μ2＝0⑥
解得μ≈－1≈0.41.
17.如图所示，放在粗糙斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻质弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点．轻质弹簧中轴线沿水平方向，轻绳的OC段与竖直方向的夹角θ＝60°，斜面倾角α＝30°，物块A和B的质量分别为mA＝5 kg，mB＝1.5 kg，弹簧的劲度系数为k＝500 N/m，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)弹簧的伸长量x；
(2)物块A受到的摩擦力Ff的大小和方向．
【答案】 (1)3 cm (2)5 N 方向沿斜面向下
【解析】 (1)以结点O为研究对象，受力分析并正交分解，如图甲：
据平衡条件有
kx－Fsin 60°＝0①
Fcos 60°－mBg＝0②
由②解得F＝＝30 N，
代入①解得x＝＝ m＝3 cm.
(2)以物块A为研究对象，若摩擦力Ff方向沿斜面向下，对A受力分析并正交分解，如图乙：
据平衡条件有
F－mAgsin 30°－Ff＝0
解得Ff＝F－mAgsin 30°＝(30－5×10×) N＝5 N
方向沿斜面向下．
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