初中数学湘教版七年级下册3.2 提公因式法教案

提公因式法

【教学目标】

 　 1、知识与技能：

⑴在具体情境中认识公因式

⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式

2、过程与方法：

⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。

 ⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。

3、情感、态度与价值观：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。

【教学重点、难点】

　1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。

 ⒉．教学难点∶正确地找出公因式

【教学过程】  

㈠预学

如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？

    3.8                                

                          列式：3.7×3.8+3.7×6.2  (学生思考后列式)

3.7                         有简便算法吗?

                               =3.7×(3.8+6.2)              

       3.7                               =3.7×10=37(m2)
            6.2  图8-1

在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:

ma＋mb =m(a＋b)

利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb

㈡探究

    让学生观察多项式：ma+mb

       （让学生说出其特点：都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。）

    各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。

    注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式 。

    又如：b是多项式ab-b2各项的公因式

2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式

让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是 x 、 y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。

       ㈢精导

    指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）

    ⑴ax+ay-a        （a）

    ⑵5x2y3-10x2y     （5x2y）

    ⑶24abc-9a2b2        （3ab）

    ⑷m2n+mn2        （mn）

    ⑸x(x-y)2-y(x-y)     (x-y)

        说明:本活动也可以改为寻找公因式游戏如:(根据提供的多项式和整式,寻找出这个多项式的公因式.)

        ⑴ax+ay-a     ⑵5x2y3-10x2y     ⑶24abc-9a2b2       ⑷m2n+mn2          ⑸x(x-y)2-y(x-y)

          a, x, y        5xy,5x2y3,5x2y    3abc,9ab,3ab      mn,m2n,mn2         x(x-y),y(x-y),(x-y)

        游戏规则:准备好写有整式和多项式的纸牌,学生分为四组,每组选四个同学游戏,其中3个同学举一组题中的整式牌,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式,并说明理由。

         显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）

⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）

   ⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂

   根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：ma+mb=m（a+b） 这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

 　　　定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。

㈣例题教学，运用新知

例1．                   把3pq3+15p3q分解因式

   通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式

   解：3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq(q2+5p2)

让学生口答：把2x3+6x2分解因式

【学生在探究、交流中能获得一些初步概念和技能，但真正达到掌握知识与技能，还需要教师示范，学生模仿性学习，经过规范化的示范，就能逐步培养学生严谨的思维，正确的计算能力。】

说明：⑴应特别强调确定公因式的两个条件,以免漏取.

     　  ⑵刚开始讲,最好把公因式单独写出。①以显提醒②强调提公因式③强调因式分解

例2．                   把4x2-8ax+2x分解因式（让学生做，教师下去观察并选择有代表性的解答。）

学生可能出现的解答：①4x2-8ax+2x=x（4x-8a+2）②4x2-8ax+2x=2（2x2-4ax+x）

③4x2-8ax+2x=2x（2x-4a） ④4x2-8ax+2x=2x（2x-2a+1）

⑤4x2-8ax+2x=2x（2x-8ax+2x）

 教师出示学生的解答，可先让学生自行点评，找出分解因式的错误，而且这些错误都是以后学生练习中的常犯错误，接着由教师总结。这样做比教师直接给出可能会更有效。                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

【先让学生自己动手做，暴露他们的错误，然后再进行点评，加深他们的记忆。】

 分析：找出公因式2x，强调多项式中2x=2x×1　

解：4x2-8ax+2x=2x×2x-2x×4a+2x×1=2x（2x-4a+1）

说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1。1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。这类题常有学生犯下面的错误：4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）

注意：提公因式后的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。

例3．       把-3ab+6abx-9aby分解因式

  【让学生自己观察找出此例与前面两例的不同点】      

   学生可能会指出字母的个数不同…（只要学生说得合理，教师应及时给予肯定与鼓励）

他们很快就会发现第一项的系数是“-”的，那么如何转化呢？

  【由学生各述己见，教师不加评定，然后集体总结学生思维中的闪光点。】

应先把它转化成前面的情形，便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“-”号时，教师可适当地引出添括号法则，可谓解决“燃尾之急”。

添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。

课堂练习：P156T 2【巩固添括号法则】

解：-3ab+6abx-9aby=-（3ab-6abx+9aby）=-3ab（1-2x+3y）

说明：通过此例可看出应用提取公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则要提出负因数，此时一定要把各项变号。由此总结出提取公因式法的一般步骤。见P155

课堂练习：P156T3

【通过纠错题，及时反馈信息，进行点评】

例4．                   探索： 2（a-b）2-a+b能分解因式吗？

还是把问题先交给学生进行小组讨论（四人一小组），鼓励学生进行交流探索。可能有学生会提出好象没有公因式？此时教师可以适当地点拨一下。比如可降低难度改为：2（a-b）2-（a-b），然后启发学生如何转化？从而解决问题。

解：2（a-b）2-a+b= 2（a-b）2-（a-b）=（a-b）［2（a-b）-1］=（a-b）（2a-2b-1）

然后可追加一问：2（a-b）2-（b-a）3呢？

让学生积极思考，讨论回答。

注：n 为偶数       （a-b）n=（b-a）n

    n 为奇数       （a-b）n= -（b-a）n

【让他们从合作中去感受群体合作的力量，体验展示自我的愉悦。】

指出：我们知道代数式里的字母可以表示一个数、一个单项式、一个多项式。此多项式的公因式不明显，但仔细观察可发现，利用添括号法则把-a+b可变形成-（a+b），若把（a-b）看作m，原多项式就可以提取公因式a-b。

【向学生渗透换元思想】

【例题4培养学生分析问题的能力，优化学生思维品质，让学生区分方法的差异。】

（四）提升

 把下列各式分解因式

 ⑴2ax+2ay  ⑵x2y-xy2   ⑶a3+2a2-a   ⑷2mn-6m2n2+14m3n3   ⑸-ab2c+2a2b-5ac2

 ⑹x（a+b）-y（a+b）  ⑺a（x-a）+b（a-x）-c（x-a）

 　 【让学生上来板演，练习都是针对例题的直接应用，同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用。】

（五）课后作业

A组:将下列各式分解因式

  ⑴3（a-b）2-6a+6b

  ⑵-0.01x3y+o.2x2yz2

  ⑶利用因式分解计算

22×3.145+53×3.145+31.45×2.5

B组:  分解因式xa-xa-1+xa-2