初中湘教版2.1 多边形教案及反思

2.1  多边形的内角和与外角和（2）

重点、难点

重点：多边形的外角的概念、多边形的外角和公式。难点：多边形外角和公式的推导过程。

教学过程

一 创设情境，导入新课

1 如图，AB∥DE,AC∥DF,那么∠A与∠D有什么关系？为什么？你能有一句话表达这个结论吗？

解：∠A=∠D，理由是：设AC与DE交于C，

∵AB∥DE,AC∥DF∴∠A=∠ACD=∠D

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，而且开口方向一致，那么这两个角相等。

2 四边形的内角和=_____,n边形的内角和=______.

3 什么叫三角形的外角？什么叫三角形的外角和？三角形的外角和等于______.

三角形的一边和另一边的延长线组成的角叫三角形的外角，三角形的每一个内角的外角（共三个）的和叫三角形的外交和，三角形的外角和等于180º

4 类似地，多边形一边和另一边的反向延长线组成的角叫多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫多边形的外角和。

5 我们知道多边形每多一条边，多边形的内角和就多180º，外角和多多少度呢？你猜猜看.

你的猜想对吗？下面我们来学习——多边形的内角和与外角和（2）

二 合作交流，探究新知

1 特殊多边形的外角和

（1）等边三角形的每一个内角等于_____,每一个外角等于____,外角和等于______,

(2)正方形的每一个内角等于____,每一个外角等于____,外交和等于_____,

(3) 如果无边的每个内角是相等的，这个五边形的每一个内角等于____,每一个外角等于____,外交和等于_____。

（3）如果六边形的每个内角是相等的，这个六边形的每一个内角等于____,每一个外角等于____,外交和等于_____。             

从上面的多边形看到，边数增加，外角和并没有增加，都是360 º，但这些多边形的是特殊的，是否任意的多边形内角和都等于360 º呢？

2 普通多边形的外角和

（1）四边形的外角和

如图，四边形ABCD的四个外角∠1+∠2+∠3+∠4=?用什么方法来求？

方法1 量出这4个角的度数，然后相加，看等于多少？请你量一量图中的四个外角。

方法2 我们知道四边形的四个内角的和是360 º，四个外角与四个内角有什么关系呢？为了表达方便，我们把四个内角也用数字表示。（交流），估计学生会想到：

∵∠1+∠5=180 º，∠2+∠6=180 º，∠3+∠7=180 º

∠4+∠8=180 º

∴∠1=180º-∠5，∠2=180º-∠6，∠3=180º-∠7，∠4=180º-∠8，∠1+∠2+∠3+∠4=4180º-（∠5+∠6+∠7+∠8）=4180 º-360º=360º

方法3 :画OA∥BC,OB∥AB,则∠2=∠AOB,画OC∥AD,则∠1=∠BOC,画OD∥CD,则∠4=∠COD,∠3=∠AOD,

∵∠AOB+∠∠BOC+∠COD+∠AOD=360º,

∴∠1+∠2+∠3+∠4=360º.

(2) n边形的外角和等于多少呢？（交流讨论）

∵ n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是_____     

 ∴ n边形的内角和加外角和等于 ________ 

  ∵ n 边形的内角和等于  ___________

∴ n 边形的外角和等于n • 180º – (n-2) • 180º ＝360º

归纳：n边形的外角和等于360º

3 正多边形的概念

观察下面多边形，它们的角和边有什么特点？（边都相等，角也都相等）

在平面内，边都相等、角也都相等的多边形叫正多边形。

4 四边形的不稳定性

动脑筋：

四条边都相等的四边形（即菱形）它的四个角一定相等吗？

观察下面菱形,它们的四条边都是相等的，但只有中间一个的四个角是相等的。

这个例子告诉我们四边形的四条边的长度不改变，但形状可以改变，这叫四边形的不稳定性。

四边形的不稳定性在生活中既有好处也有害处，

伸缩门就是利用了四边形的不稳定性，一些建筑物就要防止四边形的不稳定性，如下图的木桥栏杆加些斜条，就是为了防止四边形的不稳定性。

三 应用迁移，巩固提高

例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？

解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°,外角

和等于360°，

所以：(n－2)·180=5×360

解得：n=12

答:这个多边形是12边形.

四 课堂练习，巩固提高

1 一个多边形的每一个外角都等于45º，这个多边形是几边形？它的每一个内角等于多少度？