初中数学湘教版九年级下册2.3 垂径定理教案

课题

2.3 垂径定理

共  1 课时

第  1  课时

课型

新授

教学目标

1.理解圆是轴对称图形,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证.

2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算.

3.通过对圆的进一步认识,加深我们对圆的完美性的体会,陶冶美育情操,激发学习热情.

重点难点

1.垂径定理及运用.

2.用垂径定理解决实际问题.

教学策略

 讨论、探究法，引导学生合作学习。

教学活动

课前、课中反思

    一、情境导入，初步认识

教师出示一张图形纸片,同学们猜想一下:

①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

②如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点M，能发现图中有哪些等量关系？（在纸片上对折操作）

学生回答或展示：

【教学说明】

（1）是轴对称图形，对称轴是直线CD.

（2）AM=BM，.

二、思考探究，获取新知

探究1垂径定理及其推论的证明.

1.由上面学生折纸操作的结论,教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论,学生们说出已知、求证,再由小组讨论推理过程.

已知:直径CD,弦AB,且CD⊥AB,垂足为点M.

求证:AM=BM,

【教学说明】连接OA=OB,又CD⊥AB于点M,由等腰三角形三线合一可知AM=BM,再由⊙O关于直线CD对称,可得.学生尝试用语言叙述这个命题.

2.得出垂径定理:

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

3.学生讨论写出已知、求证,并说明.

学生回答:

【教学说明】已知:AB为⊙O的弦(AB不过圆心O),CD为⊙O的直径,AB交CD于点M,MA=MB.

示证:CD⊥AB, .

证明:在△OAB中,∵OA=OB,MA=MB,∴CD⊥AB.又CD为⊙O的直径,∴.

4.同学讨论回答,如果条件中,AB为任意一条弦,上面的结论还成立吗?

学生回答:

【教学说明】当AB为⊙O的直径时,直径CD与直径AB一定互相平分,位置关系是相交,不一定垂直.

探究2 垂径定理在计算方面的应用.

例1讲教材P59例1

例2已知⊙O的半径为13cm,弦AB∥CD，AB=10cm,CD=24cm,求AB与CD间的距离.

解:(1)当AB、CD在O点同侧时,如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连OA、OC.∵AB∥CD,∴ON⊥CD于N.在Rt△AOM中，AM=5cm,OM= =12cm.在Rt△OCN中，CN=12cm,ON= =5cm.∵MN=OM-ON,∴MN=7cm.

(2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，由（1）可知OM= 12cm,ON=5cm,MN=OM+ON,∴MN=17cm.∴AB与CD间的距离是7cm或17cm.

【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去.

2.AB、CD与点O的位置关系没有说明,应分两种情况:AB、CD在O点的同侧和AB、CD在O点的两侧.

探究3与垂径定理有关的证明.

例3讲教材P59例2

【教学说明】1.作直径EF⊥AB,∴.

又AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD.

∴.

∴，即.

2.说明直接用垂径定理即可.

三、运用新知，深化理解

1.（湖北黄冈中考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）

A.8   B.10  C.16  D.20

2.如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0,-4),N(0,-10),函数 (x＜0)的图象过点P，则k=______.

3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE为正方形.

【教学说明】1.在解决与弦的有关问题时，常过圆心作弦的垂线（弦心距），然后构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用直角三角形的性质求解.

2.求k值关键是求出P点坐标.

3.利用垂径定理,由AB=AC→AE=AD，再由已知条件→三个直角→正方形.

【答案】1.D 2.28

3.解:由OE⊥CA,OD⊥AB,AC⊥AB,∴四边形ADOE为矩形.再由垂径定理;AE=AC,AD=AB,且AB=AC,∴AE=AD,∴矩形EADO为正方形.

四、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?

2.在学生回答基础上.

3.教师强调:①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情况.

作业

1.教材P60第1、2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

课后反思

本节课由折叠圆形入手,让学生猜想垂径定理并进一步推导论证,在整个过程中着重学习动手动脑和推理的能力,加深了对圆的完美性的体会,陶冶美育情操,激发学习热情.