湘教版九年级下册第1章 二次函数1.4 二次函数与一元二次方程的联系教学设计

2．3．1    二次函数与一元二次方程的联系（3）

[本课知识要点]

（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；

（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．

[MM及创新思维]

给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．

它们的图象分别为

观察图象与x轴的交点个数，分别是    个、    个、    个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？

另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？

[实践与探索] 

例1．求抛物线与x轴的交点的横坐标。（书P44例2）

求抛物线与x轴的交点的横坐标。（书P44例3）

例2、画出函数的图象，根据图象回答下列问题．

（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？

（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？

（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？

解  图象如图26．3．4，

（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．

（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．

（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．

回顾与反思  （1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．

（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．

例3．（1）已知抛物线，当k=          时，抛物线与x轴相交于两点．

（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a=        ．

（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是         ．

分析  （1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．

（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即⊿=0．

（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程的两个根，又由于，以及，利用根与系数的关系即可得到结果．

请同学们完成填空．

回顾与反思  二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．

例4．已知二次函数，

（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；

（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

分析  （1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即⊿＞0．

（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②，③．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．

（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②．

解  （1）⊿=，由，得，所以⊿＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．

（2）由，得；由，得；又由（1），⊿＞0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧．

（3）由，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．

探索  第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．

[当堂课内练习]

1．已知二次函数的图象如图，

则方程的解是           ，

不等式的解集是          ，

不等式的解集是          ．

2．抛物线与y轴的交点坐标为           ，与x轴的交点坐标为                ．

3．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为        ．

4．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．

[本课课外作业]

A组

1．已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．

（1）方程的解是什么？

（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？

2．如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值．

3．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．

4．已知二次函数，

求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；

   （2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；

   （3）x为何值时，y＞0．

5．你能否画出适当的函数图象，求方程的解？

B组

6．函数（m是常数）的图象与x轴的交点有                （    ）

A．0个       B．1个       C．2个       D．1个或2个

7．已知二次函数．

（1）说明抛物线与x轴有两个不同交点；

（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；

（3）a取何值时，两点间的距离最小？

[本课教学体会]