初中数学湘教版九年级下册第1章 二次函数1.1 二次函数教学设计

这是一份初中数学湘教版九年级下册第1章 二次函数1.1 二次函数教学设计，共45页。教案主要包含了课堂作业，课外作业，拓展升华，小结等内容，欢迎下载使用。

湘教版九年级数学下册第二章二次函数教案（共15课时）
课
题
第２ 章　二次函数
2.1 建立二次函数模型
共_1_课时
第_1_课时
课
型
新　授
教
学
目
标
1. 通过对实际问题情境分析，建立二次函数的模型.
2. 初步理解二次函数的概念，并能确定自变量的取值范围．
3. 进一步体验建立数学模型的思想方法．
重
点
难
点
重点：建立二次函数数学模型和理解二次函数概念．
难点：建立二次函数数学模型．
教
学
策
略
探究、讲解、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
（一）创设情境
１．欣赏一组录像画面：篮球场上同学们传球投篮，田径场上同学们投掷铅球，同学们课余游戏抛硬币，石拱桥的桥拱……
２．观察：篮球投篮时，掷铅球时，抛硬币时……在空中运行的路线是一条什么样的路线？
（二）复习引入
我们已知道，可以建立数学模型一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）来刻画直线，反比例函数ｙ＝ｋ/ｘ（ｋ≠０）来刻画双曲线，那么像前面所看到的曲线，我们又该建立一个什么样的数学模型来刻画它们呢？
要刻画它，我们今天还需要学习一种新的函数关系———二次函数． （点出课题）
（三）探求新知
１.出示投影１，教科书Ｐ.２１“动脑筋”中问题———植物园的面积随着砌法的不同怎样变化
（１）学生阅读审题，独立思考，自主探索．
设与围墙相邻的每一面墙的长都为ｘ ｍ，则与围墙相对的一面墙的长为（１００ － ２ｘ）ｍ，于是矩形植物园的面积Ｓ＝ｘ(１００－２ｘ），即Ｓ＝－２ｘ２ ＋１００ｘ．
（２）学生合作讨论ｘ 的取值范围．
由 ｘ ＞０，
１００ －２ｘ ＞０，　 得０＜ｘ＜５０．
（３）概括． 由上述（1）、（2）可得关系式Ｓ=-２ｘ２+100ｘ，０＜ｘ＜５０，有了这个关系式，我们对植物园的面积Ｓ 随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了．
２.出示投影２，教科书Ｐ.２１”动脑筋”中问题———电脑的价格．
师生共同分析交流，得出：平均降价率ｘ 与售价ｙ之间的关系：
　　　　　ｙ＝6000（１－ｘ）２ ，０ ＜ ｘ ＜１．

即 ｙ＝6000ｘ２－12000ｘ＋6000，０＜ｘ＜１．
引导学生观察上述两个函数解析式，并说出函数关系式Ｓ＝-2ｘ２＋100ｘ（０＜ｘ＜５０）和ｙ＝6000ｘ２－12000ｘ＋6000（０＜ｘ＜１）有什么共同特点？通过上述分析抽象出：
函数解析式是自变量的二次多项式，这样的函数称为二次函数，它的一般形式为
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ （ａ，ｂ，ｃ 是常数，ａ≠０）．
二次函数的自变量的取值范围是所有实数． 但对于实际问题中的二次函数的自变量的取值范围一般会有一些限制．
二次函数有下列特殊形式：
　　ｙ＝ａｘ２ （ａ≠０，ｂ ＝０，ｃ ＝０）；
　　ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ （ａ≠０，ｂ≠０，ｃ ＝０）；
　　ｙ＝ａｘ２＋ｃ （ａ≠０，ｂ ＝０，ｃ≠０）．
（四）讲解例题
例１．下列函数中，哪些是二次函数？
（１）ｙ＝３ｘ－１； （２）ｙ＝３ｘ２＋１；（３）ｙ＝３ｘ３ ＋２ｘ２；
（４）ｙ＝２ｘ２－２ｘ＋１； （５）ｙ＝ｘ２； （６）ｙ＝ｋｘ２－２．
例２.已知y＝(ｍ２－２ｍ）ｘ２ｍ２ － ３ｍ是二次函数，求ｍ 的值．
（五）应用新知
教科书Ｐ.２２ 练习题．
选取部分学生的解题过程在投影上显示，师生共同评价订正．
（六）课堂小结
１.判断一个函数是否是二次函数，关键看什么？
自变量最高次数是２，二次项系数ａ≠０．
２.二次函数中，自变量取值有什么限制？
从两方面考虑：一是自变量取值要使函数解析式有意义；二是自变量取值要使实际问题有意义．
（七）布置作业
教科书Ｐ.２３习题Ａ 组第１，２ 题，选做Ｂ 组．





课
后
反
思


编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第__11__个教案
课
题
2.1 二次函数的图象与性质（一）
共_5__课时
第_1__课时
课
型
新　授
教
学
目
标
1. 会用描点法画二次函数ｙ＝ａｘ２ （ａ＞０）的图象．
2. 能结合图象直观初步了解函数ｙ＝ａｘ２ （ａ＞０）的某些性质．
3. 让学生经历探索二次函数ｙ＝ａｘ２ 的图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．
重
点
难
点
重点：会用描点法画出二次函数ｙ＝ａｘ２ （ａ＞０）的图象以及探索函数性质．
难点：探索二次函数性质．
教
学
策
略
探究、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
（一）复习引入
１．什么是二次函数？一般形式是什么？
２．反比例函数的图象是什么呢？它有哪些性质？
３．二次函数的图象是什么呢？它又有哪些性质？
（二）探究新知
问题一　如何作二次函数ｙ＝１/２ｘ２ 的图象呢？
引导学生探索二次函数ｙ＝１/２ｘ２ 的图象的画法．
（１）列表． 让学生讨论，引导学生先给自变量取值，再算出相应的函数值． 列表如下．
x
-3
-
-2
-1
-
0

1
2

3
Y=ｘ2


2


0


2


（２）描点． 在平面直角坐标系内，以ｘ 的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图２ －１．
观察和分析：①从图２ －１ 看出，点Ａ 和点Ａ′，点Ｂ和点Ｂ′……它们有什么关系？②ｙ轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？
学生通过观察、分析、思考、讨论和交流，得出：
　　ｙ＝１/２ｘ２ 的图象关于ｙ 轴对称；
ｙ 轴右边，函数值随自变量的增大而增大，简称为“右升”．
（３）连线．用一条光滑曲线把原点和ｙ轴右边各点顺次连接起来，然后利用对称性，画出图象在ｙ轴左边的部分（把ｙ轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了ｙ＝１/２ｘ２ 的图象，如图２ －２．





图2-1








图2-2

问题二　二次函数ｙ＝１/２ｘ２ 的图象有哪些性质呢？
引导学生探索二次函数ｙ ＝１/２ｘ２ 的图象性质．
二次函数ｙ＝１/２ｘ２的图象关于ｙ轴对称和“右升”外，还有哪些特性？
　　①对称轴与图象的交点是Ｏ（０，０），图象开口向上；
　　②图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“左降”．　　③当ｘ＝０时，函数值最小．
由此归纳出：二次函数ｙ＝ａｘ２ （ａ ＞０）的图象画法和性质：
（１）y＝ａｘ２ （ａ＞０）的图象画法：先用描点法（列表、描点、连线）画出图象在ｙ轴右边的部分，然后利用对称性画出图象在ｙ轴左边的部分．
（２）ｙ＝ａｘ２ （ａ ＞０）的性质：
①对称轴是ｙ 轴；②对称轴与图象的交点是Ｏ（０，０），图象开口向上；
③当ｘ ＝０ 时，函数值最小为０．
（三）讲解例题
例　教科书Ｐ.２７例１．
分析：先用描点法画出图象在ｙ轴右边的部分，然后利用对称性画出图象在ｙ轴左边的部分．(［解］见教科书Ｐ.２７)
（四）应用新知
教科书Ｐ.２７ 练习题．
学生独立完成后，拿几份学生所画的图象放在投影上展示，大家评价修正．
（五）课堂小结
引导学生思考以下两个问题：
１.画二次函数ｙ=ax２（ａ＞０）的图象的步骤有哪些？列函数值表要注意些什么？
２.什么叫二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的图象的“左降”和“右升”？
（六）思考与拓展
１.若二次函数ｙ＝(ｍ＋３)ｘ２ ＋ ｍ２ -９ 的图象与对称轴的交点是原点，则ｍ＝_３__________．
２.若函数ｙ＝ａｘ２ 的图象与直线ｙ＝ｘ－１只有一个交点，则a＝____．
布置作业
１.填空：二次函数ｙ＝２ｘ２ 的图象开口向_____，对称轴是______，在对称轴的左边部分，ｙ随ｘ的增大而__________，在对称轴的右边部分,ｙ随ｘ的增大而_______，图象与对称轴的交点坐标是__________，当ｘ＝__________时，函数ｙ有最小值___________．
２.画出函数ｙ＝３ｘ２ 的图象．

课
后
反
思


编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第_12__个教案
课
题
2.1 二次函数的图象与性质（二）
共_5__课时
第_2__课时
课
型
新　授
教
学
目
标
1. 会用描点法画出二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ＜０）的图象
2. 了解ｙ＝ａｘ２ 与ｙ＝－ａｘ２（ａ≠０）的图象的位置关系．了解ｙ＝ａｘ２ 与ｙ＝－ａｘ２（ａ≠０）的图象的位置关系．
3. 进一步体验类比迁移的思想方法
重
点
难
点
重点：理解抛物线的有关概念，体会“轴反射”在作函数图象中的应用．
难点：区别ｙ＝ａｘ２（ａ＜０）与ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的图象性质．
教
学
策
略
探究、讲解、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
（一）复习引入
１．怎样画出函数ｙ＝ａｘ２ （ａ＞０）的图象？
２．我们已经画过ｙ＝１/２ｘ２的图象，能不能由它得出ｙ＝－１/２ｘ２ 的图象？
（二）探究新知
（１）讨论回顾:反比例函数ｙ＝２/ｘ 与ｙ＝－２/ｘ的图象有什么关系？当画出了双曲线ｙ＝２/ｘ 后，又怎样得到双曲线ｙ=－２/ｘ ？（突出图象“复印”这一点）
（２）请你猜一猜ｙ＝－１/２ｘ２ 的图象与ｙ＝１/２ｘ２ 的图象会是怎样的关系呢？(运用类比迁移的思想方法，可以猜想出：ｙ＝－１/２ｘ２ 的图象与ｙ＝１/２ｘ２ 的图象关于ｘ轴对称．)
（３）验证猜想:你能验证你的猜想吗？引导学生分析讨论．
在ｙ＝１/２ｘ２ 的图象上任取一点Ｐ(ａ，１/２a2).点Ｐ关于ｘ轴对称的点Ｑ的坐标是(ａ,－１/２a2).检验Ｑ 点是否在ｙ＝－１/２ｘ２ 的图象上．当ｘ＝ａ时，ｙ＝－１/２ｘ２＝－１/２ａ２，所以Ｑ 点在ｙ＝－１/２ｘ２ 的图象上．
由此可知，ｙ＝－１/２ｘ２ 的图象与ｙ＝１/２ｘ２ 的图象关于ｘ 轴对称．因此，只要把ｙ＝1/２ｘ２ 的图象沿ｘ 轴翻折并将图象“复印”下来，就得到ｙ＝－１/２ｘ２ 的图象．(有条件的话，用多媒体动画演示图２－３，让同学们真实体验“复印”过程．)
（４）ｙ＝－１/２ｘ２ 的图象有哪些性质？
引导学生观察、分析图２－３，并结合教科书Ｐ.２８“观察”栏目，进行自主探索，得出ｙ＝－１/２ｘ２的性质．
用类比的方法归纳出ｙ＝ａｘ２ （ａ＜０）的性质：
①图象开口向下，对称轴是ｙ轴，图象与对称轴的交点是（０，０）；当ｘ＝０时，函数值最大，ｙ最大值＝０；②对称轴右边图象，ｙ随ｘ的增

















图2-3


大而减小(右降），对称轴左边图象,ｙ随ｘ的增大而增大（左升）．
（三）讲解例题
例.　（教科书Ｐ.２９例２）画二次函数ｙ＝－１/４ｘ２ 的图象．
［解］①列表：(略)　②描点和连线：画出图象在ｙ 轴右边的部分．利用对称性画出ｙ轴左边的部分．这样就得到了ｙ＝－１/４ｘ２ 的图象，如图．
引导学生探索抛物线的有关概念．
（１）说一说，ｙ＝－１/４ｘ２ 的图象跟实际生活中的什么相像？
（２）让同学们合作交流，抽象概括出抛物线的有关概念，不完整的地方，教师补充完整．
二次函数ｙ＝ａｘ２ 的图象叫做抛物线，关于ｙ 轴对称，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点，抛物线ｙ＝ａｘ２ 的顶点是原点．
（四）应用新知
教科书Ｐ.３０练习第１,２题．学生独立完成后，抽样放在投影仪上展示，集体评价，交流解题思路.便于大家共同提高．
（五）课堂小结
１.二次函数图象是什么？刻画它的数学模型是什么？
二次函数图象是抛物线，刻画抛物线的数学模型是二次函数解析式．
２.抛物线ｙ＝ａｘ２ 的哪些性质与ａ无关，哪些性质与ａ有关？
抛物线顶点，对称轴与ａ无关．抛物线开口方向，函数值ｙ与自变量ｘ的变化关系都与ａ有关．
３.谈谈你对这节课的学习体会，大家交流．
（六）思考与拓展
１.当ｍ为何值时，抛物线ｙ＝（ｍ＋１）ｘｍ２ －２的开口向下，对称轴是ｙ轴；当ｘ为何值时，ｙ随ｘ的增大而减小？
２.已知抛物线ｙ＝-3x2绕顶点旋转180°得到抛物线ｙ＝ａｘ２，求ａ．
（七）布置作业
１.填空．（１）抛物线ｙ＝－１/３ｘ２的开口向_____，顶点坐标是_____，对称轴是_____，当ｘ_____０ 时，ｙ随ｘ的增大而增大，当ｘ_____０ 时，ｙ随ｘ的增大而减小，当ｘ_____０ 时，ｙ有最_____值为_____．
（２）抛物线ｙ＝３ｘ２ 的开口向_____，顶点坐标是_____，对称轴是_____，当ｘ_____０时，ｙ随ｘ的增大而增大，当ｘ_____ 0 时，ｙ随ｘ的增大而减小，当ｘ_____０ 时，ｙ有最______值为_____．
２.在同一坐标中画出下列二次函数的图象，并探究图象开口大小规律．
（１）ｙ＝２ｘ２；（２）ｙ＝－２ｘ２；(３）ｙ＝３ｘ２；（４）y=-3ｘ２ ．


图2-4


课
后
反
思

编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第　13 个教案
课
题
2.2二次函数的图象与性质（三）
共　5 课时
第　3 课时
课
型
新　授
教
学
目
标
1.运用平移知识理解二次函数ｙ＝a（x－h）2与ｙ＝ａｘ２ 的图象的位置关系．
2.能说出抛物线ｙ＝a（x－h）2的对称轴，顶点坐标和开口方向．
3.会用描点法画二次函数ｙ＝a（x－h）2的图象．

重
点
难
点
重点：用描点法画二次函数ｙ＝a（x－h）2的图象；理解二次函数ｙ＝a（x－h）2的性质．
难点：理解二次函数ｙ＝a（x－h）2的图象与二次函数ｙ＝ａｘ２的图象之间的相互关系
教
学
策
略
探究、讲解、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
（一）创设情境
１．设计一个小船平移的多媒体动画进行演示．
引导学生回顾，什么叫平移？平移由那些要素决定？平移有哪些性质？
２．提问：抛物线y=ａｘ２(a＞０）是否也可以这样平移？
将抛物线ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）进行多媒体动画演示，沿ｘ轴左、右平移，或沿着ｙ轴上、下平移．让学生观察有哪些改变了，哪些没有改变．
３．引入：将抛物线ｙ=ａｘ２(a＞０）平移后，形状和开口方向没有改变，但位置发生了变化，那么平移后的抛物线所对应的二次函数解析式还会是ｙ=ａｘ２吗？如果不是，那么解析式会发生什么变化呢？
（二）探究新知
学生活动一:（１）观察多媒体动画演示教科书Ｐ.３１图２－７．
把二次函数ｙ＝１/２ｘ２的图象Ｅ向右平移１个单位后得到图象Ｆ，如图．
（２）各自记录观察结果，然后进行交流讨论，合作填好下表
图象

原象Ｅ
抛物线Ｅ：ｙ=１/２ｘ２
象Ｆ
图形Ｆ也是抛物线
顶点


对称轴


开口方向


教师:（１）指导观察：注意平移性质——平移不改变图象形状和大小，只改变位置．
（２）引导讨论：突出“向右平移１个单位后”，抛物线改变位置，这意味着什么？（意味着顶点的改变，对称轴的改变．）
（３）提出问题：抛物线Ｆ 是哪个函数的图象呢？
这是已知抛物线找出刻画它的函数模型，即二次函数解析式．
学生活动二:（１）自主探索．在抛物线ｙ＝１/２ｘ２ 上任取一点Ｐ(a.1/2a2)，它在向右平移１个单位后，Ｐ的象点Ｑ 的坐标是什么？
（２）小组合作讨论交流．把Ｐ点的横坐标ａ加上１，纵坐标１/２ａ２不变，就得到象
















点Ｑ的坐标为(a+1，1/２ａ2)． 设ｂ=a+1，则ａ＝ｂ－１，从而点Ｑ的坐标为(ｂ,１/２（b－1）2)。所以抛物线Ｆ是二次函数ｙ＝１/２（ｘ － １）２ 的图象． 它的顶点是（１，０），它的对称轴是过点Ｏ′（１，０）且平行于ｙ轴的直线ｌ′，直线ｌ′为ｘ＝１，抛物线ｙ＝１/２(ｘ－１）２ 的开口向上．
由此引导学生归纳出函数ｙ＝a（x－h）2的图象性质：
函数ｙ=a(x-h)2的图象是抛物线，它的对称轴是直线ｘ＝ｈ，它的顶点坐标是(ｈ，０）．当ａ＞０时，抛物线开口向上；当ａ＜０时，开口向下．
（三）讲解例题
例。教科书Ｐ.３２ 例３．
分析：先找出顶点坐标和对称轴，再列表、描点、连线画出二次函数图象在对称轴右边的部分，最后利用对称性画出对称轴左边的部分．
（四）应用新知
学生随堂练习，教科书Ｐ.３３练习题第１，２题．
做完后，放投影上显示，集体评价交流，指出优劣，互相帮助，共同提高．
（五）课堂小结
１．抛物线沿ｘ轴左右平移，实际上只改变了顶点横坐标，纵坐标不变．
２．如何作ｙ＝ａ（x－h）2（ａ≠０）的图象？
（六）思考与拓展
让学生自主探索，小组交流讨论，教师引导点拨，解决以下问题．
１．抛物线ｙ＝１/２ｘ２ 向左平移１个单位后，得到抛物线ｙ＝１/２（ｘ＋１）２ ，如果将抛物线ｙ＝１/２ｘ２向右平移１个单位后，又是怎样的抛物线呢？
２．（1）抛物线ｙ＝２(ｘ－５）２ 向左平移３个单位后得到的抛物线是　　．
（２）抛物线ｙ＝２（ｘ－５）２ 向右平移４个单位后得到的抛物线是　　．
布置作业
１．填空．（１）抛物线ｙ＝２ｘ２ 与ｙ＝－２ｘ２ 关于ｘ轴对称．
（２）抛物线ｙ＝－１/２（ｘ＋１）２ 向右平移３个单位后，得到的抛物线是ｙ＝－１/２（ｘ－２）２ ．
（３）抛物线ｙ＝－１/３(ｘ＋２）２ 开口向下，顶点坐标是（－ ２，０），对称轴是直线ｘ＝－２，当ｘ＞－２时，ｙ 随ｘ 的增大而减小．
２．选择题．（１）比较ｙ=3x2和ｙ＝-3x2的图象的不同之处是（　　）
Ａ。对称轴　　Ｂ。顶点坐标 Ｃ.开口方向 Ｄ. 开口大小
（２）对于抛物线ｙ＝ａ（ｘ－ ｈ）２(ａ≠０），下列叙述正确的是（　　）
Ａａ越大开口越大Ｂａ越大开口越小Ｃ｜ａ｜越大开口越大Ｄ｜ａ｜越大开口越小


课
后
反
思


编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第　14 　个教案
课
题
2.2二次函数的图象与性质（四）
共　5 课时
第　4 课时
课
型
新　授
教
学
目
标
１．理解ｙ＝a(x-h)2的图象与ｙ=a(x-h)2+k的图象的关系．
２．能说出抛物线ｙ=a(x-h)2+k的对称轴，顶点坐标和开口方向．
３．让学生经历ｙ=a(x-h)2+k的性质的探究过程，理解二次函数图象性质．
重
点
难
点
重点：探索二次函数ｙ=a(x-h)2+k的图象的性质以及画二次函数ｙ=a(x-h)2+k 的图象．
难点：理解ｙ=a(x-h)2与ｙ=a(x-h)2+k的图象之间的关
教
学
策
略
探究、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
（一）复习引入
１.填空．
（１）抛物线ｙ＝１/２ｘ２的顶点是____，对称轴是___，开口向_____．
（２）抛物线ｙ＝１/２（ｘ＋１）２的顶点是_____，对称轴是_____，开口向_____．
２.说一说，下列函数是将抛物线ｙ＝２ｘ２经过怎样的平移得到的？
（１）ｙ＝２（ｘ＋３）2；　　（２）ｙ＝２ｘ－１）２．
３.引入：将抛物线ｙ=1/2（x+1）2经过怎样的平移可以得到抛物线ｙ1/2（x+1）2－3？
（二）探究新知
１．理解抛物线ｙ=1/2（x+1）2与抛物线ｙ=1/2（x+1）2-３ 的平移关系．
（１）引导学生完成下表．
二次函数

图象上的点
横坐标
纵坐标
ｙ=1/2（x+1）2
ａ

ｙ=1/2（x+1）2-３
ａ

（２）指导学生观察上表中两个函数，当图象上的点的横坐标相同时，纵坐标相差３。从
而理解由抛物线ｙ=1/2（x+1）2向下平移３ 个单位后，就得到抛物线ｙ=1/2（x+1）2-３． 它的对称轴是直线ｘ＝－１，顶点坐标为（－１，－３）．
２．探索ｙ=a(x-h)2+k的图象性质．
用观察比较的方法得到ｙ=a(x-h)2+k的图象性质：
函数ｙ=a(x-h)2+k的图象是抛物线，它的对称轴是直线ｘ＝ｈ，它的顶点坐标是（ｈ，ｋ）． 当ａ＞０时，抛物线开口向上；当ａ＜０时，开口向下．
３．探索ｙ=a(x-h)2+k的图象画法．
（１）师生共同探讨：讨论从图形平移入手，抛物线平移不改变形状和开口

方向，只改变顶点坐标．因此，要画抛物线，先必须找出顶点坐标和对称轴．
（２）师生共同归纳概括图象画法的步骤．
第一步.写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点．
第二步.列表（自变量ｘ从顶点横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分．
第三步.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．
（三）讲解例题
例.　教科书Ｐ.３４ 例４．
分析：按画二次函数ｙ=a(x-h)2+k的图象的三个步骤进行．
（四）应用新知
教科书Ｐ.３５ 练习第１，２ 题． 学生独立完成后，抽样放投影上进行集体讲评修正．
（五）课堂小结
１.抛物线沿ｘ轴左右平移，只改变顶点的横坐标；沿ｙ轴上下平移，只改变顶点的纵坐标．即
ｙ=ax2沿ｘ轴平移｜ｈ｜个单位→ｙ=a(x-h)2沿ｙ轴平移｜ｋ｜个单位→ ｈ＞０向右，ｈ＜０向左 ｋ＞０向上，ｋ＜０向下
ｙ=a(x-h)2+k
２.说出下列二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
（１）ｙ=ax2+ｃ （２）ｙ=a（x+m）2；　（３）ｙ=a(x-h)2+k+1
布置作业
（１）将抛物线ｙ＝ｘ２向左平移２个单位后，再向上平移２个单位所得到的抛物线是（　　）
Ａ) ｙ＝ｘ2＋２ Ｂ) ｙ＝（ｘ ＋２）２－２
Ｃ) ｙ＝(ｘ＋２）２＋２ Ｄ) ｙ＝（ｘ－２）２＋２
（２）将抛物线ｙ＝－１２（ｘ＋１）２＋４向右平移３个单位后，再向下平移５个单位所得到的抛物线是（　　）
（3）抛物线ｙ＝ａ(ｘ＋２）２与抛物线ｙ＝－２.５(ｘ－ｈ）２的开口方向和形状相同，只是位置不同，则ａ、ｈ 的值分别是（　　）
Ａ)ａ＝－２.５，ｈ＝２； Ｂ)ａ＝２.５，ｈ＝２；
Ｃ)ａ＝－２.５，ｈ＝－２； Ｄ)ａ＝２.５，ｈ＝ －２．
（4）函数ｙ＝－３(ｘ－２）２＋４．它的图象开口向____，顶点坐标是______，对称轴是直线______，当ｘ______时，ｙ随ｘ的增大而增大，当ｘ______时ｙ随ｘ的增大而减小，当ｘ______时，ｙ有最______值是_______．


课
后
反
思



编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第　15 个教案
课
题
2.2二次函数的图象与性质（五）
共　5 课时
第　5 课时
课
型
新　授
教
学
目
标
１.会用配方法确定抛物线ｙ=ax2+bx+c的顶点和对称轴；会求它的最大值与最小值．
２.会用描点法画出二次函数ｙ=ax2+bx+c的图象．

重
点
难
点
重点：用配方法确定抛物线ｙ=ax2+bx+c的顶点和对称轴．
难点：用配方法将ｙ=ax2+bx+c转化为ｙ=a（x-h）2+k的形式．
教
学
策
略
探究、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
（一）复习引入
１.已知二次函数ｙ＝２ｘ２，ｙ＝２(ｘ＋１)２ ，ｙ＝２(ｘ＋１）２－３．
分别说出它们图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．
（二）创设情境
二次函数ｙ=a（x-h）2+k的图象的对称轴是直线ｘ＝ｈ，顶点坐标是（ｈ，ｋ）．如果已知二次函数ｙ＝－２ｘ２＋６ｘ－１，你能求出其图象的顶点坐标吗？
（三）探究新知
１.如何将二次函数ｙ=-2x2+6x-1化成ｙ=a（x-h）2+k的形式？
配方：ｙ=-2x2+6x-1＝－2(x－)2+(教师板演配方步骤)
２．探索二次函数ｙ=ax2+bx+c的图象画法．
如何画二次函数ｙ=-2x2+6x-1的图象呢？
分析:(１)用配方法将ｙ=-2x2+6x-1化成ｙ=－2(x－)2+的形式，其顶点为(,)，对称轴是直线ｘ＝３/２．
（２）用描点法和对称性画出ｙ=－2(x－)2+的图象．
学生动手：结合教科书Ｐ.３６ 完成例５，教师用多媒体动画画出抛物线ｙ=－2(x－)2+
３．探索二次函数ｙ=-2x2+6x-1的图象性质．
当ｘ等于多少时，函数ｙ=-2x2+6x-1有最大值？最大值是多少？
引导学生得出：当ｘ＝３/２时，ｙ=-2x2+6x-1有最大值７/２
一般地，对于二次函数ｙ=ax2+bx+c（ａ≠０），通过配方后，可直接找到它的图象的有关性质．
配方：ｙ=ax2+bx+c = a(x＋)2＋
由此可得：顶点坐标是(－,),(对称轴是直线ｘ＝－.
当ａ＞０时，抛物线开口向上，当ｘ＝－(顶点的横坐标）时，ｙ最小值＝（顶点的纵坐标）．当ａ＜０时，抛物线开口向下，当ｘ＝－(顶点的横坐标）时，ｙ最大值＝（顶点的纵坐标）．
（四）讲解例题
例（教科书Ｐ.３７的例６）求函数ｙ=－x2＋2x－1的最大值．
（五）应用新知
教科书Ｐ。３８练习第１，２，３ 题．
组织学生独立自练．第１ 题提醒学生规范解题过程，按教科书Ｐ。３６例５的步骤进行，用描点法和对称性完成画图过程．第２题既可用配方法求顶点坐标，也可用顶点坐标公式求解．
（六）课堂小结
１.任何一个二次函数ｙ=ax2+bx+c（ａ≠０）都可用配方法转化为ｙ=a（x-h）2+k的形式． 此时能直接找到函数图象的顶点坐标是(ｈ，ｋ）.对称轴是直线ｘ＝ｈ，请你说说配方步骤．
２.本书研究了二次函数的哪些性质？(主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数的增减性，最大值或最小值等方面进行研究．)
３.请你简单说说二次函数图象的画法．
（１）用配方法或顶点坐标公式，求出图象的顶点坐标和对称轴．
（２）用描点法和对称性画出函数图象．
布置作业
一、课堂作业:教科书Ｐ.３９习题Ａ 组第２题；Ｂ组第１，２题．
二、课外作业:教科书Ｐ.３９习题Ａ 组第１，３，４题．









































［略解］配方得：ｙ=－（x－2）2＋1 ∵ ａ＝－＜０，∴ 当ｘ＝２时，ｙ最大值＝１．(注：也可以用顶点坐标公式求．)





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思

编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第　16 　个教案
课
题
补充：.求二次函数解析式
共　1 课时
第　1 课时
课
型
新　授
教
学
目
标
1．知识目标：掌握用"一般式、顶点式、交点式"求二次函数解析式，并能灵活运用相关知识。
2．能力目标：分析能力、探究能力、比较能力、与人合作能力。
3．情感目标：体会数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性，及结论的确定性。
重
点
难
点
重点：会用三种方式求二次函数解析式
难点：灵活运用二次函数的图像及性质于解析式中。
教
学
策
略
讲解、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
一、合作交流 例题精析
1、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把y＝ax2＋bx＋c叫做二次函数的一般式。
例1：已知抛物线过点A（1，0） B（3，0） C（4，3）求此抛物线解析式。
（引导学生利用抛物线的一般式来求解）
2、如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有　　　　
　　∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有
　　ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2)
∴抛物线的解析式为：　　y=a(x-x1)(x-x2) (*)　　
(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)
我们将y=a(x-x1)(x-x2)称为抛物线的两根式（又叫交点式）．对于例1利用两根式来解则更为方便．
3、二次函数y＝ax2＋bx＋c用配方法可化成：y＝a(x＋h)2＋k，顶点是(－h，k)。我们把y＝a(x＋h)2＋k叫做二次函数的顶点式
例2、已知抛物线当x=2时，y有最小值 —1，并且过点A（4，3）求此抛物线解析式。（引导学生利用抛物线的顶点式来求解）
一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：
　　①确定二次函数要有三项条件；
　　②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；
③二次函数的解析式有三种形式：
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a（x-h）2+k
两根式（交点式）：y=a(x-x1)(x-x2)

究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定．　　
二、应用迁移 巩固提高
1、二次函数过A（1，0）、B（3，0）两点，它的最小值-1，求抛物线的解析式
2、抛物线对称轴x=2 ，与x轴两交点间距离为2，过点C（4，3），求抛物解析式。
3、下图是某个二次函数的图象，求出二次函数的解析式；
分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．
三、拓展升华
1.“二次函数 的图象过点M（0，3a）、C（4，3）———求证：对称轴是直线x=2” 题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据现有信息，你你能否求出题目中二次函数的 解析式？若能，写出求解过程，不能，说出理由。
（2）根据已有信息，在原题中的横线上填加适当的条件，把原题补充完整。
四、小结：
1、二次函数的三种形式；
2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质。（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)。
四、布置作业
1已知二次函数的图像过点（0,2）（1，1）（3，5)， 求此二次函数 解析式。
2已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与 x 轴两交点间的距离 为 4．求二次函数的解析式.
3已知二次函数的图象经过点 A（3，-2）和 B（1，0），且对称轴是直 线 x＝3．求这个二次函数的解析式.
4把抛物线 y=ax2+bx+c 的图像向右平移 3 个单位, 再向下平移 2 个单位, 所得图像的解析式是 y=x 2 -3x+5, 则函数的解析式为_______






第3题图





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编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第　17　个教案
课
题
2.3.1把握变量之间的依赖关系
共　1 课时
第　1 课时
课
型
新　授
教
学
目
标

１.初步学会运用二次函数解决简单的实际问题．
２.在体验将实际问题抽象成二次函数的活动过程中，培养学生分析、解决问题的能力．

重
点
难
点
重点：理解二次函数的概念，建立二次函数的模型，解决简单的实际问题．
难点：建立二次函数模型，渗透数形结合的思想．
教
学
策
略
探究、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
（一）复习引入
１.复习二次函数的解析式、图象及性质．
２.在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题．例如拱桥的跨度、拱高的计算等．
本节课，请同学们共同研究，尝试利用二次函数的有关知识解决实际问题．
（二）创设情境
问题：一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥的跨度是４.９ｍ，水面宽４ｍ 时，拱顶离水面２ｍ，如图所示．想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
（三）探究新知
引导学生思考下列问题：
（１）拱桥的纵截面是什么样的函数？(是抛物线的一段．)
（２）怎样建立直角坐标系比较简便？(以拱顶为原点，抛物线的对称轴为ｙ 轴建立直角坐标系．)
（３）如何写出抛物线的解析式？(抛物线的函数解析式ｙ＝ａｘ２ ．)
找到抛物线上的已知点Ａ 的坐标（２，－２），代入解析式，求出待定系数ａ＝－１/２.
于是得抛物线的解析式为ｙ＝－１/２ｘ２，其中｜ｘ｜是水面宽度的一半，ｙ是拱顶离水面高度的相反数．
（４）自变量ｘ 的取值范围是多少？(－２.４５≤ｘ≤２.４５．)
引导学生思考：你能求出当水面宽３ｍ 时，拱顶离水面高多少米吗？
（四）讲解例题
例　教科书Ｐ.４２ 例１．
说明：成本函数、利润函数，学生初次遇到，教师要引导学生认真理解题意，











把握变量之间的相依关系．
［解］见教科书Ｐ.４２．
（五）应用新知
如图２－７所示，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线ＡＯＢ）的薄壳屋顶，它的拱宽ＡＢ为４ｍ，拱高ＣＯ为０.８ｍ，施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
分析：以ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，以过点Ｏ的ｙ轴的垂线为ｘ轴，建立直角坐标系，求得函数关系式是：ｙ＝－０.２ｘ２ ．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．
（六）课堂小结
你能小结出从实际问题建立二次函数的步骤吗？
（七）布置作业
一、教科书Ｐ.４３练习第１，２题．
　Ｐ.４９习题Ａ 组第１，２ 题．
二、补充题：
１.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图２－８ 所示．现测得，当水面宽ＡＢ＝１.６ｍ 时，涵洞顶点与水面的距离为２.４ｍ．这时，离开水面１.５ｍ处，涵洞宽ＥＤ是多少？是否会超过１ｍ？
答案：ＥＤ＝２/5ｍ，不会超过１ ｍ．
２.某幢建筑物，从１０ｍ高的窗口Ａ向外喷水，喷出的水流呈抛物线状落下（抛物线所在平面与墙面垂直），如图所示．如果抛物线最高点Ｍ离墙水平距离为１ｍ，水流落地点Ｂ离墙３ｍ．
（１）求抛物线关系式；
（２）求水流最大高度．
答案：（１）ｙ＝(x－1)2+（２）水流最大高度为４０/3m



图２－７







图２－８







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后
反
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编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第　18 个教案
课
题
2.3.2二次函数与
一元二次方程的联系
共2 课时
第 1 课时
课
型
新　授
教
学
目
标
１．通过探索，使学生了解二次函数与一元二次方程的联系．
２．已知函数值，会求自变量的对应值．
３．会利用二次函数的图象与坐标轴的交点坐标．
重
点
难
点
重点：使学生了解二次函数与一元二次方程的联系。
难点：培养学生综合解题能力，渗透转化及数形结合的数学思想．
教
学
策
略
探究、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
（一）创设情境
出示教科书Ｐ。４３投掷铅球的示意图．
提问：（１）铅球在空中经过的路线是什么图象？
（２）建立直角坐标系，如图２－１０ 所示． 如果铅球在空中经过的抛物线解析式为ｙ＝ －１/４０ｘ２＋９/２０ｘ＋１，其中ｘ 是铅球离初始位置的水平距离，ｙ是铅球离地面的高度．你能求出铅球被扔出多远吗？
（３）当铅球离地面高度为２ｍ 时，它离初始位置的水平距离是多少？（精确到０。０１ ｍ）
（二）探究新知
师生共同分析后得出：
１．求铅球被扔出多远，即求铅球着地点Ａ 的横坐标ｘ．此时点Ａ的纵坐标ｙ＝０．
２．因为点Ａ（ｘ，０）在抛物线ｙ＝-１/４０ｘ２＋９/２０ｘ＋１上，所以有：０＝－１/４０ｘ２＋９/２０ｘ＋１．
３.解一元二次方程求得ｘ的值． 因为负根不符合实际意义，故舍去．
４.铅球离地面高度为２ｍ，即ｙ＝２，它离初始位置的水平距离即方程２＝－１４０ｘ２＋９/２０ｘ ＋１的解．
５.板书解题过程．
提问：从上面问题的解题过程中，你得到了什么启发？
学生：独立思考、分组讨论、交流．教师：鼓励学生发表意见，达成共识．
① 从“形”的方面看：二次函数ｙ＝－１/４０ｘ２＋９/２０ｘ＋１ 的图象与ｘ 轴的交点的横坐标． 即为一元二次方程－１/4０ｘ２ +９/２０ｘ＋１＝０的解．
②从“数”的方面看：当二次函数ｙ＝－１/４０ｘ２＋９/２０ｘ＋１的函数值为０时，相应的自变量的值即为一元二次方程－１/４０ｘ２＋９/２０ｘ＋１＝０的解．


图２－１０




一般地说，二次函数与一元二次方程的关系：
函数ｙ=ax2+bx+c（ａ≠０）的图象与ｘ 轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解；
当函数ｙ=ax2+bx+c的函数值为０时，相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解；
当函数ｙ=ax2+bx+c的函数值为ｍ 时，相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c＝ｍ的解．
（三）讲解例题
例１.求抛物线ｙ＝４ｘ２＋１２ｘ＋５与ｘ轴的交点的横坐标．
例２.求抛物线ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋１与ｘ 轴的交点的横坐标．
例３.抛物线ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２与ｘ轴有交点吗？
说明
（四）应用新知
1.教科书Ｐ.４７练习第１，３题．
2.补充题：
已知抛物线ｙ１＝ｘ２＋ｘ－ｋ与直线ｙ2＝-2x+1的交点的纵坐标为３．
（１）求抛物线的关系式；
（２）求抛物线ｙ＝ｘ２＋ｘ－ｋ与直线ｙ＝－２ｘ＋１的另一个交点坐标．
答案：（１）ｙ＝ｘ２＋ｘ＋３；（２）（－２，５）．
（五）课堂小结
１.二次函数与一元二次方程有何联系？
２.如何利用二次函数的图象求出一元二次方程的近似解？
３.你能根据方程ax2+bx+c=0（ａ≠０）的解的情况，来判定函数ｙ=ax2+bx+c（ａ≠０）与ｘ 轴交点的个数吗？
（六）布置作业
教科书Ｐ.４９习题Ａ组第3,4题．
　Ｐ.５０习题Ｂ组第2,3题







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后
反
思




编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第 19 个教案
课
题
2.3.2二次函数与
一元二次方程的联系
共 2 课时
第 2 课时
课
型
新 授
教
学
目
标
１．通过探索，使学生进一步了解二次函数与一元二次方程的联系．
２．会运用二次函数的图象和性质去解决实际问题．
３．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
重
点
难
点
重点：能够运用二次函数的图象和性质去解决实际问题．
难点：培养学生综合解题能力，渗透转化及数形结合的数学思想．
教
学
策
略
探究、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
一、复习引入
1、二次函数与一元二次方程的联系是什么？
①一元二次方程ax2+bx+c＝０（ａ≠０）的根抛物线ｙ=ax2+bx+c（ａ≠０）与ｘ轴交点的横坐标． ②求抛物线与ｘ轴交点的横坐标与求抛物线与ｘ轴的交点坐标的联系与区别 ③抛物线与ｘ轴交点的个数与ｂ２－４ａｃ（其中ａ，ｂ，ｃ为一元二次方程ax2+bx+c=0中各项的系数）的关系．
2、已知二次函数的函数值，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程．
反之，解一元二次方程能不能借助二次函数呢？
组织学生讨论后得出：
我们可以先画出抛物线的图象，然后找出它与ｘ轴的交点的横坐标，即得一元二次方程的解．这种解一元二次方程的方法叫作图象法．因为作图的误差，所以得出的是近似值．
二、新知探究
例1.求一元二次方程ｘ２－2ｘ－１＝０的解的近似值．
说明：解题时要准确画出图象，仔细观察分析图象，明确图象上的点的横坐标为ｘ值，纵坐标为函数中ｙ的值，方程的解是纵坐标ｙ＝０的点的横坐标的值．
例2．已知抛物线ｙ１＝2x2-8x+k+8和直线ｙ２＝ｍｘ＋１相交于点Ｐ（３，４ｍ）．
（１）求这两个函数的关系式；
（２）当ｘ取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标．
［解］（１）因为点Ｐ（３，４ｍ）在直线ｙ２＝ｍｘ＋１ 上，
所以　４ｍ＝３ｍ＋１，解得ｍ＝１．所以　ｙ２ ＝ｘ＋１，Ｐ（３，４）．
因为Ｐ（３，４）在抛物线ｙ１＝２ｘ２－８ｘ＋ｋ＋８ 上．
所以有４＝18－24＋ｋ＋８，解得ｋ＝２．所以ｙ１＝2x2-8x+10．
（２）依题意，得

y＝ｘ＋１，
ｙ＝２ｘ２－８ｘ＋１０．
解这个方程组得
ｘ１＝３， ｘ２＝１.５
{ｙ１＝４； ｙ２＝２.５．
　所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是（３，４），（１.５，２.５）．
三、课堂练习
1.教科书Ｐ.４７练习第2,4题
补充题：
２.用图象法求方程ｘ２－３ｘ－１＝０的近似解．
答案：ｘ１≈３.３，ｘ２≈－０.３０．
３.如图２－１１所示，今有网球从斜坡Ｏ 点处被击出，网球经过的路线为一条抛物线，其关系式为ｙ＝－１/２ｘ２ ＋４ｘ，斜坡ＯＡ的关系式为ｙ＝１/２ｘ，其中ｙ是铅直高度，ｘ是与Ｏ的水平距离．
（１）网球落地时撞击斜坡的落点为Ａ，写出Ａ 点的铅直高度及点Ａ与点Ｏ的水平距离；
（２）设网球所能达到的最高点为Ｂ，求出ＯＢ与水平线Ｏｘ之间夹角的正切值．
［解］（１）Ａ为抛物线ｙ＝－１/２ｘ２＋４ｘ与直线（斜坡）ｙ＝１/２ｘ 的交点，
则 ｙ＝－１/２ｘ２＋４ｘ，解这个方程组，得 ｘ１＝７， ｘ２＝０，
ｙ＝１/２ｘ． ｙ１＝７/２ ｙ２＝０
　 即交点Ａ(７，７/２) ∴ Ａ 点的铅直高度为７/２ｍ，它到Ｏ点的水平距离为７ｍ．
（２）配方得ｙ＝－１/２ｘ２＋４ｘ＝-1/2(x-4)2+8
∴ Ｂ(４，８），tan∠ＢＯｘ＝８/４＝２．
（四）布置作业
教科书Ｐ.４９习题Ａ组第5题． 　
Ｐ.49习题Ｂ组第4题．




















图２－１１

课
后
反
思



编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第　20 　个教案
课
题
2.3.3优化问题（1）
共　2 课时
第　1 课时
课
型
新　授
教
学
目
标
１.会运用配方法将ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）变形为ｙ＝ａｘ－ｈ）２＋ｋ的形式．
２．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，使实际问题获得最优决策．
重
点
难
点
重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思．
难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策．
教
学
策
略
讲解、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
（一）复习引入
用配方法把下列二次函数化成ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ的形式．
①ｙ＝-2x2+8x-12；②ｙ＝－2x2＋100ｘ;③ｙ＝－１/２ｘ２＋ｘ－５/２．
（二）创设情境
最大面积问题，最大利润问题是实际生活中常见的问题． 例如：
问题一　学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园． 如图所示．现在已备足可以砌100m长的墙的材料，怎样砌法，才能使矩形植物园的面积最大？
问题二　某商场将进货单价为１８元的商品，按每件２０元销售，每天可销售100件．如果每提价１元（每件），日销售量就要减少10件，那么该商品的售出价格为多少时，才能使每日获得利润最大？最大利润为多少？
本节课，我们就探究如何利用二次函数的相关知识来解决这类优化问题．
（三）探究新知
１.对于问题１，先进行自主分析，再小组讨论、交流．
分析：从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际问题．板书解题过程，详见教科书Ｐ.４８．
２.问题２,让一学生在黑板上板书其解答过程，师生共同评析．
［解］设该商品的定价为ｘ 元，每天获得利润为ｙ元．
根据题意，得　ｙ＝(ｘ－18）［100－(ｘ －20）×10］，
　　　　　即　ｙ＝－10ｘ２＋480ｘ－5400＝－10（ｘ－24）2＋360．
所以当该商品的售出价格定为每件24元时，才能使每天获得最大利润．最大利润为360元．
（四）应用新知
利用投影仪出示题目:如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度a=10ｍ）．
（１）如果所围成的花圃的面积为45ｍ２，试求宽ＡＢ的长；
（２）按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请

求出最大面积，并说明围法．如果不能，请说明理由．
先让学生独立思考完成，再用投影仪展示学生的解题过程，师生评析．
［解］ （１）设花圃的宽ＡＢ＝ｘｍ，则长ＢＣ为（24-3ｘ）ｍ，面积ｙ＝ｘ（24-3ｘ）＝－3x2＋２４ｘ．
当ｙ＝45时，得ｘ２－8x＋15＝０，解得ｘ1＝３，ｘ2＝５．
若ｘ1＝３，ＢＣ＝24－3×3＝15＞10，不合题意，舍去．
若ｘ2＝５，ＢＣ＝24－3×5＝９． 故ＡＢ的长为５ｍ．
（２）能围成面积比45m2更大的矩形花圃．
由（1）知y=－3x2＋２４ｘ＝－３(ｘ－４）2＋48．∵０＜24-3ｘ≤１０，∴ １４/３ ≤ｘ ＜８．由抛物线知，当ｘ＜４ 时，ｙ随ｘ的增大而增大；当ｘ＞４ 时ｙ随ｘ的增大而减小．
∴ 当ｘ＝14/３ 时，ｙ=－３(ｘ－４）2＋48有最大值．且最大值为ｙ＝-3×(14/3-4)2+48=46（ｍ２）．此时ＡＢ＝１４/３ ｍ，ＢＣ＝10ｍ，即围成长为10ｍ，宽为14/３ｍ 的矩形面积最大．
说明：学生容易犯的错误是认为当ｘ＝４时，有最大面积为48ｍ２，忽略了ｘ的取值范围．
（五）课堂小结
让学生谈谈，通过本节课的学习，有哪些体验，如何将实际问题转化为二次函数问题．从而利用二次函数的性质解决最大利润问题、最大面积问题等．


课
后
反
思






编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第 21 个教案
课
题
2.3.3优化问题（2）
共 2 课时
第 2 课时
课
型
新 授
教
学
目
标
利用二次函数的知识分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，使实际问题获得最优决策．
重
点
难
点
重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思．
难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策．
教
学
策
略
讲解、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
一、引入新课
优化问题实际上就是把实际问题转化为二次函数模型，利用函数的性质进行决策．
二、探究练习
1、启明公司生产某种产品，每件产品成本是３元，售价为４元，年销售量10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是ｘ（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的ｙ倍，且ｙ＝－x2/10＋7x/10＋7/10．如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费．
（１）试写出年利润Ｓ（万元）与广告费ｘ（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？
（２）把（１）中的最大利润留出３万元做广告，其余的资金投资新项目．现有６个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．
项　　目
A
B
C
D
E
F
每股（万元）
5
2
6
4
6
8
收益（万元）
0.55
0.4
0.6
0.5
0.9
1
［解］（１）Ｓ＝(４－３）×10ｙ-ｘ＝１０(－x2/10＋7x/10＋7/10)-ｘ＝－ｘ２＋６ｘ＋７＝－(ｘ－３)2＋１６．当广告费为３万元时，公司获得的年利润最大，是１６万元．
（２）用于再投资的资金是１６－３＝１３（万元）．从投资收益额来看，只选一项或只选两项的收益额都小于１.６ 万元，所以至少要选３项；从投资方面来看，选四项的话最少也要17万元，所以不能选四项，只能选三项这样只有两种投资方式符合要求．
第一种是取Ａ、Ｂ、Ｅ 各一股，投入资金为５＋２＋６＝13（万元），收益为０.55＋０.4 ＋０.９＝１.８５(万元）＞１.６（万元）．

第二种是取Ｂ、Ｄ、Ｅ 各一股，投入资金为２＋４＋６＝12（万元）＜13（万元），收益为０.４＋０.５＋０.９＝１.８（万元）＞１.６（万元）．
说明：（１）利润＝总收入－总成本－广告费．
或总利润＝ 每件利润×销售件数－广告费．
（２）用排除法，将选一项、两项、四项的排除，从选三项中分析使解题范围逐渐缩小．
2.某广告公司设计一幅周长为12ｍ的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为ｘｍ，面积为Ｓｍ２ ．
（１）求出Ｓ与ｘ之间的函数关系式；
（２）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用．
２.某公司生产的Ａ种产品，它的成本是２元，售价为３元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是ｘ万元时，产品的年销售量将是原销售量的ｙ倍，且ｙ＝－１/１０ｘ２＋３/５ｘ＋１，如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费．
１）试写出年利润Ｓ（万元）与广告费ｘ（万元）的函数关系式．
２）如果投入广告费为１～３万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
３）在1）中，投入的广告费为多少万元时，公司获年利润最大？是多少？
答案１(１）由矩形面积公式易得出Ｓ＝ｘ·（６－ｘ）＝－ｘ２＋６ｘ．
（２）由Ｓ＝－ｘ２＋６ｘ＝－（ｘ －３）２＋９，知当ｘ＝３ 时，即此矩形为边长为３的正方形时，面积最大，最大值为９ｍ２ ．因而相应的广告费也最多，为９×1000＝9000 元．
２(１）∵ 年销售量为10万件，当投入ｘ万元的广告费后，年销售应为10ｙ（万件），即10(－１/１０ｘ２＋３/５ｘ＋１)万件． 从而有：
Ｓ＝10(－１/１０ｘ２＋３/５ｘ＋１)×(3-2)－ｘ＝－ｘ２＋５ｘ＋１０．
（２）∵ Ｓ＝－ｘ２＋５ｘ＋１０＝-（x-5/2）2+65/4
∴ 当ｘ＝５/２时，Ｓ 能取得最大值．故当广告费在１万元至２.５万元时，公司获得的年利润随广告费的增大而增大．
（３）当ｘ＝５/２时，Ｓ的最大值为65/4万元．
即当广告费为２.５ 万元时，利润最大值为16.25万元．
三、布置作业
教科书Ｐ.48练习，Ｐ.52习题Ａ组7，Ｐ.53习题Ｂ组6



课
后
反
思




编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第　22 个教案
课
题
小结与复习（一）
共　2 课时
第　1 课时
课
型
复习
教
学
目
标
１．通过对本章知识的梳理，使学生深刻理解二次函数的概念、图象与性质．
２．能灵活运用二次函数的概念与性质解决有关数学问题．
３．进一步了解本章内容中蕴含的数学思想与方法在解决问题时的作用，提高学生分析
问题、解决问题的能力．
重
点
难
点
重点：二次函数的概念、图象与性质．
难点：二次函数图象与性质的运用．
教
学
策
略
练习
教　学　活　动
课前、课中反思
（一）复习引入
１．学生自学教科书Ｐ。５０“小结与复习”中的内容提要．
２．归纳：
（１）二次函数的图象都是抛物线．
（２）画二次函数ｙ=ax2+bx+c图象的步骤：
①配方，写成ｙ=a（x-h）2+k的形式；
②写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点．
③列表（自变量ｘ从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分．
④利用对称性描出对称轴左边的对应点，连线．
３.抛物线ｙ=ax2+bx+c（a≠0）的特征与系数a,b,c的关系：
（１）a决定抛物线开口方向：ａ＞０，开口向上；ａ＜０，开口向下．
（２）a,b决定对称轴位置：a,b同号，对称轴在ｙ轴左侧；a,b异号，对称轴在ｙ轴右侧．
（３）ｃ决定抛物线与ｙ轴交点位置：ｃ＞０，交点在ｙ轴正半轴上；ｃ＝０，交点在原点；ｃ＜０，交点在ｙ轴负半轴上．
（４）抛物线与横轴交点个数由b2-4ac确定：b2-4ac＞0有两个不同的交点；b2-4ac＝０，有两个重合的交点；b2-4ac＜０，没有交点．
（二）讲解例题
１.举例复习二次函数的概念及二次函数ｙ=ａｘ２(ａ≠０）的图象与性质．
例１ 已知函数ｙ＝（ｍ＋２）ｘｍ２＋ｍ－４是关于ｘ的二次函数，求：
（１）满足条件的ｍ值；
（２）ｍ为何值时，函数有最小值？最小值是什么？这时当ｘ为何值时，ｙ随ｘ增大而增大？
（３）ｍ为何值时，函数有最大值？最大值是什么？这时当ｘ为何值时，ｙ随ｘ增大而减小？















例1图

【（１）ｍ＝２ 或ｍ＝－３（２）ｍ＝２．ｘ＞０
（３）ｍ＝－３．ｘ＞０ 】
２.用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律．
例２ 用配方法求出抛物线ｙ＝－３ｘ２ －６ｘ＋８的顶点坐标、对称轴.说明通过怎样的手段，可得到ｙ＝－３ｘ２ ．
（三）应用新知
如图２ －１５，已知直线ＡＢ经过ｘ轴上的点Ａ（２，０），且与抛物线ｙ＝ａｘ２ 相交于Ｂ，Ｃ 两点，已知Ｂ点坐标为（１，１）．
（１）求直线和抛物线的解析式；
（２）如果Ｄ为抛物线上一点，使得△ＡＯＤ 与△ＯＢＣ 的面积相等，求Ｄ点坐标．
［解］（１）直线ｙ＝－ｘ＋２．抛物线ｙ＝ｘ２ ．
（２）Ｄ(-,３）或（，３）．
布置作业
一、教科书Ｐ.５１复习题二Ａ组第3,4,5,6题．Ｂ 组第1,4题．
二、补充题：
１.已知二次函数ｙ=ax2+bx+c的图象经过一次函数ｙ＝－３/２ｘ＋３的图象与ｘ轴、ｙ轴的交点，且过（１，１），求这个二次函数解析式，并把它化为ｙ＝ａ（x-h）2＋ｋ的形式．
２.已知二次函数ｙ＝２x2－(ｍ ＋１）ｘ＋ｍ－１．
（１）求证：不论ｍ为何值，函数图象与ｘ轴总有交点．并指出ｍ为何值时，只有一个交点；
（２）当ｍ为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与ｘ轴的另一个交点；
（３）若函数图象的顶点在第四象限，求ｍ的取值范围．












图２ －１５



课
后
反
思




编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第　23 个教案
课
题
小结与复习（二）
共　2 课时
第　2 课时
课
型
新　授
教
学
目
标
１.通过复习使学生掌握二次函数模型的建立，能灵活运用二次函数的相关知识来解决
实际问题．
２．提高学生运用数学思维方法分析问题，解决问题的能力．
重
点
难
点
重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思．
难点：建立二次函数模型解决实际问题．
教
学
策
略
讲解、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
（一）复习引入
１．一次函数图象的特征和性质．
２．二次函数图象的特征和性质．
３．学生阅读教科书Ｐ５１—— “二、二次函数的应用”．
本节课我们复习如何建立恰当的二次函数模型，将实际问题转化为二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题，最大面积等问题．
（二）讲解例题
１．何时获得最大利润问题．
例１ 某公司试销一种成本单价为５００ 元／件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于８００ 元／件，经试销调查，发现销售量ｙ（件）与销售单价ｘ元／件）可近似看作一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的关系，如图所示．
（１）根据图象，求一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的表达式；
（２）设公司获得的毛利润（毛利润＝ 销售总价－成本总价）为Ｓ元．
①试用销售单价ｘ 表示毛利润Ｓ；
②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
分析：从实际问题中抽象出函数的模型，借助函数性质来解决这类实际问题．
［解］（１）由图象知直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ过（６００，４００），（７００，３００）两点，代入可求得解析式为ｙ＝－ｘ＋１０００．
（２）由毛利润Ｓ＝ 销售总价－成本总价，可得Ｓ 与ｘ 的关系式
Ｓ＝ｘｙ－５００ｙ＝ｘ·（－ｘ＋１０００）－５００（－ｘ＋１０００）
＝－ｘ２＋1500ｘ－500000＝－（ｘ－750）２＋62500，500＜ｘ＜800．
所以，当销售定价为750元／件时，获最大利润为62500元．
此时，ｙ＝－ｘ＋1000＝－750＋1000＝２５０，即此时销售量为２５０ 件．
２．如何得到最大面积问题．
例２ 用６ｍ长的铝合金型材做一个形状如图２－１７所示的矩形窗框． 应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？











分析：先思考解决以下问题：
（１）若设做成的窗框的宽为ｘｍ，则长为多少？
（２）根据实际情况，ｘ有没有限制？若有限制，请指出它的取值范围，并说明理由．让学生讨论、交流、达成共识．根据实际情况，应有
ｘ ＞０，
（６－３ｘ）/２＞０．解这个不等式组，得到ｘ 的取值范围是０＜ｘ＜２．
（３）你能说出面积ｙ与ｘ的函数关系式吗？
　　ｙ＝ｘ·(６－３ｘ)/２ ，即ｙ＝－３/２ｘ２ ＋３ｘ，０＜ｘ＜２．
最后板书具体解题过程如下：
［解］设做成的窗框的宽为ｘｍ，则长为(６－３ｘ)２ｍ． 这里
ｘ ＞０，
（６－３ｘ）/２＞０ ,０＜ｘ＜２．
ｙ与ｘ的函数关系式是　ｙ＝－３/２ｘ２ ＋３ｘ＝－３/２(x-1)2+3/2 ,０＜ｘ＜２．
所以当ｘ＝１时，函数取得最大值ｙ＝1.5，这时（６－３ｘ）/２＝１.５．
答：应做成宽１ｍ，长１.５ｍ的矩形窗框，才能使透光面积最大，最大面积是１.５ｍ２ ．
（三）思考与拓展: 探究题　见教科书Ｐ.５３Ｃ组题．
（四）课堂小结
引导学生小结将实际问题转化为二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决优化问题的过程．
（五）布置作业：
１.填空
（１）二次函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ－５ 取最小值时，自变量ｘ的值是________；
（２）已知二次函数ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍ的最小值为１，那么ｍ的值是_____．
２.如图２－１８所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙． 如果要用５０ｍ长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设靠墙的篱笆长为ｘｍ．
（１）要使养鸡场的面积最大，养鸡场的长应为多少米？
（２）如果中间有ｎ（ｎ＞１的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？
（３）比较（１）、（２）的结果，你能得到什么结论？
３.某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加５元，则每天客房出租会减少６间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少？









作业答案：
１.（１）ｘ ＝ －１；（２）ｍ ＝１０
２.（１）Ｓ＝
－１/３（ｘ－25）２ +625/3 ． 当ｘ=25时，Ｓ最大＝625/３ ，所以养鸡场长应为２５ｍ．
（２）Ｓ＝ｘ·(50－ｘ)/(ｎ＋２) ＝－（ｘ－25）2/(n+2)＋625/（n+2）．当ｘ＝25时，Ｓ最大＝625/(ｎ＋２)． 所以，要使养鸡场面积最大，养鸡场的长应为２５ ｍ
３.设每间客房日租金提高５ｘ元，则出租数减少６ｘ间，依题意，得：ｙ＝50＋5x）(120－6x）＝－30(ｘ－５）2+6750所以，当ｘ＝５时，ｙ最大＝6750（元）这时每间客房日租金为５×５＋50＝75（元），收入增加6750－120×50＝750元）
课
后
反
思

编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。 总序第24　个教案
课
题
课题学习：数学建模
共　1 课时
第　1 课时
课
型
新　授
教
学
目
标
１．经历“问题解决”的全过程，了解“数学建模”的过程．
２．了解“数学结果”与“实际结果”的差异．
３．获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．
重
点
难
点

重点：经历数学建模的全过程．
难点：将实际问题抽象成数学问题．
教
学
策
略
启发、探究、练习
教　学　活　动
课前、课中反思
（一）创设情境
同学们假期出去旅游过吗？你所乘坐的火车或汽车有没有经过隧道？隧道的纵截面由什么图形构成？车辆的高度和宽度与隧道的高度和宽度有怎么样的大小关系？
（二）探究新知（以小组讨论、交流、合作的形式进行探究．）
１．议一议
同学们已经初步经历过运用所学的数学知识解决实际问题，在前面的二次函数应用中，许多实际问题，我们都是建立二次函数模型来解决的． 如一条双行线公路上有一个隧道（出示教科书Ｐ。54的实物投影图），通过这个隧道的车辆高度要不要有所限制？这个限制高度怎样确定？要解决这个问题，需要实地考察哪些情况，收集一些什么样的数据？
２．想一想
假如已经测量了一些数据，并收集了如下的一些有关信息．
（１）隧道纵截面由一个矩形和一抛物线构成．
（２）隧道内路面的总宽度为８ｍ，双行车道宽度为６ｍ，隧道顶部最高处距路面６ｍ，矩形的高为２ｍ；
（３）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要0.5ｍ．
你们打算怎样将这实际问题数学化，运用所学知识解决这个问题呢？
３.做一做（学生动手，老师引导点拨）
同学们通过讨论已经知道要怎样将实际问题抽象成数学问题，怎样建立直角坐标，怎样建立二次函数模型了，下面以学习小组为单位，分工合作，集体解决这个数学问题．
（１）画出隧道的截面图． （将实物图抽象成数学图）
（２）建立直角坐标系．设双行道的两个端点分别为Ａ，Ｂ，以ＡＢ为ｘ轴的正方向，ＡＢ的中点为原点建立直角坐标，如图所示















（３）求解．
抛物线顶点为（０，６），由此可设抛物线为ｙ＝ax2+6，－４≤ｘ≤４．
又因为抛物线过点（４，２）． 所以２＝１６ａ＋６． ∴ ａ＝－１/４．这样，所求的抛物线为ｙ＝－１/４ｘ２＋６．
（４）将“数学结果”转化为“实际结果”．
令ｘ＝３，求得ｙ＝３.75． 　３.75－０.5＝３.25．
提醒同学们注意：接下来如何对数据进行处理？
最后确定：把通过隧道的车辆限制高度定为３.2m．
４.评一评
收集各小组的解题方法，投影出来让大家评比，看哪个小组的解法最清楚简便，哪个小组还存在一些问题，并且评价各小组交流讨论的互动情况，要求只要对于“数学建模”过程有体验就好，结果错了可以更正．
５.说一说（让同学们充分发表意见）
（１）什么是数学建模？
（２）你获得了哪些研究问题的方法和经验？
将一个实际问题用所学的数学知识加以抽象概括，建立数学模型，这就是数学建模． 数学建模的全过程可以用框图说明：
抽象、概括、数学化 求解数学问题
实际问题------------------→数学问题-------------→
结合实际加以检验
数学结果----------------→实际结果
（三）讲解例题
例　今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资． 已知空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线的顶点在机舱口Ａ处，如图２－２０所示．
（１）如果空投物资离开Ａ 处后下落的垂直高度AB＝160ｍ 时，它到Ａ处的水平距离为BC＝200ｍ，那么要使飞机在垂直高度AO＝1000ｍ 的高空进行空投，物资恰好准确落在Ｐ处，飞机到Ｐ处的水平距离ＯＰ应为多少米？
（２）如果根据空投时的实际风力和风向测算，当空投物资离开Ａ处的垂直距离为160ｍ时，它到Ａ 处的水平距离为400ｍ，要使飞机仍在（１）中Ｏ点的正上方空投，且使空投物资准确地落在Ｐ处，那么飞机空投的高度应调整为多少米？
（五）课堂小结
请同学们说说，这节课有什么收获和体会或有什么疑难．
布置作业:教科书Ｐ.５６“练一练”中第１，２ 题．























图２－２０
课
后
反
思