2021学年4.1 几何图形教案及反思

4.1  多彩的几何图形名师导航

知识梳理

1.在我们生活的大千世界中，我们熟悉的几何体有________________________(至少写出5种).

2.几何图形是由_________、_________、_________组成的，面与面相交得到_________，线与线相交得到_________，面有_________面和_________面，线有_________线和________线.

3.我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的平面图形，我们把从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫做俯视图.圆柱、球的俯视图分别是__________、__________.

4.了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图.(1)棱柱的侧面展开图是__________；圆柱的侧面展开图是__________；圆锥的侧面展开图是__________.

5.一个正多面体的面数f、棱数e、顶点数v之间存在的关系式是f+v-e=2.

    本节所介绍的常见几何体，以及体、面、线、点等概念，重在直观感知，不要记忆概念的形式化表述.

    观察实物、动手操作、与同伴交流是理解几何体与其展开图、三视图之间的互相转换关系的必经途径.同时经历折叠和模型制作等数学活动，可以帮助我们积累数学活动经验，感受平面图形与立体图形的关系，发展空间观念.

    关系式：f+v-e=2，就是欧拉公式，我们知道多面体的面数f、棱数e、顶点数v中的任意两个量，可以求出第三个量.

疑难突破

1.点、线、面、体等概念及相互关系的理解与认识

剖析：对有关概念与图形的认识，重在直观感知，不追求概念的形式化表述，目的是避免几何起始章要求的无意拔高与复杂化，可借助实物体或模型去认识理解.

    生活中的立体图形其实都是由最基本的几何图形组成的，其中线是由点组成，面是由线构成，体是由面围成，这也就是我们常说的“点动成线，线动成面，面动成体”.生活中这样的实例也很多，如下雨时的雨滴，汽车上的雨刷，取药时注射器中的液体，都可以帮助我们理解本节知识.

    生活中的立体图形在很多时候都需要把它转化为平面图形，这种转化我们常常通过立体图形的展开图或从不同方向看，得到它的平面图形.要掌握这种转化，必须通过实物的观察和拆折.

2.常见几何体的识别，以及平面图形与立体图形之间的联系

剖析：根据模型，通过观察、比较、讨论、探索，归纳图形的主要特征与区别，可以认识几何体，如圆柱和棱柱的相同点与不同点.相同点：圆柱和棱柱都是由两个形状相同的底面构成，都给人一种直立的感觉.不同点：圆柱的两个底面是圆形，而棱柱的底面是多边形.圆柱的侧面只有一个是曲面，而棱柱的侧面是由几个平面组成的.通过描述可以清楚地认识这两种几何体.

问题探究

问题 将一个正方体的纸盒沿某些棱剪开，最少要剪开几条棱？为什么？剪开后能展成哪些平面图形？

探究：由于正方体共有6个面，展开后至少需要5条棱相连，所以至少要剪开12-5=7条棱；或者这样去思考：正方体所有的展开图边缘至少有14条棱，所以剪开14÷2=7条棱.对于正方体的展开图有哪些情况，我们可以从正方体展开后6个面的排列位置去探究，显然可以首先排除一行(列)有6或5个面的展开情形.

(1)当一行(列)面数是4时，有下面6种情形(注意对称性).

(2)当一行(列)面数是3时，有下面4种情形(注意对称性).

(3)当一行(列)面数是2时，仅有1种情形.

    所以共有11种不同形式.

    几何体与其展开图之间的互相转换关系，不仅是一个思考过程，也是一个实际操作过程.在这个过程中，都要重现感知过的平面图形或空间图形，尤其是正方体的展开与折叠可以提高我们的空间想象能力.如本题还可按如下方法分类探究正方体的平面展开图.

    第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种.

    第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种.

    第三类，中间二连方，两侧各有两个，只有一种.

    第四类，两排各三个，只有一种.

典题精讲

例1在下面四个物体中，最接近圆柱的是(    )

解析：课本中给出了圆柱的图形如图，应和它们对照.

    可以看出，圆柱是“直”的，与弯管有明显区别.D中的饮料瓶的盖确实可以看作是圆柱，但它在该物中只占很小的一部分，该物体从整体上讲更接近于棱柱.烟囱上下粗细不同，不像课本中的图形那样.

答案：C

黑色陷阱：本题中的C选项，因为太“扁”了，而且不是水平放置的，给我们作出正确判断增加了障碍，容易被认为是最不像圆柱的，而首先被排除.不过，作为柱体的本质特征之一是“粗细”处处相同，而与高、矮(长与短)无关.在空间想象能力尚不强的情况下，以观察实物代替观察绘制的图形，并注意观察图形的本质特征是解决本类题目的最好办法.

变式训练  (2005浙江模拟) 下列空间图形中是圆柱的为(    )

答案：A

例2 画出如图所示物体的三视图.图中箭头表示画正视图时的观察方向.

解析：按箭头所示方向观察这个物体时，只能看到这个物体上用阴影表示的两个面.它们都是长方形，但长、高及大小都不相同.两个长方形之间没有空隙，所以正视图是由两个长方形组成的，二者是互相连接的，一个在上，一个在下.左视图也是一上一下两个长方形组成的，二者左侧对齐.俯视图是由上向下看到的两个长方形，较小的一个在另一个的内部，且有一条边在较大的长方形的边上.

答案：

绿色通道：初学者必须注意的一件事是：苦思苦想不如亲身实践，即观察实物.就此题而言，用两个一大一小的纸盒(太小了不利于观察，形状比较接近于图中的长方体更好)，按图所示的情况摆好并进行观察，这是很容易办到的事情.实在没有纸盒、木块等，在一块砖上适当立半块砖也可以.总之，要在实践中提高观察力和空间想象力.

变式训练  图中①表示的是组合在一起的模块，在②③④⑤四个图形中，是这个模块的俯视图的是(    )

A.②                  B.③                  C.④                  D.⑤

答案：A

例3 下图是正方体纸盒的展开图，请把-10，8，10，-8，-2，2分别填入六个不同的正方形中，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数.(填写出一种方案即可)

解析：为便于表述与思考，将每个小正方形写上字母，得右图.

    a，b，c，d四个小正方形呈“一”字形连在一起，可见它们是正方体的四个侧面，而e与f则是正方体的上、下底面.上、下底面是相对的.侧面中相对的面在展开图中隔着另一个侧面，所以写着a与c，b与d的面，分别是相对的面.在每两个相对的面中填入一组题目提供的相反数.

答案：如图所示.

绿色通道：想象立体图形的展开图是件不太容易的事情.防止错误的最好办法是在观察实物和自己动手操作的过程中，经历和体验图形的变化过程.就本题而言，把你画的图剪下来，折叠成模型，既简便易行，又能验证你填写得是否正确.

变式训练1  (2005江苏扬州模拟) 小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是(    )

答案：A

变式训练2  如图所示，假定用A、B表示正方体相邻的两个面，用字母C表示与A相对的面，请在下面的正方体展开图中填写相应的字母.

答案：