华师大版九年级上册2. 积的算术平方根课时作业

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一、单选题
1．（四川泸州市·）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
试题解析：∵S=，
∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S==.
故选B．
考点：二次根式的应用.
2．（2020·海南海口市·琼山中学九年级月考）已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先把二次根式进行化简，然后由算术平方根的定义，即可求出答案．
【详解】解：∵，
又∵是整数，
∴是完全平方数，
∴正整数n的最小值为3；
故选：C．
【点睛】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
3．（2018·全国）某校研究性学习小组在学习二次根式=|a|之后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A．在a＞1的条件下化简代数式a+的结果为2a-1
B．当a+的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
C．a+的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为
D．若=（）2，则字母a必须满足a≥1
【答案】C
【解析】A选项：原式=a+ =a+|a-1|当a＞1时，原式=a+a-1=2a-1，故A正确，与题意不相符；
B．原式=a+=a+|a-1|，当a≤1时，原式=a+|a-1|=a+1-a=1，故B正确，与题意不相符；
C．当a＞1时，原式=2a-1＞1；当a≤1时，原式=1，故C错误，与题意相符；
D．由＝()2（a≥0），可知D正确，与题意不相符．
故选C．
【点睛】本题主要考查的是化简和绝对值的性质，掌握＝｜a｜|以及绝对值的性质是解题的关键．
4．（2019·全国单元测试）甲、乙两人对题目“化简并求值：+，其中a=”有不同的解答.
甲的解答是：+=+=+-a=-a=；
乙的解答是：+=+=+a-=a=.
在两人的解法中（ ）
A．甲正确B．乙正确C．都不正确D．无法确定
【答案】A
【分析】先利用完全平方公式变形得到原式再利用二次根式的性质得到原式 然后根据a的值去绝对值，合并即可．
【详解】
原式
∵
∴
∴原式
故选A.
【点睛】考查二次根式的化简求值，熟练掌握是解题的关键.
5．（2020·广西钦州市·期末）如果实数，满足，那么点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第一象限或坐标轴上D．第二象限或坐标轴上
【答案】D
【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴．
【详解】解：∵，
∴x、y异号，且y>0，
∴x<0，或者x、y中有一个为0或均为0．
∴那么点在第二象限或坐标轴上．
故选：D．
【点睛】根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定a、b的取值范围，从而确定点的坐标位置．
6．（2020·渠县树德文武学校月考）若，化简二次根式的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据ab小于0，得到a与b异号，根据所求式子中的被开方数是非负数，得到b小于0，a大于0，化简即可．
【详解】解：∵ab＜0, -a²b³＞0
∴a＞0,b＜0,
则原式=
故选：D
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
7．（2019·全国）已知：如果二次根式是整数，那么正整数n的最小值是（ ）
A．1B．4C．7D．28
【答案】C
【分析】先将化为最简二次根式，然后根据是整数可得出n的最小值．
【详解】=2，
又∵是整数，
∴n的最小值为7．
故选C．
【点睛】此题考查了二次根式的知识，解答本题的关键是将化为最简二次根式，难度一般．
8．（2019年湖北省宜昌市中考数学试题）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积；
【详解】，，．
，
的面积；
故选A．
【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
9．如果实数满足，那么点在( ).
A．第一象限B．第二象限
C．第二象限或坐标轴上D．第四象限或坐标轴上
【答案】C
【详解】根据二次根式的性质，由实数a、b满足，可求得a、b异号，且b＞0；故a＜0，或者a、b中有一个为0或均为0．于是点（a，b）在第二象限或坐标轴上．
故选C．
点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是根据二次根式的化简，判断出a、b的符号，然后确定其在平面直角坐标系中的位置.
10．（湖北省孝感市孝南区肖港初级中学、三汊中学月考数学试题）若是整数，刚正整数n的最小值是( )
A．3B．7C．21D．189
【答案】C
【详解】解：∵189=32×21，∴要使是整数，n的最小正整数为21．故选C．
11．（陕西省西安市碑林区铁一中学月考数学试题）已知=a，=b，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含ab的形式．
【详解】
．
∵a，b，∴原式．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及积的算术平方根的性质．积的算术平方根的性质：•（a≥0，b≥0）．
12．（【全国区级联考】上海市金山区期末考试数学试卷）下列运算一定正确的是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．
【详解】A．=|a|，故此选项错误；
B．若=成立，则a，b均为非负数，故此选项错误；
C．a2•b2=（a•b）2，正确；
D．=（a≥0），故此选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
13．（2019·湖南永州市·八年级期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为S＝.已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为（ ）．
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】根据材料中公式将1，2，代入计算即可．
【详解】解：∵△ABC的三边长分别为1，2，，
∴S△ABC==1
故选A．
【点睛】此题考查的是根据材料中的公式计算三角形的面积，掌握三斜求积公式是解决此题的关键．
14．（2019·安徽滁州市·定远县第一初级中学）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题．中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若 一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为5，6，7的面积，从而可以解答本题．
【详解】
∵S=
∴若一个三角形的三边长分别为5，6，7，
则面积是：S=，
故选A.
【点睛】此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简.
15．（2020·山西晋中市·月考）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加， 就成为了一个面积为的正方形，则原长方形纸片的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用算术平方根算出正方形的边长，进而求出原长方形的长和宽，再列式计算即可得出答案．
【详解】∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为（cm），
∴原长方形的长为：（cm），宽为：（cm），
∴原长方形的面积为：（cm2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根，二次根式的计算，掌握算术平方根的定义及二次根式的运算法则是解题关键．
16．（2021·重庆一中八年级月考）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S＝（其中a、b、c为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝，对角线BD＝，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件的公式计算即可；
【详解】根据题意可知：a＝，b＝，c＝，
∴S＝，
＝，
，
，
，
∴，
∴；
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键．
17．（四川泸州市·中考真题）已知三角形的三边长分别为，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入的研究，故希腊的几何学甲海伦给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式，若一个三角形的三边分别为，其面积是
（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
试题分析：由题意可得 ,根据海伦公式可得 ,故选B.
18．（2019·全国）观察下列等式：①；②；③.根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
====，
故选D.
点睛：本题属于探索规律型，主要考查学生的观察及学习能力，并根据观察总结规律的能力.
19．（2020·湖北随州市·九年级学业考试）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解．
【详解】；
；
；
，
所以．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质（等）．
20．（2019·湖北襄阳市·襄阳七中）已知a＜b,化简二次根式的正确结果是( )
A．B．C．D．．
【答案】A
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定a、b的取值范围，也就易求二次根式的值．
【详解】∵有意义，∴﹣a3b≥0，∴a3b≤0．
又∵a＜b，∴a＜0，b≥0，∴．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数．
21．（2020·浙江杭州市·期中）将化简，正确的结果是（ ）
A．B．±C．D．±
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】＝＝，
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（2019·全国八年级单元测试）已知n是一个不为零的整数，12n是一个整数，则n的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先化简12n，然后根据化简结果为整数确定n的值即可.
【详解】解：12n=23n，因为12n是一个整数，即23n是一个整数，所以n最小为3.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简，解题的关键是先把12n化简成23n，然后由3n≥0且3n是一个完全平方数来确定n的最小值.
二、填空题
23．（2020·隆昌市知行中学）如果式子（）成立，则有．请按此性质化简，使被开方数不含完全平方的因数：=______，=______．
【答案】
【分析】先对式子变形，，即可求出值．
【详解】解：∵（a≥0，b≥0）成立，
则有，
,
故答案为：； .
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，在解题时要能灵活应用二次根式的性质进行化简．
24．（2019·安徽九年级专题练习）判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）：
（1）．（______）
（2）．（______）
（3）．（______）
（4）．（______）
（5）．（______）
【答案】× × √ √ √
25．（【全国校级联考】湖南省常德市澧县2018届九年级中考数学三模试卷）计算下列各式的值： =___； =____； =__；……观察所得结果，尝试发现蕴含在其中的规律，由此可得=____．
【答案】10 102 103 102018
【分析】先计算得到 =10， =102， =103，计算的结果都是10的整数次幂,且这个指数的大小与被开方数中每个数中9的个数相同,即可得出规律.
【详解】
∵==10；
==100=102；
=1000=103；
……；
∴=102018．
故答案为10；102；103；102018．
【点睛】本题考查了数字类规律与探究，二次根式的性质与化简，完全平方公式的应用，经观察被开方式可变为完全平方公式是解答本题的关键.
26．（2019·辽宁沈阳市·）已知a＜b，化简二次根式的结果是______．
【答案】-a
【分析】直接利用二次根式的性质得出a，b的符号，进而化简即可．
【详解】∵a＜b，有意义，∴a＜0，b≤0，∴．
故答案为﹣a．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题的关键．
三、解答题
27．（2019·淄博市临淄区第一中学）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为： ①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积．）而古希腊也有求三角形面积的海伦公式：，② (其中．) 若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S.
【答案】;.
【分析】直接利用已知公式将相关数据代入得出答案；
【详解】 ．
又．
所以
【点睛】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．