初中华师大版1. 成比例线段课时练习

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一、单选题
1．（2021·全国九年级专题练习）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2017·全国九年级课时练习）若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为( )
A．3 cmB．±3 cmC．±18 cmD．18 cm
3．（2017·全国九年级课时练习）如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )
A．B．C．±D．
4．（2019·北京市房山区石窝中学）如图，是线段的黄金分割点，四边形、四边形都是正方形，且面积分别为、，四边形、四边形都是矩形，且面积分别为、，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2019·上海九年级月考）如果线段b是线段a，c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2019·广东茂名·九年级期中）如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·贵州毕节市·九年级）已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·山西）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
A．B．C．D．
9．（2020·浙江）著名画家达·芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中，，连结，得到4个全等的四边形，四边形，四边形，四边形．分别交，于点M，N，若，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（2019·广西）如图，在正方形中，点是对角线的中点，是线段上的动点（不与点，重合），交于点，于点．则对于下列结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．（2020·江苏）如图，在△ABC中，AB＝3，D是AB上的一点（不与点A、B重合），DE∥BC，交AC于点E，则的最大值为_____．
12．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学九年级）如图，点在反比例函数的图象上，且点D是平行四边形的对角线与的交点，连接，若，．则k的值为__________．
13．（2020·成都市实验外国语学校五龙山校区）在平面直角坐标系中，关于的一次函数，其中常数k满足，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数的解析式为______．
14．（2019·广东茂名市·九年级）若都是正整数，且，则的最小值是________．
15．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则___________
16．（2020·全国）如图，直线y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA，OB，OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，点P的坐标为____________．
17．（2020·安徽九年级学业考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=15，点D，E，P分别是边AC，AB；BC上的点，且AD=4，AE=4EB．若 是等腰三角形，则CP的长是__________．
三、解答题
18．（2019·全国九年级课时练习）如图（1），、是两条线段，是的中点，，、分别表示、、的面积．当时，则有 ①．
（1）如图（2），是的中点，与不平行时，作、、分别垂直于、、三个点，问结论①是否仍然成立？请说明理由．
（2）若图（3）中，与相交于点时，问、和三者之间存在何种相等关系？试证明你的结论．
19．（2019·重庆开州·）材料1：在设计人体雕塑时，存在一个分隔点，使雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）之比，等于下部与全部（全身）之比，可以增加视觉美观，数学上把这个点叫“黄金分割点”． 为了研究这个点，我们在线段AB上取点C（如图1），点C把AB分成AC和CB两段，其中BC是较小的一段，现要使即可．为了简便起见，设AB=1，AC=x，则CB=1-x，代入，即，也即x2+x-1=0，解之得，．所以=，人们把这个数叫黄金分割数，点C叫“黄金分割点”．
材料2：由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的“黄金分割线”．
（1）如图2，点C是线段AB的黄金分割点（AC>CB），取线段AB的中点O，作点C关于点O的对称点，则；继续取线段AC的中点，作点关于点的对称点，试猜想点是否线段A的黄金分割点，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（2）如图3，在平面直角坐标系中， A（-，0），B（1，0），C（4-，2），求△ABC中经过点C的“黄金分割线”解析式．
20．（2020·银川外国语实验学校九年级月考）作出线段的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）
21．（2020·全国九年级专题练习）（1）如图所示，已知点是线段的黄金分割点（），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比．
（2）如图所示，在（1）的条件下，取线段的黄金分割点（），判断点是否为线段的另一黄金分割点，并说明理由．
（3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段的黄金分割点（），并且，试用的正整数次幂的形式表示线段，，的长度．
（4）已知，试求以下代数式的值（只要求直接写出结果）： ．
22．（2021·云南九年级）如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．
（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是 ；四边形CEAF面积＝ ．
（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．
（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝ 时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．
23．（2021·全国九年级专题练习）材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：
“如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点．
材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．
请根据以上材料，回答下列问题
（1）如图，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝ ，CD＝ ．
（2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值．
（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值．