数学九年级上册22.3 实践与探索课后练习题

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22.3实践与探索
（重点练）
一、单选题
1．（2021·陕西九年级专题练习）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )
A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128
C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128
【答案】B
【详解】解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元，
第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2；
故选B.
2．（2018·陕西九年级期中）某市体育局要组织一次篮球邀请赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,设应邀请x个球队参加比赛,则可列方程为（ ）
A．(x−1)x=28 B．(x+1)x=28 C．(x−1)x=28 D．=28
【答案】C
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数，由此可即可得出方程.
【详解】应邀请x个球队参加比赛，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，
则有：=28，
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
3．（2021·浙江九年级专题练习）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，设每台冰箱的定价为x元，则x满足的关系式为（   ）
A．(x−2500)(8+4×)=5000 B．(2900−x−2500)(8+4×)=5000
C．(x−2500)(8+4×)=5000    D．(2900−x)(8+4×)=5000
【答案】C
【分析】销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数=5000元，即可列方程求解．
【详解】设每台冰箱的定价应为x元，根据题意得：
（x﹣2500）（8+•4）=5000
故选C．
【点睛】本题关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
4．（2018·福州华伦中学）如图是一个长20cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的，设彩条的宽度为xcm，则下列方程正确的是( )

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设彩条的宽度为xcm，表示出两条彩条的面积，根据彩条所占面积是图案面积的，列出方程即可．
【详解】设彩条的宽度为xcm，根据题意列方程得：
20x+15x﹣x215×20．
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，长方形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系．
5．（2020·宁县南义初级中学九年级月考）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．289（1﹣x）2="256" B．256（1﹣x）2=289
C．289（1﹣2x）2="256" D．256（1﹣2x）2=289
【答案】A
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【详解】根据题意可得两次降价后售价为289（1-x）2，
∴方程为289（1-x）2=256．
故选答A．
6．（2020·山西实验中学）在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（ ）

A．x2=102+（x-5-1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102
C．x2＝102+（x+1-5）2 D．x2＝（x+1）2+102
【答案】C
【分析】根据题意做出简图如下，在中应用勾股定理即可．
【详解】根据题意做出简图如下：

其中AC=x，BC=10，AB=x+1-5
中，由得，
故选C．
【点睛】本题考察了列方程解应用题，实质是考察了勾股定理的应用，做题过程中要注意做出简图是本题的关键．
二、填空题
7．（2018·全国）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是__．
【答案】13
【分析】设参加会议有x人, 每个人都与其他 (x-1) 人握手,共握手次数为x(x-1),根据题意列方程.
【详解】解：设参加会议有x人,依题意得:x(x-1)=78,
整理得:x2-x-156=0
解得=13,=-12,(舍去).
答: 参加这次会议的有13人,
故答案为13.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程式解题的关键.
8．（2020·全国椒江区第五中学九年级期中）由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税连续两次下调，由4000美元下调至2560美元，则平均每次下调的百分率为_____．
【答案】20%．
【分析】设平均每次下调的百分率为x, 则第一次下调后的关税为4000 (1-x) , 第二次下调的关税为4000, 根据题意可列方程为4000=2560求解即可.
【详解】解：设平均每次下调的百分率为x, 根据题意得:
4000=2560，
解得: =0.2=20%,=1.8=180%( 舍去),
即: 平均每次下调的百分率为20%.
故答案是: 20%.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据已知条件列出方程是解题的关键.
9．（2018·全国）青山村2012年的人均收入12000元，2014年的人均收入为14520元，则该村人均收入的年平均增长率为________ （填百分数）．
【答案】10％
【分析】设该村人均收入的年平均增长率为x,2012年的人均收入(1+平均增长率)=2014年人均收入,把相关数值代入求得年平均增长率.
【详解】解:设该村人均收入的年平均增长率为x,由题意得:
12000(1+x)=14520,
解得:=-2.1(不合题意舍去),
=0.1=10%.
答:该村人均收入的年平均增长率为10%.
故答案为:10%.;
【点睛】本题考查了一元二次方程的运用,应明确增长的基数,增长的次数,根据公式增长后的人均收入=增长前的人均收入(1+增长率).
10．（2018·江苏九年级月考）点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm(AC ＞BC)，则BC的长为_____．（保留根号）
【答案】-3+
【分析】用AC表示出BC,然后根据黄金分割点的定义列方程求解即可.
【详解】解:AC>BC,AB=6cm
BC=AB-AC=6-AC,
点C是线段AB的黄金分割点,
AC=ABBC,
AC=6(6-AC),
整理得,AC+6AC-36=0,
解得AC=-3+,AC=-3-(舍去).
故答案为:-3+.
【点睛】本题考查了黄金分割,熟记黄金分割点的定义并列出关于AC的方程是解题的关键.
11．（2020·河南）某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为_______________．
【答案】
【分析】第一次降价后的单价是1000（1-x），第一次降价后的单价是1000（1-x）2，根据题意列出方程即可．
【详解】解：由题意得

故答案为：
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解平均变化率并正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2019·全国九年级期中）某公司今年一月份的利润为万元，三月份的利润下降到万元，为量化该公司一月份至三月份利润下降的速度，请你提出一个数字问题为________．
【答案】该公司一到三月份平均每月利润下降的百分率是多少？
【分析】根据公司今年一月份的利润为100万元，三月份的利润下降到81万元，为量化该公司一月份至三月份利润下降的速度，可利用一元二次方程进行解答，据此即可以提出问题．
【详解】答案不唯一，如：
①该公司三月份利润比一月份下降百分之几？
②该公司一到三月份平均每月利润下降的百分率是多少？
③若每月利润下降的百分率相同，则四月份的利润为多少？
故答案为：该公司一到三月份平均每月利润下降的百分率是多少？
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，为开放性试题，答案不唯一．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，提出合适的问题．
13．（2020·随州市曾都区实验中学）某商品连续两次降低10%后的价格为a元，则该商品的原价为______．
【答案】元
【分析】设商品原价为x元，则等量关系为原价=现价，根据等量关系列出方程即可求解．
【详解】设该商品的原价为x元，根据题意得

解得
故答案为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程实际应用中的增长率问题，本剧题意列出方程是本题的关键．

14．（2020·阜宁县实验初级中学九年级月考）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2018年年收入200美元，预计2020年年收入将达到1000美元，设2018年到2020年该地区居民年人均收入平均增长率为，可列方程为：________．
【答案】
【分析】根据题意列出2018年人均收入将达到的美元的代数式，然后得出2019年人均收入将达到的美元的方程，进而得解．
【详解】根据题意，可得
2018年人均收入将达到，
2019年人均收入将达到
即为
故答案为．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握，逐步推理，即可解题．
15．（2020·永善县墨翰中学九年级月考）国庆节期间昭通市教育局组织教职工篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），总共安排了15场比赛，则参加比赛的球队应有_______对．
【答案】6
【分析】根据题意，设参加比赛的球队有x队，则若每两队之间赛一场，根据总场数15列出方程求解即可．
【详解】设参加比赛的球队有x队，
则：，
解得：，（舍去）.
∴共有6队参加.
故答案为6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，熟练掌握相关方法是解题关键．
16．（2020·河南郑州市第十九初级中学九年级月考）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在如图①，②，③三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣21＝0的正确构图是_____．（只填序号）

【答案】②
【分析】仿造案例，构造面积是的大正方形，由它的面积为，可求出，此题得解．
【详解】∵x2﹣4x﹣12＝0即
∴构造如图②中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，
据此易得x＝6．
故答案为：②．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
三、解答题
17．（2018·四川广安·九年级月考）某地2016为做好“精准扶贫投资”，投入资金20万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016的基础上投入资金增加了8.8万元．求2016年到2018这两年的平均增长率为多少？
【答案】2016年到2018这两年的平均增长率为20%．
【分析】设2016年到2018这两年的平均增长率为x,由2018年在2016的基础上投入资金增加了8.8万元列出方程求解即可.
【详解】解：设2016年到2018这两年的平均增长率为x，根据题意，得
20（1+x）2=28.8，
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，应舍去），
答：2016年到2018这两年的平均增长率为20%．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程式解题的关键.



18．（2018·江苏九年级期末）小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于40cm2，小张该怎么剪？
（2）小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．”他的说法对吗？请你用两种不同的方法说明理由．
【答案】（1）小张应将40cm的铁丝剪成8cm和24cm两段，并将每一段围成一个正方形．（2）两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．
【分析】(1) 利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可;
(2) 利用正方形的性质表示出边长进而得出等式, 进而利用根的判别式求出即可.
【详解】解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（8﹣x）cm．
∴x2+（8﹣x）2=40，即x2﹣8x+12=0．
∴x1=2，x2=6．
∴小张应将40cm的铁丝剪成8cm和24cm两段，并将每一段围成一个正方形．
（2）他的说法对．
假定两个正方形的面积之和能等于30cm2．
根据（1）中的方法，可得x2+（8﹣x）2=30．
即x2﹣8x+17=0，△=82﹣4×17＜0，方程无解．
所以两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用及一元二次方程根的判别式.
19．（2020·辽宁）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2016年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2018年投资18.59万元．
（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；
（2）从2016年到2018年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？
【答案】（1）30%；（2）43.89.
【分析】（1）设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为，根据以后每年以相同的增长率进行投资，2016年投资18.59万元，列出方程，求出方程的解即可．
（2）根据（1）求出的增长率，就可求出2015年的投资金额，再把2014年，2015年和2016年三年的投资相加，即可得出答案．
【详解】（1）设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意得：
11（1+x）2=18.59
解得：x1=0.3=30%，x2=﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：该学校为新增电脑投资的年平均增长率为30%．
（2）∵2014年投资11万元，∴2015年投资：11×（1+30%）=14.3（万元）．
∴该中学三年为新增电脑共投资：11+14.3+18.59=43.89（万元）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意把不合题意的解舍去．
20．（2018·全国九年级单元测试）某单位通过旅行社组织职工去上海世博会.下面是领队与旅行社导游收费标准的一段话：
领队：每人的收费标准是多少？
导游：如果人数不超过30人，人均旅游费用为120元.
领队：超过30人怎样优惠呢？
导游：如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用就降低2元，但人均旅游费用不得低于90元.
该单位按旅行社的收费标准组团参观世博会后，共支付给旅行社4000元.请你根据上述信息，求该单位这次参观世博会的共有几人？
【答案】30X120="3600" ∵3600小于4000，∴参观的人数大于30人
设共有x人，则人均旅游费为【120-2（x-30）】元
由题意得：x【120-2（x-30）】=4000
整理得：x1＝40,x2＝50
当x=40时，120—2（40-30）=100大于90
当x=50时，120—2（50.30）=80.小于90（不合，舍去）
答：该单位这次参观世博会共又40人
【分析】本题要先判断出人数的大致范围，判断是否超过30人，根据对话中给出的条件来套用合适的等量关系：人均旅游费×人数＝4000元，即可列出方程求解．
【详解】30×120＝3600．
∵3600＜4000，∴参观的人数大于30人，设共有x人，则人均旅游费为[120﹣2（x﹣30）]元，由题意得：
x[120﹣2（x﹣30）]＝4000
解得：x1＝40，x2＝50．
当x＝40时，120﹣2（40﹣30）＝100＞90；
当x＝50时，120﹣2（50﹣30）＝80＜90（不合，舍去）．
答：该单位这次参观世博会共有40人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是首先要弄清题意，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
21．（2018·江苏九年级期中）某商店将进价为 30 元的商品按售价 50 元出售时，能卖 500 件．已知该商品每 涨价 1 元，销售量就会减少 10 件，为获得 12000 元的利润，且尽量减少库存，售价应 为多少元？
【答案】售价为60元
【分析】设售价为x元,由已知该商品每 涨价 1 元，销售量就会减少 10 件，为获得 12000 元的利润，列出方程，由且尽量减少库存得出方程的解，可得答案.
【详解】设售价为x元
由题意得：（x－30)[500－10(x－50)]=12000
解得：x1=60，x2=70
∵尽量减少库存
∴售价应定为60元
答：售价为60元
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，由已知条件列出方程式解题的关键.
22．（2018·全国九年级单元测试）春节前夕，便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能售出240件．销售一段时间后发现：如果每件涨价0.5元，那么每天就少售10件；如果每件降价0.5元，那么每天能多售出20件．为了使该商品每天销售盈利为1980元，每件定价多少元？
【答案】为了使得该商品每天盈利1980元，每件定价应为21或23元
【分析】首先根据题意列出方程，利用根的判别式判断方程实数根的情况，然后再求解即可．
【详解】①设每件应降价x元，根据题意得：
（20﹣x﹣12）（240+40x）＝1980
整理得：x2-2x+1.5=0．
∵△=4－6=－2＜0，∴原方程无实数根；
②设每件应该涨价y元，根据题意得：
（20+y﹣12）（240﹣20y）＝1980
解得：y1＝3，y2＝1．
当y=3时，20+y=20+3＝23（元）；当y=1时，20+y=20+1＝21（元）．
答：为了使得该商品每天盈利1980元，每件定价应为21或23元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够分别表示出销售量和单件的销售利润，从而列出方程求解，解答过程中注意舍去不符合题意的根．
23．（2018·全国九年级单元测试）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．
【答案】这个两位数为84．
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．
【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：
x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，∴10x+（x﹣4）＝84．
答：这个两位数为84．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字．
24．（2018·天津红桥·九年级期中）某商品现在的售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每月要少卖出10件．该商品的进价为每件 40元，设每件涨价 x 元．
（1）根据题意，填写下表：
每件涨价/元
0
4
8
…
x
每件利润/元
20
24

…

月卖出量/件
300

220
…

（2）若该商品上个月的销售利润为 5250 元，求上个月该商品的定价．
【答案】（1）260；28；20+x；300﹣10x；（2）上个月该商品的定价为15元．
【分析】（1）由每涨价1元每月要少卖出10件，即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每件的利润×月销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）300﹣10×4＝260，20+8＝28，当每件涨价x元时，每件的利润为（20+x）元，每月可卖出（300﹣10x）件．
故答案为260；28；20+x；300﹣10x．
（2）根据题意得：（20+x）（300﹣10x）＝5250
整理得：x2﹣10x﹣75＝0
解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝15．
答：上个月该商品的定价为15元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2018·广东惠阳高级中学初中部九年级月考）为进一步发展基础教育，自2015年以来，某县加大了教育经费的投入，2015年该县投入教育经费6000万元.2017年投入教育经费7260万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2018年该县投入教育经费多少万元．
【答案】（1）该县投入教育经费的年平均增长率为10%；（2）预算2018年该县投入教育经费7986万元．
【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2015年该县投入教育经费6000万元和2017年投入教育经费7260万元列出方程，再求解即可；
（2）根据2017年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出2018年该县投入教育经费为7260×（1+0.1），再进行计算即可．
【详解】（1）设宜兴投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：
6000（1+x）2＝7260
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该县投入教育经费的年平均增长率为10%．
（2）因为2017年该县投入教育经费为7260万元，且增长率为10%，所以2018年该县投入教育经费为：7260×（1+0.1）＝7986（万元）
答：预算2018年该县投入教育经费7986万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是解答本题的关键，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．


26．（2020·重庆市荣昌区宝城初级中学）为了提高石柱县在全国的知名度，重庆市政府结合石柱县当地实际情况，重点扶持农户发展特色农业莼菜和黄连．石柱县在劳动节举办了蔬菜直销，石柱黄水镇一农户在现场销售“莼菜”和“黄连”两种农产品。
（1）5月1日当天，该农户一共售出“莼菜”和“黄连”这两种农产品500斤，“莼菜”售价为30元/斤，“黄连”为20元/斤，要使销售额不低于11250元，问最多售出“黄连”多少斤？
（2）为了提高“莼菜”的知名度，石柱政府对“莼菜”进行广告宣传，5月2日该农户的总销售重量为1800斤，其中售出“黄连”1200斤，5月3日由于大量到货，该农户推出优惠方案，“莼菜”每斤降价a%，“黄连”售价保持不变，当日售后统计“莼菜”销售数量在5月2日的基础上增加了2a%，“黄连”数量在5月2日的基础上减少了a%，若当日总销售额与5月2日的总销售额持平，求a的值．
【答案】（1）最多售出375斤；（2）a的值为25．
【分析】（1）设黄连为x，则莼菜为（500-x），黄连销售额+莼菜销售额≥11250；
（2）根据题意求得5月2日销售额42000元，等量关系为黄连销售额+莼菜销售额=42000．
【详解】（1）设售出“黄连”x斤，则“莼菜”销售(500－x)斤，由题意得：
20x＋30(500－x)≥11250
解得x≤375，
答：最多售出“黄连”375斤．
（2）由题意得：
20×1200＋30(1－a%)×(1800－1200)(1＋2a%)＝20×1200＋30×(1800－1200)，
解得a1＝0(舍去)，a2＝25，
答：a的值为25．
【点睛】本题考查了列不等式解决实际问题，一元二次方程的增长率问题，找到等量关系是本题的关键，是中考的常考问题．
27．（2020·合肥市第六十八中学）新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到1000辆，预计明年会增长到1210辆．
（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；
（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？
【答案】（1）10%；（2）80万元
【分析】（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，根据“去年新能源汽车总量已达到1000辆，预计明年会增长到1210辆”列出方程并解答；
（2）根据（1）中的增长率可以得到：1000×增长率×0.8．
【详解】（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为，由题意得

解得：，（舍）
因此，.
所以，今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为10%．
（2）1000×10%×0.8=80（万元）.
所以，财政部门今年需要准备80万元补贴资金．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
28．（2020·赤峰市松山区大庙中学九年级月考）相互问题是一元二次方程实际问题常见的一种类型，通过学习解决以下问题：
（1）2019年女排世界杯（第13届女排世界杯）于2019年9月14日至9月29日在日本举行，中国女子排球队以全胜的战绩夺得冠军，受到习总书记的接见．赛制采用单循环制（即每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，请求出参赛队伍数．
（2）中国高铁快速发展，北京至赤峰高速铁路计划2020年7月1日建成通车，通车后经过计算需要制作182种车票，请求出高铁车站数．
【答案】（1）参赛队伍数为12支；（2）高铁车站数为14个．
【分析】（1）设参赛队伍数为x支，则第一只参赛队参加（x-1）场比赛，第二只参加（x-2）场比赛，以此类推，然后求和即可列出方程为x（x-1）=66，解方程即可求得；
（2）设高铁车站数为y个，第一个站有（y-1）种车票，第二个站有（y-1）种车票，以此类推，然后求和即可列出方程为y（y-1）=182，解方程即可求得；
【详解】（1）设参赛队伍数为x支，列方程为x（x-1）=66，解得x1=12，x2=-11（舍去）
答：参赛队伍数为12支.
（2）高铁车站数为y个，列方程为y（y-1）=182，解得y1=14，y2=-13（舍去）
答：高铁车站数为14个.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
29．（2020·永善县墨翰中学九年级月考）为配合我市“推进爱国卫生专项行动，创建全国文明城市”，某单位计划在一块矩形空地上修建绿色植物园（如图所示），其中边靠墙（墙长为米），另外三边用总长米的材料围成．若米，矩形的面积为平方米．

（1）求与的函数关系式；
（2）若矩形面积为平方米，求的长．
【答案】（1）；（2）的长为米或米
【分析】（1）根据三边总长36米，表示出AD的长为，然后根据矩形面积公式即可列出y和x的关系式；
（2）令（1）中y=160，解出对应x值即可；
【详解】（1）由题意
即；
（2）由（1）知：，即
，
解得，，
答：的长为米或20米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，以及解一元一次方程，解题的关键是根据题意列出相应函数表达式．
30．（2020·成都七中育才学校金堂分校九年级月考）商场某种商品平均每天可销售30件，每件商品进价为70元，售价为120元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）．
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【答案】（1）；；（2）20元．
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，则商场日销售量为件，每件商品盈利=原来的盈利－降低的钱数；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可售出商品的件数=2100，即可求得．
【详解】（1）设每件商品降价元
则商场日销售量为件
每件商品盈利（元）
（2）根据题意可得





或
∵该商场为了尽快降低库存，则不合题意，舍去
∴
故每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列出等量关系是解题的关键．
31．（2021·全国九年级专题练习）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
【答案】（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm，则△PBQ的面积等于×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2t（5-t）=7，化简该方程后，判断该方程的与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
【详解】解：（1）设经过x秒以后，面积为，
此时，，，
由得，
整理得：，
解得：或舍，
答：1秒后的面积等于 ；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于
由，
即，
解得：t=3或-1(舍)，
∴3秒后，PQ的长度为；
（3）假设经过t秒后，的面积等于，
即，，
整理得：，
由于，
则原方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
32．（2020·滕州市洪绪镇洪绪中学九年级期中）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？年收益是多少万元？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的收益为275万元？（收益=租金-各种费用）
【答案】（1）能租出24间，年收益是285万元；（2）每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元
【分析】（1）直接根据题意先求出增加的租金是6个5000，从而计算出租出多少间，然后计算收益即可；
（2）设每间商铺的年租金增加x万元，根据：租金﹣各种费用=收益，列方程求解．
【详解】（1）租出间数为30-(130000-100000)÷5000=24,
收益为(13-1)×24-6×0.5=285(万元)．
答：能租出24间，年收益是285万元．
（2）设每间商铺的年租金定为x万元，根据题意得
(x-1)×[30-(x-10)÷0.5]-[(x-10)÷0.5]×0.5=275,
解得x1=10.5，x2=15,
答：每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出正确的等量关系，并列出方程是本题的关键．
33．（2020·西安市铁一中学九年级期中）环保，现在是目前世界上最热门的话题之一，我国的环境问题主要表现在：污染物排放量相当大，远远高于环境的自净力．某厂工业的废气年排放量为万立方米，为改善我市的大气环境质量，决定分两期投入治理，使废气的年排放量减少到万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同．
（1）求每期治理中废气减少的百分率是多少？
（2）预计第一期治理中每减少万立方米废气需投入万元，第二期治理中每减少万立方米废气需投入万元，问两期治理完后共需投入多少万元？
【答案】（1）20%；（2）594．
【分析】（1）先设每期治理中废气减少的百分率是x，再据题意用x表示出经过两期治理后废气的年排放量，让它等于288列出方程求解即可．
（2）用（1）的结果计算出第一期治理后的废气年排放量，进而可求出两期治理中废气年排放量的减少量，用之乘以对应的每减少1万立方米废气需投入的资金，再相加即可．
【详解】（1）设每期治理中废气减少的百分率是x，据题意得

解之得=0.2=20%，（舍去）
答：每期治理中废气减少的百分率是20%．
（2）450×（1-20%）=360，
∵第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元
∴第一期治理费用为：(450-360) ×3=270(万元)；
∵第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元
∴第二期治理费用为：(360-288) ×4.5=324(万元)
所以两期治理完后共需投入270+324=594万元．
【点睛】此题考查列一元二次方程求平均增长率．此题关键是要弄清开始的基准量和经过两期后的最终量，再利用增长率的含义列方程和利用增长率求出一期后的中间量．
34．（2021·山东省枣庄市第十三中学九年级月考）尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．
【答案】（1）280；（2）23元或19元；（3）19元
【分析】（1）根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x的值，再将其代入（25-x）中即可求出结论．
【详解】解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．
故答案为：280．
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，平均每天可售出80+×20=（40x+80）件，
依题意，得：（25-15-x）（40x+80）=1280，
整理，得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∴25-x=23或19．
答：每件商品的定价应为23元或19元．
（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；
当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意，
∴25-x=19．
答：商品的销售单价为19元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-利润问题，读懂题意，根据商品降价表示出商品销售件数从而列出方程是解题关键．