华师大版九年级上册4.一元二次方程根的判别式达标测试

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22.2.4一元二次方程根的判别式（重点练）一、单选题1．（2019·贵州九年级一模）方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，那么成立的式子是（    ）A．b2-4ac＞0 B．b2-4ac＜0 C．b2-4ac≤0 D．b2-4ac≥0【答案】D【分析】直接根据判别式的意义判断.【详解】解:根据题意得△=≥0.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当<0,方程没有实数根.2．（2018·全国九年级单元测试）一元二次方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）的根的情况是（   ）A．该方程有两个不相等的实数根           B．该方程有两个相等的实数根C．该方程有实数根                  D．该方程没有实数根【答案】C【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=(k-4)≥0,由此即可得出该方程有实数根,此题得解.【详解】解:在方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）中,A=k-42(k-2)=k-8k+16=(k-4)≥0，.该方程有实数根.所以C选项是正确的.【点睛】本题主要考查一元二次方程由根的判别式判别根的情况.3．（2020·江苏九年级期末）关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是(     )A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0【答案】A【分析】根据方程有实数根, 得出△>0, 建立关于m的不等式, 求出m的取值范围即可.【详解】解:由题意知,△=4+4m≥0,m≥-1,故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式.4．（2021·江苏）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【答案】C【详解】判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可：∵a=1，b=，c=，∴．∴此方程有两个不相等的实数根．故选C．5．（2021·广东九年级专题练习）一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根                    D．无法确定【答案】A【详解】∵a=1，b=1，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=1+8=9＞0．∴方程有两个不相等的实数根．故选A．6．（2021·广东九年级专题练习）关于x的一元二次方程mx2+3x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　）A．m< B．m<且m≠0 C．m≤ D．m≤ 且m≠0【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式（ △= -4ac）可以判断方程的根的情况，一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的根与根的判别式有如下关系：△= -4ac①    △＞0，方程有两个不相等的实数根；②    △=0时，方程有两个相等的实数根；③    △＜0时，方程无实数根；根据根与根的判别式的关系即可判断.【详解】mx2+3x+1=0为一元二次方程,则m≠0,一元二次方程m+3x+1=0有两个不相等的实数根,则△= -4ac=9-4m＞0, 4m＜9,故 m＜;综上所述: m＜且m≠0.【点睛】本题主要考查利用一元二次方程根的判别式（ △= -4ac）判断方程的根的情况,本题需要特别注意二次项系数m≠0.7．（2020·赤峰市松山区大庙中学九年级月考）已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，则x2+3x的值为（　　）A．-3或1 B．-3 C．1 D．不能确定【答案】C【分析】采用换元法，设x2﹣3x＝y，将原方程变成一元二次方程求出y，然后根据一元二次方程的根的判别式舍去不成立的解即可；【详解】设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2+2y-3＝0 解得：y1＝﹣3，y2＝1当x2﹣3x＝-3，即x2﹣3x+3=0时 方程无解则x2+3x的值为1故选C【点睛】本题考查一元二次方程的解法和根的判别式，灵活运用换元法和根的判别式是解题关键．8．（2021·江苏）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）A．5x2﹣4x＝﹣2 B．（x﹣1）（5x﹣1）＝5x2C．4x2﹣5x+1＝0 D．（x﹣4）2＝0【答案】C【分析】A、将方程变形为一般式，由根的判别式△＝﹣24＜0，可得出方程5x2﹣4x＝﹣2无实数根；B、将方程变形为一般式，由一元一次方程只有一个实数根，可得出方程（x﹣1）（5x﹣1）＝5x2只有一个实数根；C、根据根的判别式△＝9＞0，可得出方程4x2﹣5x+1＝0有两个不相等的实数根；D、通过解方程可得出x1＝x2＝4，即方程（x﹣4）2＝0有两个相等的实数根．综上即可得出结论．【详解】A、原方程可变形为5x2﹣4x+2＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×5×2＝﹣24＜0，∴方程5x2﹣4x＝﹣2无实数根；B、原方程可变形为6x﹣1＝0，∴方程（x﹣1）（5x﹣1）＝5x2只有一个实数根；C、∵△＝（﹣5）2﹣4×4×1＝9＞0，∴方程4x2﹣5x+1＝0有两个不相等的实数根；D、∵（x﹣4）2＝0，∴x1＝x2＝4，∴方程（x﹣4）2＝0有两个相等的实数根．故选C．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．9．（2019·陕西九年级期中）关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是(    )A．k≥0 B．k≤0 C．k<0且k≠-1 D．k≤0且k≠-1【答案】D【分析】由一元二次方程的定义和判别式的意义可以得到且△≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：由题意得且△，解得且．故选：D【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．要注意方程为一元二次方程，所以．.10．（2020·河北）下列选项中，能使关于的一元二次方程（为常数，且）一定有实数根的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程有实数根的条件,利用取特殊值法对每个选项逐一判断即可．【详解】∵一元二次方程有实数根，
∴，且a≠0，
∴，且a≠0；
A、若，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；
B、若，当、时，ac=5＞4，此选项错误；
C、若，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误； D、若， ，此选项正确；
故选D．【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．11．（2021·山东九年级专题练习）若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（    ）A．且 B． C． D．且【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式，b2-4ac≥0，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．【详解】∵方程有实数根∴b2-4ac=解得：又∵原方程是一元二次方程∴∴的取值范围是且故选D．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键，且切记不要漏掉二次项系数不为0． 12．（2021·重庆梁平·）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且，然后解不等式组即可．【详解】得：又且．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式符号与解的对应关系是解题关键．13．（2020·河南师大附中）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）A．且 B．且C． D．【答案】B【分析】方程有两个不相等的实数根，显然原方程应该是关于x的一元二次方程，因此得到二次项系数不为0即当a-3≠0时，且判别式即可得到答案．【详解】∵关于的方程有两个不相等的实数根∴a-3≠0，且解得：且a≠3故选B．【点睛】本题主要考查方程的解，一元二次方程的根的判别式，根据判别式，列出关于参数a的不等式，是解题的关键．14．（2021·江苏）若反比例函数的图像上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图像上，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．或【答案】D【分析】设反比例函数上有一点A(m，)，则关于x轴对称点B(m，)，代入一次函数可得关于m的一元二次方程，利用判别式来确定b的取值范围．【详解】设反比例函数上有一点A(m，)，则关于x轴对称点B(m，)∵点B在一次函数上，代入得：化简得：∵有两个不同的点关于x轴的对称点都在一次函数上∴关于m的一元二次方程有两个不同的解∴△=＞0解得：或故选：D【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，需要用到对称的知识，解题关键是将题目转化为一元二次方程的形式来求解．15．（2020·永州柳子中学）等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为（    ）A． B． C． D．7或8【答案】D【分析】两种情况，4为腰和4为底边，而一元二次方程的两根也分为两种情况：①一边为腰一边为底，此时代入4即可求解，②两边都为腰，此时判别式为0，代入数值即可求解．【详解】①一边为腰一边为底，当4为底时，有，解得，此时解得另一个根为2，而此时2+2=4，不合题意舍去；同理，当4为腰时，解得另一根为2，三角形三边分别为4、4、2，满足三角形三边关系故m=7②方程两根都为腰，此时即，解得m=8综上所述，m=7或8故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的判别式，关键是分情况讨论一元二次方程解的情况．二、填空题16．（2019·江苏无锡市·九年级期末）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一个根，则a的值是_____．【答案】﹣1．【分析】将x=1代入方程得关于a的方程, 解之可得.【详解】解：将x=1代入方程得:2-1+a=0,解得:a=-1,故答案为: -1.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解.17．（2018·成都七中实验学校九年级月考）如果方程 x2-2x+=0没有实数根，那么 k 的最小整数是______．【答案】3【分析】先根据一元二次方程x2-2x+=0得出a、b、c的值,再根据方程有实数根可知△＜0,求出k的取值范围即可.【详解】解:由一元二次方程x2-2x+=0可知,a=1,b=-2,c=,方程没有实数根,△=＜0,即(-2) 2-4＜0,解得k＞2.故答案为:3.【点睛】本题考查的是根的判别式,根据题意得出关于k的不等式是解答此题的关键.18．（2018·全国九年级期末）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________．【答案】且【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（2k+1）2﹣4k•k＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+k＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（2k+1）2﹣4k•k＞0，∴k且k≠0．故答案为k且k≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．19．（2019·邵阳县黄亭市镇中学）若一次函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】因为反比例函数y=的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+b中，k＜0，解方程组 y=kx+b 求出当直线与双曲线只有一个交点时，k的值，再确定无公共点时k的  y= 取值范围．由反比例函数的性质可知，y=的图象在第一、三象限，∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k＜0， y=kx+b解方程组 y=得kx2+x-1=0，当两函数图象没有公共点时，△＜0，即1+4k＜0，解得k＜-，∴两函数图象无公共点时，k＜-．故答案为k＜-．20．（2018·全国九年级期中）把方程化成的形式，那么________，方程的根是________．【答案】    ，    【分析】通过去括号，移项，合并同类项，可以把方程化成一般形式，然后由判别式求出b2-4ac的值，继而由求根公式得到方程的根.【详解】去括号：2x2+6x-x-3=x2+1，移项：2x2+6x-x-3-x2-1=0，合并同类项：x2+5x-4=0，∴a=1，b=5，c=-4，b2-4ac=25+16=41，x=，，∴x1=，x2=，故答案为41，x1=，x2=.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解一元二次方程-公式法，根的判别式等，熟练掌握公式法是解本题的关键.21．（2020·无锡市天一实验学校九年级期中）若关于 x 的一元二次方程 kx2  2x 1  0 有两个实数根，则 k 的取值范围是_____．【答案】k≥﹣1 且 k≠0【分析】根据方程的根的情况对k进行讨论运算即可．【详解】当k=0时, 方程为一元一次方程, 不符合题意; 当k≠ 0时, 方程为一元二次方程, 则, 则k>-1且k#0.综合以上两种情况可得: k≥﹣1 且 k≠0.故答案：k≥﹣1 且 k≠0．【点睛】根据方程的根的情况进行判定计算22．（2021·安徽九年级专题练习）命题“关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0，必有两个不相等的实数根”是假命题，则m的值可以是_______．（写一个即可）【答案】1(答案不唯一)【分析】根据判别式的意义，当m=1时△＜0，从而可判断原命题为是假命题．【详解】解：当△=＜0，可解得 ，所以当m=1时，方程没有实数解，所以m取1可作为判断命题“关于x的一元二次方程x2-mx+1=0，必有两个不相等的实数根”是假命题的反例．故答案为1（答案不唯一）.【点睛】本题考查了一元二次方程的性质定理，灵活运用定理是解体的关键.三、解答题23．（2019·全国九年级期末）已知关于的方程（1）取何值时，①方程有实数根？②方程没有实数根？（2）若方程的两个实数根为，，且，试求的值．【答案】（1）①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程没有实数根；（2）．【分析】(1)首先利用根的判別式得出关于x的方程的判别式,再根据①当△≥0,方程有实数根;②当△<0,方程没有实数根; (2)根据根与系数的关系得到，,代入得出关于k的方程,解方程即可.【详解】解：．①当，时，方程有两个不相等的实数根；②当，时，方程没有实数根；（2）∵方程的两个实数根为，，∴，，依题意，得，解得：，（不合题意，舍去），∴ ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式△=及根与系数的关系，当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.  24．（2018·甘肃兰州·九年级期末）关于x的一元二次方程有实根. （1）求k的最大整数值； （2）当k取最大整数值时，方程的根满足，求m的值.【答案】（1）（2）【分析】(1)根据方程有实数根,可得判別式大于等于零,根据解不等式,可得答案;(2)把k=4代入方程，可得方程的解,把方程的解代入,可得关于m的一元一次方程,根据解一元一次方程,可得答案.【详解】（1）；（2）．解：（1）根据题意知△=，       ∵       ∴        解得：        ∴k的最大整数值为4.（2）∵    ∴方程为    则解得方程的根为；     把代入方程得，∴．【点睛】本题考查了根的判别式,利用了根的情况判别参数的范围,同时考查一元二次方程的解.25．（2020·北京九年级专题练习）已知，关于x的一元二次方程.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根是负数，求a的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)a>0.【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式化简后即可得求证；（2）利用一元二方程的求根公式求出两根，可求出a的取值范围．【详解】(1)证明：∵.∴△= ，∴方程总有两个实数根.(2)由求根公式得，x=，∴，，∵方程有一个根是负数，∴－a＜0，∴a＞0；故答案为a＞0.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和求根公式，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.26．（2020·长沙麓山国际实验学校九年级期末）（1）解方程：．（2）已知：关于x的方程①求证：方程有两个不相等的实数根；②若方程的一个根是，求另一个根及k值．【答案】（1）x1＝2，x2＝1；（2）①见解析；②另一个根为2，【分析】（1）把方程x2﹣3x+2＝0进行因式分解，变为（x﹣2）（x﹣1）＝0，再根据“两式乘积为0，则至少一式的值为0”求出解；
（2）①由△＝b2﹣4ac＝k2+8＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根；
②首先将x＝﹣1代入原方程，求得k的值，然后解此方程即可求得另一个根．【详解】（1）解：x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x1＝2，x2＝1；（2）①证明：∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，∴△＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；②解：当x＝﹣1时，（﹣1）2﹣k﹣2＝0，解得：k＝﹣1，则原方程为：x2﹣x﹣2＝0，即（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，所以另一个根为2．【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a，b，c 是常数且 a≠0) 的根的判别式及根与系数的关系；根判别式 △=b2−4ac ：(1)当 △>0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)当 △=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根；(3)当 △<0 时，一元二次方程没有实数根；若 x1 ， x2 为一元二次方程的两根时， x1+x2= ， x1∙x2=．27．（2019·贵州九年级期末）如果是关于x的一元二次方程；（1）求m的值;（2）判断此一元二次方程的根的情况，如果有实数根则求出根，如果没有说明理由则可．【答案】（1）m=1；（2）有两个不相等的实数根，，．【分析】（1）因为原方程是一元二次方程，所以x的最高次数为2且二次项系数不为0，即m+1=2且m-2≠0，解方程即可；（2）将m=1代入原方程中，得x2-2x-2=0，根据判别式即可判断实数根的个数，然后根据求根公式求出实数根．【详解】（1）由题意得m+1=2且m-20得：m=1故m的值为1；（2）由（1）得原方程：x2-2x-2=0其中，a= 1，b= -2，c= -2∴=4+8=12>0∴有两个不相等的实数根；∴根据求根公式∴　．【点睛】本题考察了一元二次方程的概念，利用判别式判断实数根的个数，和公式法解一元二次方程，熟练记忆判别式和求根公式是解题的关键；其中，（1）问中不要忘记二次项系数不能为0，这是易错点．28．（2020·北京一七一中）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣3＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k是该方程的一个根，求2k2+6k﹣5的值．【答案】（1）k≤4；（2）1【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4（k﹣3）≥0，然后解不等式即可；（2）利用方程解的定义得到k2+3k＝3，再变形得到2k2+6k﹣5＝2（k2+3k）﹣5，然后利用整体代入的方法计算．【详解】（1）∵有实数根，∴Δ≥0 即22﹣4（k﹣3）≥0.∴k≤4(2)∵k是方程的一个根，∴ ∴=1故答案为（1）k≤4；（2）1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．29．（2020·石家庄外国语教育集团九年级月考）（1）计算：．（2）已知关于的方程，若此方程有两个相等的实数根，求的值：并求出该方程的解【答案】（1）；（2），【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值、二次根式和幂，即可求得；（2）根据根的判别式求出a的值，然后再用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）原式（2）∵方程有两个相等的实数根， 【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值、二次根式、幂和二次函数的根与判别式的关系，掌握相关知识点是解题关键．