初中数学华师大版九年级上册23.2 相似图形课堂检测

23.2 相似图形

（重点练）

一、单选题

1．（2020·浙江九年级期末）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（　　）

A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．轴对称变换

【答案】B

【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．

【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．

故选：B．

【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．

2．（2018·成都七中实验学校九年级月考）下列说法正确的是（    ）

A．所有的矩形都是相似形 B．有一个角等于 100°的两个等腰三角形相似

C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似

【答案】B

【分析】利用相似图形的判定方法分别判断得出即可.

【详解】解:A、对应边的比值不一定相等,故此选项错误;

B、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似,此角度一定是顶角,即可得出两三角形相似,故此选项正确;

C、对应边的比值不一定相等,故此选项错误;

D、对应角不一定相等,故此选项错误;

所以B选项是正确的.

【点睛】此题主要考查了相似图形的判定,熟练应用判定方法是解题关键.

3．（2021·河南九年级期中）如图，下列两个四边形若相似，则下列结论不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】两个四边形相似，则有对应角相等，根据内角和即可求得∠α的值，从而对选项A作出判断；由相似多边形对应边成比例可分别求得x与y的值，从而对后三个选项作出判断．

【详解】∵两个四边形相似

∴∠β=50°

∵∠α+120°+∠β+90=360°

∴∠α=100°

故A正确

∵两个四边形相似

∴

∴，

故B、D均正确，从而C不正确

故选：C．

【点睛】本题考查了相似多边形的性质，多边形的内角和，关键是多边形的性质．

4．（2021·全国九年级课时练习）已知矩形中，，下列四个矩形中与矩形相似的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论．

【详解】解：∵，∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似，该选项正确；

∵，∴B选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项错误；

∵，∴C选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项错误；

∵，∴D选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项错误．

故选A．

【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．

5．（2021·全国九年级课时练习）一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设它的最大边长为，根据相似图形的性质求解即可得到答案

【详解】解：设它的最大边长为，

∵两个四边形相似，

∴，

解得，

即该四边形的最大边长为．

故选C．

【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．

6．（2021·全国九年级课时练习）如图，如果五边形五边形，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形和五边形的周长之比是（    ）

A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4

【答案】B

【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比计算即可．

【详解】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，

∴相似比为3：2，

∴五边形和五边形的周长之比是3：2，

故选：B．

【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比是解题的关键．

7．（2021·全国九年级专题练习）下面给出了相似的一些命题：

菱形都相似；等腰直角三角形都相似；

正方形都相似；矩形都相似；正六边形都相似；

其中正确的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【分析】菱形和矩形不一定都相似，但是等腰直角三角形正方形和正六边形都相似.

【详解】可以令矩形一边长固定，另一边长增加一倍，容易知道两矩形不相似，对于菱形，可以变换边与边之间的夹角，容易看出两菱形不相似.等腰直角三角形正方形和正六边形无论怎么变都相似，故正确的有3个.

【点睛】理解四边形的性质是解题的关键.

8．（2018·全国九年级单元测试）下列图形中不是相似关系的是（    ）

A．A B．B C．C D．D

【答案】D

【分析】根据相似图形的定义, 结合图形, 通过比较得到正确结果.

【详解】解: 观察比较图形, , A, B, C选项中的图案的形状相同, 是相似图形, D选项中的两个图案的形状不相同, 所以不是相似图形, 故根据相似形的定义可知: 不相似的图形是D.

【点睛】本题主要考查相似图形的定义.

二、填空题

9．（2021·全国九年级课时练习）如图所示的两个五边形相似，则_____，______，_______，______．

【答案】3    4.5    4    6   

【分析】根据相似多边形的性质，得到比例式，计算即可．

【详解】解：∵两个五边形相似，

∴，，，，

解得，a＝3，b＝4.5，c＝4，d＝6．

【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应角相等；对应边成比例是解题的关键．

10．（2021·全国九年级课时练习）如图，一个矩形的长，宽，E、F分别是的中点，连接E、F，所得新矩形与原矩形相似，则的值=_______．

【答案】

【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．

【详解】解：∵新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，

∴＝，即，即，

∵为正数，

∴，

∴a：b＝，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似四边形的对应边的比相等是解题的关键．

11．（2021·全国九年级专题练习）指出下列各组图中，哪组肯定是相似形__________：

（1）两个腰长不等的等腰三角形

（2）两个半径不等的圆

（3）两个面积不等的矩形

（4）两个边长不等的正方形

【答案】（2）（4）

【分析】（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．

【详解】（1）等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；

（3）中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；

（2）（4）中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形．

【点睛】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别．

12．（2021·全国九年级专题练习）用一个放大镜看一个四边形ABCD，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B是原来∠B的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，则正确的有______________．

【答案】③

【分析】根据相似多边形的性质，对每个选项进行逐一解答即可；

【详解】解：根据题意，

∵四边形的边长被放大为原来的10倍，

∴放大后的∠B与原来的∠B相等，故①错误；

放大后的四边形的边是原来的10倍，故②错误；

两个四边形的对应角相等，故③正确；

故答案为：③．

【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，相似多边形的对应角相等．

13．（2021·全国九年级专题练习）如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则__．

【答案】

【分析】根据相似的性质，列出比例式，根据已知条件即可求得．

【详解】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以，即EF＝，

所以

故答案为：

【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是解题的关键．

14．（2018·山东全国·九年级单元测试）已知五边形五边形，且，，，，，则________，________．

【答案】    50°   

【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，对应角相等进行解答即可.

【详解】∵五边形五边形，

∴B1C1：BC=A1B1：AB，∠E′=∠E=50°，

即B1C1：3=4：2，

∴B1C1=6，

故答案为：6，50°．

【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出对应边和对应角是解题的关键．

15．（2018·陕西九年级期末）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一小题计分．

（1）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____．

（2）如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（请填写正确答案的序号）_____．

【答案】15    ②．   

【分析】(1)解原方程可得方程的两根，=3,=6，根据三角形的性质“两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得腰为6,底边长为3，可得周长；

（2）根据图形相似要求对应角相等、对应边成比例可得答案.

【详解】解：(1)方程因式分解可得:(x-3)(x-6)=0,故原方程的解为=3,=6,

两个根是等腰三角形的底和腰, 根据构成三角形的条件“两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”,

可得等腰三角形的腰为6, 底边长为3, 所以这个等腰三角形的周长为6+6+3=15，

故本题正确答案为15.

（2）图形相似即要求对应角相等、对应边成比例,

等边三角形的三个内角都是60,三条边都相等,故①中的图形相似;

矩形的四个内角都是90,对边相等,所以对应边不一定成比例,故②中的图形不一定相似;

正方形的四个内角都是90,四条边都相等,故③中的图形相似;

菱形的对角相等, 四条边都相等, 故④中的图形相似;

故答案为②.

【点睛】(1)本题主要考查一元二次方程和等腰三角形.

(2)本题考查图形相似的性质：图形相似要求对应角相等、对应边成比例.

16．（2021·全国九年级专题练习）如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为__时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似．

【答案】1.5或9

【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，代入计算得到答案．

【详解】解：当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，

解得，x＝1.5，

当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，

解得，x＝9，

故答案为：1.5或9．

【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．

三、解答题

17．（2021·全国九年级课时练习）如图，四边形和相似，求角的大小和的长度x．

【答案】α＝83°，β＝81°，x＝28．

【分析】根据相似多边形的对应角相等可得出α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度x．

【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，

∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，

∴x：21＝24：18，解得x＝28．

在四边形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．

∴∠G＝∠C＝67°．

故α＝83°，β＝81°，x＝28．

【点睛】本题考查了相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质，四边形的内角和等于360°，熟记性质并熟练运用是求解的关键．

18．（2021·全国九年级课时练习）如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．

【分析】根据相似图形的性质，可放大可缩小，只要对应边的比相等，对应角相等即可．

【详解】解：按照相似比为2，放大原图形，如图所示，本题答案不唯一

【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，解题关键是确定相似比，熟练运用相似多边形性质进行画图．

19．（2021·全国九年级课时练习）如图，矩形草坪的长为a米，宽为b米（），沿草坪四周外围有宽为x米的环形小路．

（1）草坪的长与宽的比值________，外围矩形的长与宽的比值________；（用含有a、b、x的代数式表示）

（2）请比较m与n的大小；

（3）图中的两个矩形相似吗？为什么？

【答案】（1）， ；（2）；（3）图中的两个矩形不相似，见解析

【分析】（1）根据即可求解出m的值，然后分别求出外围矩形的长为a+2x，宽为b+2x由此求解即可；

（2）利用作差法进行求解即可得到答案；

（3）假设两个矩形相似那么m=n与事实矛盾，由此即可得到答案．

【详解】解：（1）∵矩形草坪的长为a米，宽为b米，

∴草坪的长与宽的比值，外围矩形的长与宽的比值；

（2）

，

∵，

∴，

∴；

（3）若图中的两个矩形相似，则，

∵，

∴图中的两个矩形不相似．

【点睛】本题主要考查了假设法，分式的混合运算，相似图形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

20．（2021·全国九年级课时练习）如图，四边形四边形，且，，，，，．求、的大小和的长．

【答案】，，

【分析】根据题意由四边形ABCD∽四边形GFEH，根据相似四边形的对应角相等，即可求得∠C=∠E=120°，∠F=∠B=60°，又由四边形的内角和等于360°，即可求得∠D的度数；根据相似四边形的对应边成比例，即可求得AD的长．

【详解】解：∵四边形四边形，

∴，

又∵，

∴，

∵四边形四边形，

∴，∵，，

∴，解得．

∴．

【点睛】本题考查相似四边形的性质．题的关键是注意掌握相似四边形的对应角相等与相似四边形的对应边成比例性质定理的应用．

21．（2021·全国九年级专题练习）如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？

【答案】相似

【分析】根据相似图形的概念进行判断，即可得到答案．

【详解】解：根据题意，这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1∶2，四个角分别对应相等，符合相似图形的定义，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性．

【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是掌握相似图形的定义进行判断．

22．（2021·江苏徐州·九年级期末）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．

（1）A4纸较长边与较短边的比为　   　；

（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．

【答案】（1）；（2）相似，理由见解析

【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；

（2）根据相似图形的判定解答即可．

【详解】

解：（1）如图1，设AB＝x，

由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°

∴∠BCF＝∠BDF=90°

又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF

∴∠ACB=∠ECF=45°

∴BC=x

∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，

∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，

∵DE＝AC＝AB＝x，

∴DF＝DE+EF＝（+2）x，

∴

故答案为：．

（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（+1）x，A5纸短边长为（）x，

∴对A5纸，长边：短边

∴A4纸与A5纸相似．

故答案为：相似．

【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．

23．（2018·全国九年级单元测试）如图，一个木框，内外是两个矩形和，问按图中所示尺寸，满足什么条件这两个矩形相似？

【答案】当时两个矩形相似．

【分析】利用相似多边形的对应边的比相等列出比例式即可求得尺寸满足的条件.

【详解】当两个矩形和相似时，，

即：，

整理得：，

故当时两个矩形相似．

【点睛】本题考查了相似多边形的性质,解题的关键是根据题意列出比例式,难度不大.

24．（2021·全国九年级专题练习）如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．

（1）求矩形ODEF的面积；

（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，最大值，最小值

【分析】（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可；

（2）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，又最大值和最小值，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可．

【详解】解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，

∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；

（2）存在．

∵OE=，

所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，

设点O到AC的距离为h，

AC=，

∴8h=4×4，

解得h=2，

∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，

当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，

S最大=，

S最小=．

【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，理解AC边上的高的最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和是解本题的关键．

25．（2021·全国九年级专题练习）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．

（1）求证：EB＝GD；

（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．

【答案】（1）见解析；（2）GD＝

【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；

（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝AB＝1，然后求得EP＝2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．

【详解】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，

∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，

∴∠EAB＝∠GAD，

∵AE＝AG，AB＝AD，

∴△AEB≌△AGD，

∴EB＝GD；

（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，

∵∠DAB＝60°，

∴∠PAB＝30°，

∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2，

∴AE＝，BP＝AB＝1，

∴

∴EP＝2

∴

∴GD＝．

【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．